1.3.1　二项式定理.ppt

1、预习课本预习课本 P2931，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1二项式定理是什么？二项式定理是什么？ 2通项公式又是什么？通项公式又是什么？ 3二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数 与某项的系数有区别吗？与某项的系数有区别吗？ 二项式定理二项式定理 131 二项式定理二项式定理 新知初探新知初探 二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理 (ab)nC0 na n C1 na n1b Ck na nkbk Cn nb n 二项展开式二项展开式 公式右边的式子公式右边的式子 二项式系数二项式系数 _ 二项展开二项展开 式的

2、通项式的通项 Tk 1_ Ck n(k 0,1,2，n) Ck na nkbk 点睛点睛 应用通项公式要注意四点应用通项公式要注意四点 (1)Tk 1是展开式中的第是展开式中的第 k1 项，而不是第项，而不是第 k 项；项； (2)公式中公式中 a，b 的指数和为的指数和为 n，且，且 a，b 不能随便颠倒位置；不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题展开式的通项公式要特别注意符号问题 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正

3、确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)(ab)n展开式中共有展开式中共有 n 项项 ( ) (2)二项式二项式(ab)n与与(ba)n展开式中第展开式中第 r1 项相同项相同 ( ) (3)Ck na nkbk 是是(ab)n展开式中的第展开式中的第 k 项项 ( ) 2 x1 x 5 的展开式中含的展开式中含 x3项的二项式系数为项的二项式系数为 ( ) A10 B10 C5 D5 答案：答案：D 3 x2 2 x3 5 展开式中的常数项为展开式中的常数项为 ( ) A80 B80 C40 D40 答案：答案：C 4(12x)5的展开式的第的展开式的第 3 项的系数为项

4、的系数为_，第三项的，第三项的 二项式系数为二项式系数为_ 答案：答案：40 10 典例典例 (1)求求 3 x 1 x 4 的展开式；的展开式； (2)化简：化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1) 二项式定理的应用二项式定理的应用 解解 (1)法一：法一： 3 x 1 x 4 C0 4(3 x) 4 C1 4(3 x) 3 1 x C2 4(3 x) 2 1 x 2 C3 4 3 x 1 x 3 C4 4 1 x 4 81x2108x5412 x 1 x2 法二：法二： 3 x 1 x 4 3x 1 4 x2 1 x2(81x 4 108x354x212x1) 8

5、1x2108x5412 x 1 x2 (2)原式原式C0 5(x 1)5C1 5(x 1)4C2 5(x 1)3C3 5(x 1)2 C4 5(x 1)C5 5(x 1)01 (x1)151x51 运用二项式定理的解题策略运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理 展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后 一个字母是升幂形如一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情的展开式中会出现正负间隔的情 况对较繁杂的式子，先化简再用二项式

6、定理展开况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题 的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各 项的系数项的系数 活学活用活学活用 1化简化简(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1 的结果为的结果为 ( ) Ax4 B(x1)4 C(x1)4 Dx41 解析：解析：选选 A (x1)44(x1)36(x1)24(x1)1 C0 4(x 1)4C1 4(x 1)3(1)1C2 4(x 1)2(1)2C3 4(x 1) (

7、1)3C4 4(x 1)0(1)4(x1)14x4，故选，故选 A 2设设 n 为自然数，化简为自然数，化简 C0 n 2 n C1 n 2 n1 (1)k Ck n 2 nk (1)n Cn n _ 解：解： 原式原式C0 n 2 n ( 1)0C1 n2 n1 ( 1)1(1)k Ck n2 nk (1)n Cn n 2 0 (21)n1 答案：答案：1 典例典例 (1)求二项式求二项式 2 x1 x 6 的展开式中第的展开式中第 6 项的二项式系项的二项式系 数和第数和第 6 项的系数；项的系数； (2)求求 x1 x 9 的展开式中的展开式中 x3的系数的系数 解解 (1)由已知得二项

8、展开式的通项为由已知得二项展开式的通项为 Tr 1Cr6(2 x)6 r 1 x r 26 rCr 6 ( 1)r x 3 3 2 r ， T612 x 9 2 二项式系数与项的系数问题二项式系数与项的系数问题 第第 6 项的二项式系数为项的二项式系数为 C5 6 6， 第第 6 项的系数为项的系数为 C5 6 ( 1)5 212 (2)设展开式中的第设展开式中的第 r1 项为含项为含 x3的项，则的项，则 Tr 1Cr9x9 r 1 x r (1)r Cr 9 x 92r， ， 令令 92r3，得，得 r3， 即展开式中第四项含即展开式中第四项含 x3，其系数为，其系数为(1)3 C3 9

9、84 一题多变一题多变 1变设问变设问本例问题本例问题(1)条件不变，问题改为条件不变，问题改为“求第四项的二求第四项的二 项式系数和第四项的系数项式系数和第四项的系数” 解：解：由通项由通项 Tr 1(1)r Cr6 26 r x 3 3- 2 r ， 知第四项的二项式系数为知第四项的二项式系数为 C3 6 20， 第四项的系数为第四项的系数为 C3 6 ( 1)3 23160 2变设问变设问本例问题本例问题(2)条件不变，问题改为条件不变，问题改为“求展开式中求展开式中 x5的系数的系数”，该如何求解，该如何求解 解：解：设展开式中第设展开式中第 r1 项为含项为含 x5的项，则的项，则

10、Tr 1(1)r Cr9 x9 2r， ， 令令 92r5，得，得 r2 即展开式中的第即展开式中的第 3 项含项含 x5，且系数为，且系数为 C2 9 36 求某项的二项式系数或展开式中含求某项的二项式系数或展开式中含 xr的项的系数，主要是的项的系数，主要是 利用通项公式求出相应的项，特别利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系要注意某项二项式系数与系 数两者的区别数两者的区别 题点一：求展开式中的特定项题点一：求展开式中的特定项 1(四川高考四川高考)设设 i 为虚数单位，则为虚数单位，则(xi)6的展开式中含的展开式中含 x4的的 项为项为 ( ) A15x4 B15x4

11、 C20ix4 D20ix4 解析：解析：选选 A 二项式的通项为二项式的通项为 Tr 1Cr6x6 rir，由 ，由 6r4 得得 r2 故故 T3C2 6x 4i2 15x4故选故选 A 与展开式中的特定项有关的问题与展开式中的特定项有关的问题 2(12 x)3(1 3 x)5的展开式中的展开式中 x 的系数是的系数是_ 解析：解析：(12 x)3(1 3 x)5的展开式的通项为的展开式的通项为 2rCr 3( 1)sCs 5 x3r 2s 6 (其中其中 r0,1,2,3；s0,1,2,3,4,5)，令，令3r 2s 6 1，得，得 3r2s6， 所以， 所以 r0， s3 或或 r2，

12、 s0. 所以所以 x 的系数是的系数是C3 5 4C2 3 2 答案：答案：2 题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题 3(山东高考山东高考)若若 ax2 1 x 5 的展开式中的展开式中 x5的系数是的系数是80，则实，则实 数数 a_ 解析：解析：Tr 1Cr5 (ax2)5 r 1 x r Cr 5 a 5rx 5 10 2 r 令令 105 2r 5， 解得解得 r2 又展开式中又展开式中 x5的系数为的系数为80， 则有， 则有 C2 5 a 3 80， 解得解得 a2 答案：答案：2 求展开式中特定项的方法求展开式中特定项的方法 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准求解时先准 确写出通项，确写出通项， 再把系数和字母分离，再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的根据题目中所指定的 字母的指数所具有的特征，字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解有列出方程或不等式即可求解有 理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(七七)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )