2.3.2　离散型随机变量的方差.ppt

1、预习课本预习课本 P6467，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？ 2方差具有哪些性质？方差具有哪些性质？ 3两点分布与二项分布的方差分别是什么？两点分布与二项分布的方差分别是什么？ 232 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 新知初探新知初探 1离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称则称 D(X) 为随机变量为随机变量 X 的方差，其算术平的方差，其算术平 方根方根 D

2、X 为随机变量为随机变量 X 的的 (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均 值的值的 ，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的 越小越小 i1 n (xiE(X)2pi 标准差标准差 平均程度平均程度 平均程度平均程度 2几个常见的结论几个常见的结论 (1)D(aXb) (2)若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则 D(X) (3)若若 XB(n，p)，则，则 D(X) a2D(X) p(1p) np(1p) 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打

3、正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)离散型随机变量的方差越大，离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定随机变量越稳定( ) (2)若若 a 是常数，是常数， 则则 D(a)0 ( ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平 均程度均程度 ( ) 2若随机变量若随机变量 X 服从两点分布，服从两点分布， 且成功的概率且成功的概率 p05, 则则 E(X) 和和 D(X)分别为分别为 ( ) A05 和和 025 B05 和和 075 C1 和和 025 D1 和和 075 答案：答案：A 3D(D()的值为的值为

4、 ( ) A无法求无法求 B0 CD() D2D() 答案：答案：C 4牧场的牧场的 10 头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知 该病的发病率为该病的发病率为 002，设发病牛的头数为，设发病牛的头数为 X，则，则 D(X)等于等于 _ 答案：答案：0196 题点一：用定义求离散型随机变量的方差题点一：用定义求离散型随机变量的方差 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为：的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 01 015 025 025 015 01 则则 D(X)_ 求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差 解析：解析：因为因为

5、 E(X)010015102520253 015401525， 所以所以 D(X)(025)201(125)2015(2 25)2025(325)2025(425)2015(5 25)201205 答案答案：205 题点二：两点分布的方差题点二：两点分布的方差 2某运动员投篮命中率某运动员投篮命中率 p08，则该运动员在一次投篮中命中，则该运动员在一次投篮中命中 次数次数 的方差为的方差为_ 解析：解析：依题意知：依题意知： 服从两点分布，服从两点分布， 所以所以 D()08(108)016 答案：答案：016 题点三：二项分布的方差题点三：二项分布的方差 3一出租车司机从某饭店到火车站途中有

6、一出租车司机从某饭店到火车站途中有 6 个交通岗，个交通岗， 假设他假设他 在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是并且概率是1 3 (1)求这位司机遇到红灯数求这位司机遇到红灯数 的期望与方差；的期望与方差； (2)若遇上红灯，若遇上红灯， 则需等待则需等待 30 秒，秒， 求司机总共等待时间求司机总共等待时间 的的 期望与方差期望与方差 解：解： (1)易知司机遇上红灯次数易知司机遇上红灯次数服从二项分布， 且服从二项分布， 且B 6， 1 3 ， E()61 3 2，D()61 3 11 3 4 3 (2)由已知由已知 30， E()3

7、0E()60，D()900D()1 200 求离散型随机变量求离散型随机变量 X 的方差的步骤的方差的步骤 (1)理解理解 X 的意义，写出的意义，写出 X 可能取的全部值；可能取的全部值； (2)求求 X 取各个值的概率，写出分布列；取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出根据分布列，由期望的定义求出 E(X)； (4)根据公式计算方差根据公式计算方差 离散型随机变量方差的性质离散型随机变量方差的性质 典例典例 已知随机变量已知随机变量 X 的分布列是的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 02 02 03 02 01 试求试求 D(X)和和 D(2X1) 解解 E(

8、X)00 210 220 330 240 1 18 D(X)(01 8)20 2(11 8)20 2(21 8)20 3 (318)202(418)201156 利用方差的性质利用方差的性质 D(aXb)a2D(X) D(X)156, D(2X1)4D(X)4156624 求随机变量函数求随机变量函数 YaXb 方差的方法方差的方法 求随机变量函数求随机变量函数 YaXb 的方差，一是先求的方差，一是先求 Y 的分布列，的分布列， 再求其均值， 最后求方差； 二是应用公式再求其均值， 最后求方差； 二是应用公式 D(aXb)a2D(X)求解求解 活学活用活学活用 已知随机变量已知随机变量 的分

9、布列为：的分布列为： 0 1 x P 1 2 1 3 p 若若 E()2 3 (1)求求 D()的值；的值； (2)若若 32，求，求 D 的值的值 解：解：由分布列的性质，得由分布列的性质，得1 2 1 3 p1，解得，解得 p1 6， ， E()01 2 11 3 1 6x 2 3， ， x2 (1)D() 02 3 2 1 2 12 3 2 1 3 22 3 2 1 6 15 27 5 9 (2)32， D()D(32)9D()5， D 5 方差的实际问题方差的实际问题 典例典例 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔 测试已知甲、乙

10、两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立测试已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立 的随机变量的随机变量 ，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大 于于 6 环，且甲射中的环，且甲射中的 10,9,8,7 环的概率分别为环的概率分别为 05,3a，a,01，乙，乙 射中射中 10,9,8 环的概率分别为环的概率分别为 03,03,02 (1)求求 ， 的分布列；的分布列； (2)求求 ， 的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术 并从中选拔一人并从中选拔一人 解解 (1)依题意依题意，053

11、aa011，解得解得 a01 乙射中乙射中 10,9,8 环的概率分别为环的概率分别为 03,03,02， 乙射中乙射中 7 环的概率为环的概率为 1(030302)02 ， 的分布列分别为的分布列分别为 10 9 8 7 P 05 03 01 01 10 9 8 7 P 03 03 02 02 (2)由由(1)可得可得 E()100590380170192(环环)； E()100390380270287(环环)； D()(109 2)20 5(99 2)20 3(89 2)20 1 (792)201096； D()(108 7)20 3(98 7)20 3(88 7)20 2 (787)20

12、2121 由于由于 E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高；，说明甲平均射中的环数比乙高； 又因为又因为 D()D()，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量 取值的平均水平，取值的平均水平， 因此，因此， 在实际决策问题中，在实际决策问题中， 需先计算均值，需先计算均值， 看一下谁的

13、平均水平高看一下谁的平均水平高 (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 通过计算方差，分析通过计算方差，分析 一下谁的水平发挥相对稳定一下谁的水平发挥相对稳定 (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论 活学活用活学活用 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种 类和数量也大致相等， 而两个保护区内每个季度发现违反保护条类和数量也大致相等，

14、 而两个保护区内每个季度发现违反保护条 例的事件次数的分布列分别为：例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区：甲保护区： X 0 1 2 3 P 03 03 02 02 乙保护区：乙保护区： Y 0 1 2 P 01 05 04 试评定这两个保护区的管理水平试评定这两个保护区的管理水平 解：解：甲保护区违规次数甲保护区违规次数 X 的数学期望和方差为的数学期望和方差为 E(X)00310320230213， D(X)(013)203(113)203(213)202 (313)202121 乙保护区的违规次数乙保护区的违规次数 Y 的数学期望和方差为：的数学期望和方差为： E(Y)00110520413， D(Y)(01 3)20 1(11 3)20 5(21 3)20 40 41 因为因为 E(X)E(Y)， D(X)D(Y)， 所以两个保护区内每个季度发生的， 所以两个保护区内每个季度发生的 违规事件的平均次数相同， 但甲保护区的违规事件次数相对分散和违规事件的平均次数相同， 但甲保护区的违规事件次数相对分散和 波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(十五十五)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )