专题01 因动点产生的面积问题-2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（解析版）.doc

1、 【类型综述】 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题， 是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱 形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常 考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的 题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根二是先假设关 系存在，再列方程，后

2、根据方程的解验证假设是否正确 【方法揭秘】 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式 如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补” 的方法 图 1 图 2 图 3 计算面积长用到的策略还有： 如图 4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等 如图 5，同底三角形的面积比等于高的比 如图 6，同高三角形的面积比等于底的比 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图，抛物线 yax2bxc（a0）与 x 轴交于 A(1, 0

3、)，B(4, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q， 交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当 SMFQSMEB13 时，求点 M 的坐标 思路点拨思路点拨 1设交点式求抛物线的解析式比较简便 2把MFQ 和MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含 m 的式 子表示） ，于是得到关于 m 的方程学#科网 3方程有两个解，慎重取舍解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列

4、一个方程，得到两个符 合条件的解 满分解答满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0)，B(4, 0)两点，设 ya(x1)(x4) 代入点 C(0, 2)，得 24a解得 1 2 a 所以 22 1131325 (1)(4)2() 222228 yxxxxx 顶点坐标为 3 25 () 28 ， 考点伸展考点伸展 第（2）题 SMFQSMEB13，何需点 M 一定要在抛物线上？ 从上面的解题过程可以看到，MFQ 与MEB 的高的比= 4 FQm MNm 与 n 无关，两条底边的比 = 32 MQm MEm 也与 n 无关学(3）四边形 ECFD 的面积是一定值 1 【解析】 （2

5、）DE 与 DF 一定相等 证明：ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，D 是 AB 的中点， A=DCF=45 ，CD= 1 2 AB=AD，CDAB， ADC=EDF=90 ， ADE=CDF， 在DAE 和 DCF 中， ， DAEDCF（ASA） ， DE=DF； 13如图，在ABC中，已知ACAB， 0 90BAC，cmBC6，直线BCCM ，动点 D 从点 C 开始以每秒 2cm 的速度运动到 B 点，动点也同时从点 C 开始沿射线 CM 方向以每秒 1cm 的速度运动 （1）问运动多少秒时，ACEABD，并说明理由 （2）设运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示ABD的面积 （

6、3）运动多少秒时，ABD与ACE的面积比为 3:1 【答案】 （1）2； （2）9-3x； （3）12 【解析】 A （2）过点 A 作 AFBC 于点 F， ACAB， 0 90BAC，cmBC6， AF=3cm 由（1）得，BD=6-2x， 11 (62 )393 . 22 ABD SBD AFxx 学&科网 （3）过点 A 作 AGCM 于点 G， ，可得四边形 AFCG 为矩形， AF=AG， 11 , 22 ABDACE SBD AF SCE AG ，ABD与ACE的面积比为 3:1， BD：CE=3：1， 由（1）得，CE=x，BD=6-2x， （6-2x） ：x=3：1， 解得

7、x=12 运动 12 秒时，ABD与ACE的面积比为 3:1 考点：全等三角形的判定及性质；方程思想的运用 14在平面直角坐标系中，平行四边形如 图放置，点 、 的坐标分别是、，将此平行四 边形绕点 顺时针旋转，得到平行四边形 如抛物线经过点 、 、，求此抛物线的解析式； 在情况下，点 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 在何处时，的面积最大？最大面 积是多少？并求出此时 的坐标； 在的情况下，若 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点，点 坐标为，当 、 、 、 构成以 作为一边的平行四边形时，求点 的坐标 【答案】(1) 抛物线的解析式为：；(2) 当时，的面积最大，最大值， 的坐标为：

8、；(3) 点 的坐标为：， 【解析】 解：平行四边形绕点 顺时针旋转，得到平行四边形，且点 的坐标是， 点的坐标为：， 点 、 的坐标分别是、，抛物线经过点 、 、， 连接，设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设点 的坐标为：， 则， 当时，的面积最大，最大值，学科#网 的坐标为：； 设点 的坐标为，当 ， ， ， 构成平行四边形时， 平行四边形中，点 、 的坐标分别是、， 点 的坐标为， 点 坐标为， 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点， 15如图，直线 y= 1 2 x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点 （

9、1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第一象限抛物线上的一点，连接 PA、PB、PO， 若POA 的面积是POB 面积的 4 3 倍求点 P 的坐标； 当四边形 AOBP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）点 M 为直线 AB 上的动点，点 N 为抛物线上的动点，当以点 O、B、M、N 为顶点的四边形是平行四 边形时，请直接写出点 M 的坐标 【答案】 （1）抛物线解析式为 2 3 1 2 yxx ； （2）P（ 3 2 ，1） ，P（1，0.5） ； （3）满足条件的点 M 的坐标（1+ 2， 1 2 （1 2） ）或（12， 1 2 （1+ 2） ）或（1，0.5）或 M （1-

10、2） ， 1 2 （3+ 2） ）或 M（1+2） ， 1 2 （3 2） ） ； 【解析】 （2）由（1）知，A（2，0） ，B（0，1） ，OA=2，OB=1， 由（1）知，抛物线解析式为 2 3 1 2 yxx 点 P 是第一象限抛物线上的一点，学&科网 设 P（a，a2+ 3 2 a+1） ， （ （a0，a2+ 3 2 a+10） ， SPOA 1 2 =OA Py= 1 2 2 （a2+ 3 2 a+1）=a2+ 3 2 a+1 SPOB= 1 2 OB Px= 1 2 1 a= 1 2 a POA 的面积是POB 面积的 4 3 倍 a2 3 2 +a+1= 4 3 1 2 a，

11、 a = 3 2 或 a= 2 3 （舍） P（ 3 2 ，1） ； （3）即：满足条件的点 M 的坐标（1+ 2， 1 2 （1 2） ）或（12 ， 1 2 （1+ 2） ）或（1，0.5） 或 M（1- 2） ， 1 2 （3+ 2） ）或 M（1+2） ， 1 2 （3 2） ； 点睛：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性质，解本题的 关键是求抛物线解析式.解答（3）时，注意分类讨论. 16 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A （1，0） 、B（0，3）及 C（3，0）点，动点 D 从原点 O 开始沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度

12、移动，动点 E 从点 C 开始沿 CO 方向以每秒 1 个长度单位移动，动点 D、E 同 时出发，当动点 E 到达原点 O 时，点 D、E 停止运动 （1）求抛物线的解析式及顶点 P 的坐标； （2）若 F（1，0） ，求DEF 的面积 S 与 E 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，DEF 的面积最 大？最大面积是多少？ （3）当DEF 的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点 N，使EBN 是直角三角形？若存在，求出 N 点的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y=x24x+3， （2，1） ； （2）当 t=2 时，S 最大=2； （3）N 点的坐标（2，2） ，

13、（2，1） ， （2，11 3 ） ， （2， 1 3 ） 【解析】 试题分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据勾股定理的逆定理，可得关于 a 的方程，根据解方程，可得 N 点坐标 （2）如图 1 由题意，得 CE=t，OE=3t，FE=4t，OD=t S= 1 2 FEOD= 1 2 （4t）t= 1 2 t2+2t= 1 2 （t2）2+2， 当 t=2 时，S最大=2；学.科网 考点：二次函数综合题 17如图，抛物线与 轴交于点 和点，与 轴交于点 ，其对称轴 为 求

14、抛物线的解析式并写出其顶点坐标； 若动点 在第二象限内的抛物线上，动点 在对称轴 上 当，且时，求此时点 的坐标； 当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点 的坐标 【 答 案 】 ， 顶 点 坐 标 为； 点； 当时 ， ， 【解析】 来源:Z&xx&k.Com 令，解得或， 点， 作轴于点 ， 点 在上， 设点 ，且， ， ， 即， 解得（舍去）或， 点；学科#网 设，则， ， 当时，此时， 所以 18如图，直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点 求抛物线的解析式； 如图，点 是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点 的坐标和面积的最 大值？ 在的结

15、论下，过点 作 轴的平行线交直线于点 ，连接，点 是抛物线对称轴上的动点，在抛物 线上是否存在点 ，使得以 、 、 、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 的坐标； 如果不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2）当时，即点 的坐标是时，的面积最大，最大面积是 ； （3）点 的坐标是、学%科网 （2）如图 1，过点 E作 y轴的平行线 EF交直线 BC于点 M，EF交 x轴于点 F 点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点， 设点 E的坐标是 （x， x2+ x+3） ， 则点 M 的坐标是 （x， x+3） ， EM= x2+ x+3（ x+3）= x2+ x，SBEC=SBE

16、M+SMEC = （ x2+ x） 4= x2+3x= （x2）2+3 当 x=2 时，即点 E 的坐标是（2，3）时，BEC的面积最大，最大面积是 3 （3）在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形 如图 2，由（2） ，可得点 M的横坐标是 2 解得：或 x0，点 P 的坐标是（3，） 如图 3，由（2） ，可得点 M的横坐标是 2 点 M 在直线 y= x+3上，点 M的坐标是（2， ） 学&科网 又点 A 的坐标是（2，0） ，AM=， AM 所在的直线的斜率是：； 如图 4，由（2） ，可得点 M的横坐标是 2 点 M 在直线 y= x+3上，点 M的

17、坐标是（2， ） 19如图，抛物线与坐标轴交点分别为， ，作直线 BC 求抛物线的解析式； 来源:163文库 点 P 为抛物线上第一象限内一动点， 过点 P作轴于点 D， 设点 P 的横坐标为， 求 的面积 S与 t的函数关系式； 条件同，若与相似，求点 P 的坐标 【答案】（1）；（2）；（3） 点 P 的坐标为 或学科#网 【解析】 把，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 当时，即， 整理得：， 解得：或舍去 ， ， 点 P 的坐标为；学&科网 当，则，即， 整理得， 解得：或舍去 ， ， 点 P 的坐标为， 综上所述点 P 的坐标为或 20如图，已知抛物线过点 A（4，0） ，B（

18、2，0） ，C（0，4） （1）求抛物线的解析式； （2）在图甲中，点 M 是抛物线 AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 M 的坐标； （3）在图乙中，点 C 和点 C1关于抛物线的对称轴对称，点 P 在抛物线上，且PAB=CAC1，求点 P 的横 坐标 【答案】(1)y x2x4(2)点 M 的坐标为(2，4)(3) 或 【解析】 (1)抛物线的解析式为 y (x4)(x2) x2x4. 即 ，化简得 (82n)， 即 3n26n2482n，或 3n26n24(82n)， 解得 n ，或 n ，或 n4(舍去)， 点 P 的横坐标为 或 . 【点睛】本题考核知识点：二次函数综合运用. 解题关键点：熟记二次函数的性质，数形结合，由所求分析 出必知条件.