第一章 1.3 1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质.ppt

1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质“杨辉三角”与二项式系数的性质 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.借助借助“杨辉三角杨辉三角”掌握二项式系掌握二项式系 数的对称性，增减性与最大值数的对称性，增减性与最大值 2.会用赋值法求展开式系数的和会用赋值法求展开式系数的和. 重点：重点：二项式系数的对称性、二项式系数的对称性、 增减性与最大值增减性与最大值 难点：难点：二项式系数的最值及项二项式系数的最值及项 的系数的最值的系数的最值. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 自主梳理自主梳理 1杨辉三角的特点杨辉三角的特点 (1)在同一行

2、中，每行两端都是在同一行中，每行两端都是 ，与这两个，与这两个 1 等距离的项的系数等距离的项的系数 (2)在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”两个数的两个数的 ，即，即 . 2二项式系数的性质二项式系数的性质 (1)对称性：在对称性：在(ab)n的展开式中，与的展开式中，与 的两个二项式系数的两个二项式系数 相等，即相等，即 C0 n Cn n， ，C1 n Cn 1 n ，Cr n Cn r n . 和和 1 相等相等 Cr n 1Cr 1 n Cr n 首末两端“等距离”首末两端“等距离” (2)增减性与最大值：当增减性与最大

3、值：当 kn 1 2 时，二项式系数是逐渐时，二项式系数是逐渐 的由对称性知它的后半的由对称性知它的后半 部分是逐渐部分是逐渐 的，且在中间取得最大值当的，且在中间取得最大值当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数是奇数时，中间两项的二项式系数 相相 等，且同时取得最大值等，且同时取得最大值 3二项式系数的和二项式系数的和 (1)C0 n C1 n C2 n Cn n . (2)C0 n C2 n C4 n C1 n C3 n C5 n . 减小减小 增大增大 C 2n Cn 1 2 n， ，Cn 1

4、 2 n 2n 1 2n 双基自测双基自测 1(3x 1 3 x2 )n的展开式中各项系数之和为的展开式中各项系数之和为 128，则，则 n 等于等于( ) A4 B5 C6 D7 解析：解析：令令 x1，则，则 2n128， n7. 答案：答案：D 2已知已知 C0 n 2C1 n 22C2 n 2nCn n 729，则，则 C1 n C3 n C5 n的值等于 的值等于( ) A64 B32 C63 D31 解析：解析：C0 n 2C1 n 2nCn n (12)n3n729， n6，C1 6 C3 6 C5 6 32. 答案：答案：B 3(1x)13的展开式中系数最小的项为的展开式中系数

5、最小的项为( ) A第六项第六项 B第七项第七项 C第八项第八项 D第九项第九项 解析：解析：展开式中共有展开式中共有 14 项，中间两项项，中间两项(第七、八项第七、八项)的二项式系数最大的二项式系数最大 二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数 系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项 答案：答案：C 4(1x)6的展开式中的展开式中 x 的奇数次项的二项式系数的和为的奇数次项的二项式系数的和为_ 解析：解析：令令 x1，则，则 C0 6 C1 6 C

6、2 6 C3 6 C4 6 C5 6 C6 6 0，且，且(C0 6 C2 6 C4 6 C6 6) (C1 6 C3 6 C5 6) 26， C1 6 C3 6 C5 6 2532. 答案：答案：32 探究一探究一 与与“杨辉三角杨辉三角”有关的问题有关的问题 典例典例 1 如图所示，在如图所示，在“杨辉三角杨辉三角”中，从中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数开始箭头所指的数组成一个锯齿形数 列：列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前，记其前 n 项和为项和为 Sn，求，求 S16的值的值 解析解析 由题意及杨辉三角的特点可得：由题意及杨辉三角的特点可得： S16(12)(33

7、)(64)(105)(369) (C2 2 C1 2) (C2 3 C1 3) (C2 4 C1 4) (C2 9 C1 9) (C2 2 C2 3 C2 4 C2 9) (239) C3 10 8 29 2 164. 解与解与“杨辉三角杨辉三角”有关的问题的一般思路：有关的问题的一般思路： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察 (2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律 1 如图所示， 满足 如图所示， 满足第第 n 行首尾两数均为行首

8、尾两数均为 n； 表中的递表中的递推关系类似杨辉三角， 则第推关系类似杨辉三角， 则第 n行行(n2) 的第的第 2 个数是个数是_ 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 解析：解析：由图中数字规律可知，第由图中数字规律可知，第 n 行的第行的第 2 个数是个数是123(n1)1n n 1 2 1. 答案：答案：n 2 n2 2 探究二探究二 二项展开式的系数和问题二项展开式的系数和问题 典例典例 2 设设(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5. 求：求：(1)a1a2a3a4a5的值；的值； (2)a1a3a5的值；

9、的值； (3)|a1|a2|a3|a4|a5|的值的值 解析解析 记记 f(x)(12x)5. (1)a1a2a3a4a5f(1)f(0)2. (2)f(1)a0a1a2a3a4a5，f(1)a0a1a2a3a4a5， 所以所以 a1a3a51 2f(1) f(1)1 2( 135)122. (3)|a1|a2|a3|a4|a5|f(1)f(0)351242. 求解二项展开式的系数和问题的方法：求解二项展开式的系数和问题的方法： “赋值法赋值法”是解决二项展开式系数问题常用的方法，根据题目要求， 灵活赋给字母所是解决二项展开式系数问题常用的方法，根据题目要求， 灵活赋给字母所 取的不同值一般地

10、，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令取的不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x0 可得常数项，可得常数项， 令令x1可得所有项系数之和， 令可得所有项系数之和， 令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差 2若若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10. (1)求求 a1a2a10； (2)求求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2. 解析：解析：(1)令令 f(x)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10， a0f(0)2532，a0a1a2a10f(1)0， 故故 a1a2a1032. (2)(a

11、0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2 (a0a1a2a10)(a0a1a2a10) f(1) f(1)0. 探探究三究三 二项展开式系数最值问题二项展开式系数最值问题 典例典例 3 (12x)n的展开式的展开式中第中第 6 项与第项与第 7 项的系数相等， 求展开式中二项式系数最项的系数相等， 求展开式中二项式系数最 大的项和系数最大的项大的项和系数最大的项 解析解析 T6C5 n(2x) 5， ，T7C6 n(2x) 6， ，依题意有依题意有 C5 n2 5 C6 n2 6 n8. (12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为的展开式中，二项式系数最大的项为 T5C4 8

12、(2x) 4 1 120x4. 设第设第 r1 项系数最大，则有项系数最大，则有 Cr 8 2 r Cr 1 8 2r 1， ， Cr 8 2 r Cr 1 8 2r 1 5r6. r0,1,2，8，r5 或或 r6. 系数最大的项为系数最大的项为 T61 792x5，T71 792x6. 求解二项展开式系数最值问题：求解二项展开式系数最值问题： (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式为奇数时，中间两项的二项式 系数最大，系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大为偶数时，中间一项的二项式系数最大 (2

13、)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况求解，一般采用解不等式组的方法求得正、负变化情况求解，一般采用解不等式组的方法求得 3已知已知(x 2 3 3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项求展开式中系数最大的项 解析：解析：令令 x1， 则展开式中各项系数和为则展开式中各项系数和为(13)n22n. 又展开式中二

14、项式系数和为又展开式中二项式系数和为 2n， 2 2n 2n 2n32，n5. (1)n5，展开式共，展开式共 6 项，项， 二项式系数最大的项为第三、四两项，二项式系数最大的项为第三、四两项， T3C2 5(x 2 3 )3(3x2)290x6， T4C3 5(x 2 3 )2(3x2)3270x 22 3 . (2)设展开式中第设展开式中第 k1 项的系数最大，则由项的系数最大，则由 Tk 1Ck 5(x 2 3 )5 k(3x2)k 3kCk 5x 10 4 3 k ， 得得 3kCk 5 3k 1Ck1 5 ， 3kCk 5 3k 1Ck1 5 ， 7 2 k9 2， ，k4，即展开式

15、中系数最大的项为，即展开式中系数最大的项为 T5C4 5(x 2 3 )(3x2)4405x 26 3 . 二项式中关于系数的最值问题二项式中关于系数的最值问题 典例典例 (本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展的展 开式的二项式系数和大开式的二项式系数和大 992，求，求 2x1 x 2n 的展开式中：的展开式中： (1)二项式系数最大的项；二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项 解析解析 由题意知，由题意知，22n2n992， 即即(2n32)(2n31)0. 所以所以 2n3

16、2，解得，解得 n5.4 分分 (1) 2x1 x 10 的展开式中第的展开式中第6项的二项式系数最大， 即项的二项式系数最大， 即T6C5 10 (2x) 5 1 x 5 8 064 6 分分 (2)设第设第 r1 项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大， 因为因为 Tr 1Cr10 (2x)10 r 1 x r (1)rCr 10 2 10r x102r， ， 所以所以 Cr 10 2 10r Cr 1 10 211 r， ， Cr 10 2 10r Cr 1 10 210 r1， ， 8 分分 得得 Cr 10 2Cr 1 10 ， 2Cr 10 Cr 1 10 ， 即即 11r2r

17、， 2 r1 10r， 解得解得8 3 r11 3 . 因为因为 rN，所以，所以 r3，10 分分 故系数的绝对值最大的项是第故系数的绝对值最大的项是第 4 项，项， T4C3 10 2 7 x4 15 360x4.12 分分 规范与警示规范与警示 (1)解答本题易失分的三个关键步骤解答本题易失分的三个关键步骤 (2)解答该问题解答该问题 注重对性质的理解注重对性质的理解 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数， 它有三条性质， 要理解和掌握好，二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数， 它有三条性质， 要理解和掌握好， 如本例中利用性质可确定出展开式中第如本例中利用性质可确定出展

18、开式中第 6 项的二项式系数最大项的二项式系数最大 注意对概念的区分注意对概念的区分 要注意要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中 间项，而系数最大的不一定是中间项如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝间项，而系数最大的不一定是中间项如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝 对值最大的项的区别对值最大的项的区别. 随堂训练随堂训练 1(1x)2n 1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( ) An，n1 Bn1，n Cn1，n2 Dn2，n3 解析：解

19、析：该式展开共该式展开共 2n2 项，中间有两项；第项，中间有两项；第 n1 项与第项与第 n2 项所以第项所以第 n1 项项 与第与第 n2 项为二项式系数最大的项项为二项式系数最大的项 答案：答案：C 2已知已知(2x)10a0a1xa2x2a10x10，则，则 a8等于等于( ) A180 B180 C45 D45 解析：解析：a8C8 10 2 2 180. 答案：答案：A 3若若 x1 x n 的展开式的各项系数之和为的展开式的各项系数之和为 64，则展开式的常数项为，则展开式的常数项为( ) A10 B20 C30 D120 解析：解析：由由 2n64，得，得 n6，Tk 1Ck 6x 6k 1 x k Ck 6x 62k，由 ，由 62k0，得，得 k3， T4C3 6 20. 答案：答案：B 4 如图是一个类似 如图是一个类似“杨辉三角杨辉三角”的递推式， 则其第的递推式， 则其第 n 行的首尾两个数均为行的首尾两个数均为_ 1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 解析：解析：由由 1,3,5,7,9，可知它们成等差数列，所以可知它们成等差数列，所以 an2n1. 答案：答案：2n1 课时作业