第七章正则方程课件.ppt

1、9.1 9.1 正则方程正则方程sqLqLdtd,2,1,0 本章在本章在相空间相空间中研究力学系统的运动中研究力学系统的运动,导出另一种形导出另一种形式的动力学方程式的动力学方程,即正则方程。即正则方程。-这种方法称为这种方法称为哈密顿方法（或称哈密顿表述）哈密顿方法（或称哈密顿表述）.-这是个二阶微分方程组这是个二阶微分方程组,现想将其变换成一阶现想将其变换成一阶 微分方程组微分方程组,以得到一种新的形式对称的运动方程组以得到一种新的形式对称的运动方程组.第六章是在位形空间中第六章是在位形空间中,通过完整有势系的拉格朗日通过完整有势系的拉格朗日方程来研究力学系统的运动方程来研究力学系统的运

2、动.一一.勒让德变换勒让德变换 在方程中在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换量的变换,叫勒襄特变换叫勒襄特变换.设函数设函数 ,),(yxff dyyfdxxfdf 令令:gfyuyxxfu );,(),(,现现dyyfxdudgdyyfxdufuxddyyfxduuxddyyfudxdf )()(dyygduugdg ygyfugx ,-这是新变量与新函数应满足的方程。这是新变量与新函数应满足的方程。以上所述把以上所述把 称为勒让德变换称为勒让德变换,这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中，这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中，

3、从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。gfyuyx);,(),(二二.正则方程正则方程ttLqqLqqLLsdddd1 则则),(tqqLL ttLqqLqqLLsdddd1 ssssdpqqpdqdpqdqLqLp1111)(,则则考虑到考虑到ttLpqqqLLqpsssddd)d(:111 得得使上式写成使上式写成据拉氏方程可知据拉氏方程可知,pqLdtdqL ttLpqqpLqpsssddd)d(111 H对于哈密顿量：对于哈密顿量：LqptqpHs 1),(ttHppHqqHHsdddd1 ttLpqqpHssdddd11 ),

4、2,1(sqHppHq -哈密顿正则方程哈密顿正则方程,它它是一阶微分方程是一阶微分方程,且形式对且形式对称称.由于由于 相互独立的相互独立的,所以所以tpq,不是动力学方程不是动力学方程和和 tLtH说明如果说明如果L不显含时间不显含时间,H也不显含时间也不显含时间.思考思考:正则方程是否适用任何系统正则方程是否适用任何系统?正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系.),2,1(sqHppHq 结合初始条件结合初始条件,得到描述力学得到描述力学系统运动状态的运动方程系统运动状态的运动方程:()()qqtppt例例 一质量为一质量为m的的自由质点自由

5、质点,受力受力 为位矢为位矢,rrkF,k为大于零的常数为大于零的常数.运用正则方程运用正则方程,写出写出在直角坐标系中在直角坐标系中质点的运动微分方程质点的运动微分方程。PxyzFoPxyzFo解解:取取x，y，z为广义坐标。动能为广义坐标。动能为为)(222222zyxkrkV)(2)(21222222zyxkzyxmVTL)(2222zyxmT mpzmpympxzmzLpymyLpxmxLpzyxzyx又又LzpypxpHzyx )(2)(21222222zyxkpppmzyx代入哈密顿函数的定义式中代入哈密顿函数的定义式中,得得),(zyxpppHzyx kzzHpmppHzkyyH

6、pmppHykxxHpmppHxzzzyyyxxx ,kzzmkyymkxxm 将将H代入正则方程中代入正则方程中,得到质点的动力学方程得到质点的动力学方程:得到质点的运动微分方程得到质点的运动微分方程应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结:1)1)检验系统是否是完整的有势系检验系统是否是完整的有势系,然后确定自由度然后确定自由度,选择选择适当的广义坐标适当的广义坐标.2)2)写出系统相对惯性系的动能和势能写出系统相对惯性系的动能和势能,得到得到 并求出广义动量并求出广义动量 ,由此反解出由此反解出 ),(tqqLL ,2,1,sqLp ,2,1),(st

7、pqqq ,2,1),(stpqqq 3)3)通过通过 ,并利用并利用 VTTHLqptqpHs 021,),(或或 得到得到).,(tpqHH 4)4)将将H H 代入正则方程中代入正则方程中,得出系统的运动方程得出系统的运动方程.哈密顿动力学与哈密顿动力学与拉格朗日动力学比较拉格朗日动力学比较：在拉格朗日在拉格朗日动力学中动力学中,从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程拉格朗日方程.而在哈密顿动力学中而在哈密顿动力学中,必须从拉格朗日必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数函数转到哈密顿函数,才可写出动力学方程即哈密顿正才可写出动力学方程即哈密顿正

8、则方程则方程,所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。哈密顿动力学的优点哈密顿动力学的优点：1 1）是便于）是便于量子化量子化.如在如在量子力量子力学中，哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规学中，哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规律；律；2 2）在）在变量的变换中比较自由变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采：拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义速度并不对等用的变量广义坐标和广义速度并不对等,只能对广义坐只能对广义坐标进行变换标进行变换,而广义速度也随之而变而广义速度也随之而变.哈密顿动力学采哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的用的变

9、量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐不仅可以对广义坐标进行变换标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换而且可以坐标和动量一起变换,这个在正则这个在正则变换时可知其优点变换时可知其优点.三三.哈密顿函数的意义哈密顿函数的意义哈密顿函数是系统的特征函数哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着系统的约束因它隐含着系统的约束关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它物理学领域，如量子力学中，热力学等。物理学领域，如量子力学中，热力学等。VTTtpqH 02),

10、(:一般形式一般形式四四.正则变量、相空间、正则方程的意义正则变量、相空间、正则方程的意义2s个广义坐标个广义坐标 和广义动量和广义动量 ，统称为统称为正则变量正则变量。sq,2,1,sp,2,1,由由2s个个 组成的组成的2s维空间称为维空间称为相空间相空间。相空间中。相空间中的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在在相空间中相空间中,利用正则方程可对力学系统进行定性的几利用正则方程可对力学系统进行定性的几何研究何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时尤其是对非线性系统在解析求解困难时.pq,正则方程的意义正则方程的意义:它结构简单对称它结构

11、简单对称,为后续的力学发展为后续的力学发展(如泊松括号、正则变换、哈密顿如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论雅可比方程等理论)奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。五五.广义能量积分和广义动量积分广义能量积分和广义动量积分1.广义能量积分广义能量积分tHppHqqHdtHs 1d 将正则方程将正则方程sqHppHq,2,1,代入上式得代入上式得:tHdtdH 广义能量积分广义能量积分常量常量则则当当 ),(0,0tpqHHdtdHtH

12、常量则若EVTHtri2,02.广义动量积分广义动量积分广义动量积分常量则若atpqppqHpqH),(0,0例例:试由哈密顿原理导出正则方程试由哈密顿原理导出正则方程.解解:LqpHs1 HqpLs1 由哈密顿原理由哈密顿原理,得得0d21s1 tttHqp因为因为H是是p,q,t的函数的函数,并且并且 t=0,所以所以又又s1s1s1s1ddddqpqptqtpqp0d21s1 tttqqHppHpqqp 0d2121s1s1tttttqqHpppHqqp因端点是固定的因端点是固定的,则则:),2,1(021sqqtttt 0d21s1tttqqHpppHq因因 p,q 在积分范围在积分范围内是任意的内是任意的,而且相互而且相互独立独立,故得故得:qHppHq