2020青羊实验中学二次函数压轴题专题分类训练22.doc

1、 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 1 题型一：面积问题题型一：面积问题 【例【例 1 1】如图 1，抛物线顶点坐标为点 C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B. （1）求抛物线和直线 AB 的解析式； （2）求CAB 的铅垂高 CD 及 SCAB ； （3）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点 P，使 SPAB 8 9 SCAB，若存 在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】【变式练习】 1.如图， 在直角坐标系中， 点 A 的坐标为(2， 0)， 连结 OA， 将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120， 得到

2、线段 OB （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标； 若不存在，请说明理由 （4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有， 求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 A x y B O x C O y A B D 1 1 图 1 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 2 2.如图，已知：直线3xy交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 A、B、

3、C（1， 0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点 D 的坐标为（-1，0） ，在直线3xy上有一点 P, 使 ABO 与 ADP 相似，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存 在点 E，使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在， 请说明理由 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 3 题型二：构造直角三角形题型二：构造直角三角形 【例【例 2 2】如图，已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为 x1，且抛物线经过 A（1，0） 、C（0， 3）两点，与 x 轴交于另一点 B （1）求这

4、条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴 x1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，并求此 时点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点，求使PCB90 的点 P 的坐标 【变式练习】【变式练习】 1如图，抛物线 y=与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1） 求点 A、 B 的坐标； （2） 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M

5、为顶 点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式 E 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 4 O 1 1 x y O 1 1 x y 2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= 2 (1)(0)a xc a与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直线 MC 的函数表达式为3ykx,与 x 轴的交点为 N， 且 COSBCO3 10 10 。 （1）求此抛物线的函数表达式； （2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边 的直角三角形？若存在，求出点 P

6、的坐标：若不存在，请说明理由； （3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度? 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 5 题型三：构造等腰三角形题型三：构造等腰三角形 【例【例 3 3】如图，已知抛物线3 2 bxaxy（a0）与x轴交于点 A(1，0)和点 B (3，0)，与 y 轴 交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2） 在 x 轴上是否存在一点 Q 使得ACQ 为等腰三角形？若存在， 请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，

7、请说明理由； （3）设抛物线的对称轴与x轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？ 若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【变式练习】【变式练习】 1如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m） ，点 B 的坐标为（n，n） ，抛物线经过 A、 O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x 22x 3=0 的两根 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ， 直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴

8、右侧） ，连接 OD、BD 当OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 6 2.如图，抛物线 2 54yaxax经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点 C 在y轴上，且 AC=BC （1）写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式； （2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存 在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由 题型四：构造相似三角形题型四：构造相似三角形 【例【例 4 4】如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及

9、原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为 顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 A C B y x 0 1 1 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 7 【变式练习【变式练习】 1.如图，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，-2）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线 AC 上

10、方的该抛物线上是否存在一点 D，使得DCA 的面积最大？若存在，求出点 D 的 坐标及DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由 （3）P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得 以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由 2. 如图，二次函数的图象经过点 D(0， 3 9 7 )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线 段 AB 的长为 6.（1）求二次函数的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标； （

11、3）在抛物线上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存 在，请说明理由 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 8 提高：3.如图 1，已知抛物线 y=ax 2+bx（a0）经过 A（3，0） 、B（4，4）两点 （1）求抛物线的解析式； （2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个 公共点 D，求 m 的值及点 D 的坐标； （3）如图 2，若点 N 在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2） 的条件下，求出所有满足PODNOB 的点 P 坐标（点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应） 青羊实验中学 2020 级二级

12、函数专题训练 9 提高 4：如图，已知抛物线 y= （x+2） （xm） （m0）与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C， 且点 A 在点 B 的左侧 （1）若抛物线过点 G（2，2） ，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题： 求出ABC 的面积；在抛物线的对称轴上找一点 H，使 AH+CH 最小，并求出点 H 的坐标； （3）在第四象限内，抛物线上是否存在点 M，使得以点 A、B、M 为顶点的三角形与ACB 相似？ 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 10 【例【例 5 5】如图，已知抛物线 y=错误错误!

13、!未找到引用源。未找到引用源。x 2 - 错误 错误! !未找到引用源。未找到引用源。(b+1)x+错误错误! !未找到未找到 引用源。引用源。（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的 正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO，QOA

14、和QAB 中的任意两个三 角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 11 【变式练习】【变式练习】 如图，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） ，交 y 轴于 C（0， 2） ，过 A，C 画直线 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长； （3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H 若 M 在 y 轴右侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标

15、； 若M 的半径为，求点 M 的坐标 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 12 题型题型五五：构造平行四边形：构造平行四边形 【例【例 7 7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，1）三点。 （1）求该抛物线的表达式； （2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 Q、P、A、B 为顶点的 四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标。 【变式练习【变式练习】 1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 5 4 yxm（m 为常数）的图象与 x 轴交于点 A（ 3，0） ，与 y 轴交于点 C以直线 x=1 为对称轴的抛物

16、线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B （1）求 m 的值及抛物线的函数表达式； （2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边 形的面积；若不存在，请说明理由； 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 13 2.如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线

17、上一动点，点 M 的横坐标为 m，MAB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 yx 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 14 【例例 8 8】已知平面直角坐标系 xOy（如图 1） ，一次函数 3 3 4 yx 的图像与 y 轴交于点 A，点 M 在正 比例函数 3 2 yx 的图像上，且 MOMA二次函数 yx 2bxc 的图像经过点 A、M （1）求线段 AM 的长； （2）求这个二次函数的

18、解析式； （3） 如果点 B 在 y 轴上， 且位于点 A 下方， 点 C 在上述二次函数的图像上， 点 D 在一次函数 3 3 4 yx 的图像上，且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 15 【变式练习【变式练习】 1.【2019辽阳】如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的边 BC 在 x 轴上，ABC90， 以 A 为顶点的抛物线 yx2+bx+c 经过点 C（3，0） ，交 y 轴于点 E（0，3） ，动点 P 在对 称轴上 （1）求抛物线解析式； （2）若点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点 B

19、 停止，设运动时间为 t 秒，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D，过点 D 平行于 y 轴的直线 l 交抛物线于点 Q，连接 AQ，CQ， 当 t 为何值时，ACQ 的面积最大？最大值是多少？ （3）若点 M 是平面内的任意一点，在 x 轴上方是否存在点 P，使得以点 P，M，E，C 为顶点的四边 形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的 M 点坐标；若不存在，请说明理由 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 16 2.如图 1，抛物线 yax2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C直线 y2 经过抛物线上两 点 D，E已知点 D，E 的横坐标分别为 x1，

20、x2且满足 x1+x23，直线 BC 的表达式为 yx+n （1）求 n 的值及抛物线的表达式； （2）设点 Q 是直线 DE 上一动点，问：点 Q 在什么位置上时，QOB 的周长最小？求出点 Q 的 坐标及QOB 周长的最小值； （3）如图 2，M 是线段 OB 上的一个动点，过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 BC 和抛物线分别 交于点 P，N若点 F 是直线 BC 上一个动点，当点 P 恰好是线段 MN 的中点时，在坐标平面内是 否存在点 G，使以点 G，F，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若 不存在，请说明理由 青羊实验中学 2020 级二级函数专题

21、训练 17 例题：二次函数与矩形：如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，且 OBOC （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上，且POBACB，求点 P 的坐标； （3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4点 D 是抛物线上 M，N 之 间的动点，过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E 求 DE 的最大值；点 D 关于点 E 的对称点为 F，当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 18 练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c

22、（a0）与 x 轴交于 A（2，0） 、B（4，0） 两点，与 y 轴交于点 C，且 OC2OA （1）试求抛物线的解析式； （2）直线 ykx+1（k0）与 y 轴交于点 D，与抛物线交于点 P，与直线 BC 交于点 M，记 m， 试求 m 的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 Q 是 x 轴上的一个动点，点 N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点 Q、N，使得以 P、D、Q、N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在， 请说明理由 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 19 题型七：线段最值问题题型七：线段最值问题 例例1 已知：抛

23、物线 2 0ya x b xca 的对称轴为1x ，与x轴交于AB，两点，与y轴 交于点C，其中3 0A ，、02C，（1）求这条抛物线的函数表达式 （2）已知在对称轴上存在一点 P，使得PBC的周长最小请求出点 P 的坐标 （3）已知在对称轴上存在一点 Q，使得|QB-QC|的长最大请求出点 Q 的坐标 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 20 2. 如图 13，抛物线 y=ax 2bxc(a0)的顶点为（1,4） ，交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点 的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点

24、F，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、F、H 四点围成的 四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M，过点 M 作直线 MNBD， 交线段 AD 于点 N，连接 MD，使DNMBMD，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理 由. 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 21 【能力提升】【能力提升】 1. 已知,如图 11,二次函数 2 23yaxaxa(0)a 图象的顶

25、点为H,与x轴交于A、B两点(B在A 点右侧),点H、B关于直线l: 3 3 3 yx对称. （1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;（2）求二次函数解析式; （3）过点B作直线BKAH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接 HN、NM、MK,求HNNMMK和的最小值. A B K H x y O l 图 11 A B K H x y O l 备用图 青羊实验中学 2020 级二级函数专题训练 22 2 如图，已知直线 1 1 2 yx与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线 2 1 2 yxbxc与直线交 于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点

26、坐标为 (1，0)。（1）求该抛物线的解析式； （2）动点 P 在轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。 （3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点 M 的坐标。 3.如图，已知抛物线 yax 2bxc 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于 B(1，0)、C(5，0)两 点 （1）求此抛物线的解析式； （2）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点（设 为点 E） ，再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F） ，最后运动到点 A求使点 P 运动的总路径最短 的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长 O y x A B C