合情推理2 .ppt

1、.,1n,n.n5、4,得启发和联想得启发和联想从中获从中获维球的情形维球的情形类比类比总可以总可以维球时维球时研究研究维球维球至至维球直维球直维球维球定义并且研究定义并且研究我们还可以我们还可以根据同样的思路根据同样的思路.,.,推理推理殊的殊的类比推理是由特殊到特类比推理是由特殊到特简言之简言之简称类比简称类比称为称为也具有这些特征的推理也具有这些特征的推理推出另一类对象推出另一类对象些已知特征些已知特征的某的某似特征和其中一类对象似特征和其中一类对象些类些类这种由两类对象具有某这种由两类对象具有某类比推理类比推理.,:)16301571,plerKe(界的秘密界的秘密能揭示自然能揭示自然

2、它它赖的老师赖的老师是我最可信是我最可信它它别的东西别的东西比胜过任何比胜过任何我珍惜类我珍惜类说说开普勒开普勒.,2运算性质运算性质列出它们相似的列出它们相似的类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法例例.4.10,算算个个方方面面来来类类比比这这两两种种运运从从上上述述因因此此我我们们可可以以特特殊殊的的地地位位别别在在加加法法和和乘乘法法中中占占有有分分而而且且都都存存在在逆逆运运算算都都满满足足一一定定的的运运算算律律由由两两个个数数参参与与运运算算实实数数的的加加法法和和乘乘法法都都是是分分析析.,1数得的结果仍然是一个实所或乘法运算后两个实数经过加法运算解 bcacabcbacba

3、baababba,2即律和结合律加法和乘法都满足交换从运算律的角度考虑 a1xax0a1ax0 xa,3都有唯一解这就使得方程乘法的逆运算是除法运算是减法加法的逆二者都有逆运算从逆运算角度考虑 a1aa0a,1,01;0,4即等于原来的数的积都即任意实数与类似与加法中的法中的乘相加都不改变大小任意实数与在加法中.,证明这些猜想的思路证明这些猜想的思路以及以及获得四面体性质的猜想获得四面体性质的猜想象的性质象的性质通过类比这个对通过类比这个对找一个研究过的对象找一个研究过的对象我们可在平面几何中寻我们可在平面几何中寻四面体的性质四面体的性质为了研究为了研究在立体几何中在立体几何中例如例如比对象比

4、对象寻找合适的类寻找合适的类运用类比推理常常先要运用类比推理常常先要?对对象象可可以以作作为为四四面面体体的的类类比比一一类类图图形形你你认认为为平平面面几几何何中中的的哪哪探探究究.,.)(,3,;)(,4,.,.、,四四面面体体的的类类比比对对象象我我们们可可以以把把三三角角形形作作为为从从这这个个角角度度看看的的封封闭闭图图形形围围成成直直线线最最少少的的基基本本元元素素三三角角形形是是平平面面内内由由数数目目即即角角形形条条直直线线可可以以围围成成一一个个三三而而一一个个封封闭闭的的图图形形两两条条直直线线不不能能围围成成在在平平面面内内围围成成的的封封闭闭几几何何体体面面平平的的基基

5、本本元元素素它它是是空空间间中中由由数数目目最最少少个个面面围围成成四四面面体体由由目目看看从从构构成成几几何何体体的的元元素素数数例例如如对对象象选选择择适适当当的的类类比比题题的的需需要要本本原原则则是是要要根根据据当当前前问问基基度度量量等等位位置置关关系系目目四四面面体体的的几几何何元元素素的的数数如如围围成成出出发发确确定定类类比比对对象象我我们们可可以以从从不不同同的的角角度度.,想的例子想的例子得到立体图形性质的猜得到立体图形性质的猜比平面的几何中的结论比平面的几何中的结论我们就来看一个通过类我们就来看一个通过类下面下面.,3空空间间四四面面体体性性质质的的猜猜想想试试给给出出的

6、的勾勾股股定定理理类类比比平平面面内内直直角角三三角角形形例例ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2图图.,3,对象对象作为直角三角形的类比作为直角三角形的类比个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体取有取有所以我们可以选所以我们可以选两条边垂直两条边垂直角三角形的角三角形的到直到直考虑考虑析析分分;DEFP,ABCRt,11.2是四面体是四面体相对应相对应与与所示所示如图如图;33ABCP,1ABCRt个直二面角个直二面角构成构成个面在一个顶点处个面在一个顶点处的的是四面体是四面体直角相对应的直角相对应的个个的两条边交成的两条边交成与与ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.

7、2图图;SS,SDPE,FPD,DEFDEFP,b,aRtABC321和和面积面积的的和和的面的面是四面体是四面体相对应的相对应的的直角边边长的直角边边长与与.SPEFDEFP,cRtABC的面积的面积的面的面是四面体是四面体应的应的相对相对的斜边边长的斜边边长与与.DEFP,RtABC,四个面的面积的关系四个面的面积的关系猜想出四面体猜想出四面体中的勾股定理中的勾股定理我们可以类比我们可以类比由此由此.bac,ABCRt,11.2222得由勾股定中在道我们知所示如图解ABCabc 1DEFP1S3S2S 211.2图图.SSSS,DEFP,2322212成立成立们猜想们猜想我我中中在四面体在

8、四面体定理定理类比直角三角形的勾股类比直角三角形的勾股于是于是.?学们自己证明学们自己证明请同请同这个结论是正确的吗这个结论是正确的吗:理理过过程程概概括括为为我我们们把把前前面面所所进进行行的的推推题题出出发发从从具具体体问问.)reasoningplausible(,把他们统称为把他们统称为我们我们后提出猜想的推理后提出猜想的推理然然再进行归纳类比再进行归纳类比联想联想、经过观察、分析、比较经过观察、分析、比较理都是根据已有的事实理都是根据已有的事实归纳推理和类比推归纳推理和类比推可见可见合情推理合情推理.,:)18271749,Laplace(归纳和类比归纳和类比是是理的主要工具也理的主

9、要工具也发现真发现真使在数学里使在数学里即即曾经说过曾经说过斯斯法国数学家拉普拉法国数学家拉普拉比比较较、联联想想观观察察、分分析析、类类比比归归纳纳、猜猜想想提提出出.,;,.,下下面面再再来来看看一一个个例例子子路路和和方方向向明明思思理理常常常常能能为为我我们们提提供供证证合合情情推推证证明明一一个个数数学学结结论论之之前前和和发发现现结结论论们们猜猜想想合合情情推推理理常常常常能能帮帮助助我我之之前前得得到到一一个个新新结结论论数数学学研研究究中中的的推推理理合合乎乎情情理理合合情情推推理理是是指指通通俗俗地地说说.,.,21.24另一根针上另一根针上部移到部移到把金属片从一根针上全把

10、金属片从一根针上全按下列规则按下列规则干金属片干金属片上的若上的若有三根针和套在一根针有三根针和套在一根针所示所示如图如图例例21.2图图.2;1.1金属片上面金属片上面不能放在较小的不能放在较小的较大的金属片较大的金属片个金属片个金属片每次只能移动每次只能移动?,31n:移移动动多多少少次次最最少少需需要要号号针针号号针针移移到到个个金金属属片片从从把把试试推推测测123.n,4,3,2,1个个金金属属片片所所需需的的次次数数进进而而归归纳纳出出移移动动中中的的规规律律性性探探究究其其个个金金属属片片的的情情形形入入手手我我们们从从移移动动分分析析.1,13,3,1n次共移动了表示用符号号针

11、移到只需把金属片从一号针时当解:,2,2n顺序是移动的中间针号针作为我们利用金属片上面片放在较小的为了避免将较大的金属时当 ;2111号针号针移到个金属片从将第;3122号针号针移到个金属片从将第;3213号针号针移到个金属片从将第.3,231312次共移动了用符号表示为:,2n,3n移动的顺序是的情形结为则归一个整体把上面两个金属片作为时当;211号针号针移到把上面两个金属片从;3132号针号针移到个金属片从把第.323号针号针移到把上面两个金属片从 .7,13232113321213.31次共移动了用符号表示为都需要借助中间针和其中:,3,4n顺序是移动的个金属片作为一个整体把上面时当 ;

12、2131号针号针移到个金属片从把上面;3142号针号针移到个金属片从把第.3233号针号针移到个金属片从把上面.15,231312233121231312323112231312次共移动了用符号表示为.15,7,3,14,3,2,1,构成的数列个金属片所需次数我们得到依次移动至此.1215,127,123,121:,4321下规律可以发现其中蕴含着如观察这个数列.Nn12aa,a,31n:nnnn的通项公式为则数列次最少需要移动针号号针移到个金属片从若把由此我们猜想?,31n数数呢呢才才能能达达到到最最少少的的移移动动次次怎怎样样移移动动号号针针号号针针移移到到个个金金属属片片从从把把探探究究

13、;211n1号针号针移到两个金属片从将上面:,n.n,4,3,2,1n可分为下列三个步骤个金属片时当移动方法个金属片都适用的移动归纳出对我们可以时的移动方法通过探究上述;31n2号针号针移到个金属片从将第.321n3号针号针移到个金属片从将上面.n1n,n个金属片的任务个金属片和移动一次第转化为移动两次个金属片的任务这样就把移动个金移动个金属片片和移动一次第个金属个金属片需要移动两次而移动2n,1n2n1n可得递推公式根据这个过程的情形个金属片直到转化为移动如此继续个金属片个金属片和移动一次第需要移动两次,.1,2nn 3 3.1n1a2a,1a1nn1.,正确的是可以证明上述通项公式从这个递

14、推公式出发.,未必可靠猜想仅仅是一种论由合情推理所获得的结一般来说波波利利亚亚争争议议的的和和暂暂时时的的合合情情推推理理是是冒冒险险的的、有有.,4177006641297967294412F5,Euler,.Nn12:,5376512,25712,1712,512,5n43212522222从从而而推推翻翻了了费费马马的的猜猜想想不不是是质质数数个个费费马马数数第第发发现现善善于于计计算算的的欧欧拉拉之之后后半半个个世世纪纪这这就就是是著著名名的的费费马马猜猜想想数数的的数数都都是是质质任任何何形形如如猜猜想想于于是是他他用用归归纳纳推推理理提提出出都都是是质质数数法法国国数数学学家家费费

15、马马观观察察到到例例如如.F,n记作记作通常称为费马数通常称为费马数1.推理：推理：从一个或几个已知命题得出另一个从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程新命题的思维过程.2.归纳推理：归纳推理：（1）定义：从个别事实中推演出一般性的结论的）定义：从个别事实中推演出一般性的结论的 推理推理.从从特殊特殊到到一般一般、从、从部分部分到到整体整体 （2 2）归纳推理的一般模式）归纳推理的一般模式:1 12 2n12nn12nS 具S 具有有P,P,S 具S 具有有P,P,S 具S 具有有P（P（S，S，S，S，S 是S 是A事A事物物的的象象）类类对对所所以以A象A象具具有有P P类类对对应

16、用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。（3 3）归纳推理的作用）归纳推理的作用:（4）归纳推理的一般步骤（思维过程）：）归纳推理的一般步骤（思维过程）：实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论（5）归纳推理的特点）归纳推理的特点:1.归纳推理归纳推理的前提是几个已知的特殊现象的前提是几个已知的特殊现象,归纳所归纳所得的结论是尚属未知的一般现象得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提该结论超越了前提所包容的范围。所包容的范围。3.归纳推理归纳推理是一种具有创造性的推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得通过归纳推理得到的

17、猜想到的猜想,可以作为进一步研究的起点可以作为进一步研究的起点,或者提供一种或者提供一种方向，帮助人们发现问题和提出问题。方向，帮助人们发现问题和提出问题。2.由由归纳推理归纳推理得到的结论具有猜测的性质得到的结论具有猜测的性质,结论是否真结论是否真实实,还需经过逻辑证明和实践检验还需经过逻辑证明和实践检验.因此因此,它不能作为数它不能作为数学证明的工具。学证明的工具。（2 2）类比推理的一般模式为类比推理的一般模式为:Aa,b,c,dBa,b,ca,b,ca,b,c 类类事事物物具具有有性性质质,类类事事物物具具有有性性质质,(与与)相相似似或或相相同同d类类对对性性质质所所以以B象B象具具

18、有有注：（注：（1 1）类比推理是由类比推理是由一类对象一类对象特征到特征到另一类对象另一类对象特特征的推理。征的推理。（4 4）归纳推理和类比推理都是常用的合情推理）归纳推理和类比推理都是常用的合情推理(合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果推实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果推理过程。理过程。)实验、观察实验、观察联想、类推联想、类推猜测新的结论猜测新的结论（3 3）类比推理的思维过程为）类比推理的思维过程为:圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相

19、等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等,距球心较近的

20、面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 22.2.利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V=RV=R3 3球的表面积球的表面积2 2S=4RS=4R圆的周长圆的周长 S=2RS=2R圆的面积圆的面积2 2S=RS=R例3：类比梯形中位线的计算公式，试推导出棱台中截面面积的计算公式4.三角形的面积为 为三角形 为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为 .1()2sabcr,a b crDABC2222BCDABCACDADBSSSSPAPBPCPA PB PC（2004广东，广东，15）由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C图图(1)图图(2)