3.4基本不等式(1).ppt

1、(2)(2)用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大面积最大,最大面积是多少？最大面积是多少？菜园问题：菜园问题：(1)(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩形的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？最短，最短的篱笆是多少？2abab20022002年国际数学大会（年国际数学大会（ICM-2002ICM-2002）在北京召开）在北京召开,此此届大会纪念封上的

2、会标图案，其中央是经过艺术处届大会纪念封上的会标图案，其中央是经过艺术处理的理的“弦图弦图”。它标志着中国古代的数学成就，又。它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。u情景设置情景设置ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S=ab2、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：结论结论1 1：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222a

3、ba b问问：当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，还成立吗？还成立吗？此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式222aba b2.2.代数意义：代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数两个正数的几何平均数小于等于算术平均数3.3.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项等差中项.1.1.思考思考:如果当如果当 用用 去替换

4、去替换 中的中的 ,能得到什么结论能得到什么结论?0,0ba,ab222aba bba,基本不等式oabABPQ1.1.如图如图,AB,AB是圆是圆o o的直径，的直径，Q Q是是ABAB上任一点，上任一点，AQ=AQ=a,BQ=,BQ=b,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连连AP,BPAP,BP,则半弦则半弦PQ=PQ=_ _,_ _,半径半径AO=AO=_ab2ba 几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗?2.PQ2.PQ与与AOAO的大小关系怎样的大小关系怎样

5、?几何证明几何证明:基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a a=b=b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1 1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2 2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。)0,0(2 babaab;2)1(abba 、;)2()2(2baab 、例例1.1.已知已知x x00，y y00，(1).(1).若若xyxy=36,=36,则则x x+y y的最小值是的

6、最小值是_,_,此时此时x x=_,=_,y y=_=_；(2).(2).若若x x+y y=18,=18,则则xyxy的最大值是的最大值是_,_,此时此时x x=_,=_,y y=_.=_.最值定理最值定理：若若x x、y y皆为正数，则皆为正数，则（1 1）当）当x+yx+y的值是常数的值是常数S S时，当且仅当时，当且仅当x x=y y时，时，xyxy有最有最 大值大值_；（2 2）当）当xyxy的值是常数的值是常数P P时，当且仅当时，当且仅当x x=y y时，时，x+yx+y有最有最 小值小值_._.注意：各项皆为正数；注意：各项皆为正数；和为定值或积为定值；和为定值或积为定值；两项

7、必须能取到等号两项必须能取到等号214S2 P一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”和定积最大，积定和最小和定积最大，积定和最小注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定例例2 2：(1)(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩形菜园，问这个的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x x m m，宽为，宽为y y m m，则则xyxy=100=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x x+y y

8、）m.m.2 100,xy2()40 xy当且仅当当且仅当x=y时，时，等号等号成立，此时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m.40m.xyyx2 (2)(2)用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x x m m，宽为，宽为y y m m，则则 2(2(x x+y

9、 y)=36,)=36,x x+y y=18=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy mxy m2 2当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，菜园面积最大时，菜园面积最大最大面积是最大面积是8181m m2 281)218()2(22 yxxy.312)(,0)1(3的最小值的最小值求求、若、若：例例xxxfx 2.1)(2123.123122312)(,0取取得得最最小小值值时时，即即取取等等号号，当当且且仅仅当当由由基基本本不不等等式式得得解解：xfxxxxxxxxfx .312)(,0)2(3的最大

10、值的最大值求求、若、若：例例xxxfx 12.-)(2-12-3-12)(.123-12-2)(-3-12-)(-,0,0取取得得最最大大值值时时，即即取取等等号号，当当且且仅仅当当即即）（）（由由基基本本不不等等式式得得则则解解：xfxxxxfxxxfxxxfxx 例例4、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.01 (1)xyxx .41)1(211412)1()1(110,102取得最大值取得最大值函数函数时，时，即即当且仅当当且仅当由基本不等式可得由基本不等式可得解：解：xxyxxxxxxxyxx 本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用1.

11、两个重要的不等式两个重要的不等式（1）（2）(当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立)22R,2,()a bababab那那么么当当且且仅仅当当时时取取号号(0,0)2ababab2.不等式的简单应用：主要在于求最值不等式的简单应用：主要在于求最值 把握把握”六字方针六字方针”即即“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”和定积最大，积定和最小和定积最大，积定和最小变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.10 (12)2xyxx .814141212812)21(221)21(221)21(.021,2102时时，函函数数取取得得最最大大值值当当时时，取取等等号号时时，即即当当且且仅仅当当解解：xxxxxxxxxxyxx