1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质.ppt

1、预习课本预习课本 P3236，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1杨辉三角具有哪些特点？杨辉三角具有哪些特点？ 2二项式系数的性质有哪些？二项式系数的性质有哪些？ 132 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质 新知初探新知初探 1杨辉三角的特点杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是在同一行中，每行两端都是 1，与这两个，与这两个 1 等距离的等距离的 项的系数项的系数 (2)在相邻的两行中， 除在相邻的两行中， 除 1 以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩肩 上上”两个数的两个数的 ，即，即 Cr n 1 2二项式系数的性质二项式系数的性质 (1)对

2、称性：与首末两端对称性：与首末两端“ ”的两个二项式系数的两个二项式系数 相等相等(即即 Cm n Cn m n ) 相等相等 和和 Cr 1 n Cr n 等距离等距离 (2)增减性与最大值： 当增减性与最大值： 当 k 时， 二项式系数逐渐增大 由时， 二项式系数逐渐增大 由 对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当当 n 是偶数时，中间一项是偶数时，中间一项 取得最大值；取得最大值； 当当 n 是奇数时，中间两项是奇数时，中间两项 1 2 C n n ， 1 2 C n n 相等，同时取得最大值相等，同时取得最大值

3、(3)各二项式系数的和：各二项式系数的和： C0 n C1 n C2 n Cn n ， C0 n C2 n C4 n C1 n C3 n C5 n n1 2 2 C n n 2n 2n 1 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列 ( ) (2)二项式展开式的二项式系数和为二项式展开式的二项式系数和为 C1 n C2 n Cn n ( ) (3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项

4、相同 ( ) 2已知已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为的展开式中，二项式系数和为 32，则，则 n 等于等于 ( ) A5 B6 C7 D8 答案：答案：A 3(1x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是的展开式中，系数最大的项是 ( ) A第第n 2 1 项项 B第第 n 项项 C第第 n1 项项 D第第 n 项与第项与第 n1 项项 答案：答案：C 4在在(ab)n的展开式中，第的展开式中，第 2 项与第项与第 6 项的二项式系数相项的二项式系数相 等，则等，则 n ( ) A6 B7 C8 D9 答案：答案：A 典例典例 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第杨辉三角如图所示

5、，杨辉三角中的第 5 行除去两端行除去两端 数字数字 1 以外，均能被以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是整除，则具有类似性质的行是 ( ) 与杨辉三角有关的问题与杨辉三角有关的问题 A第第 6 行行 B第第 7 行行 C第第 8 行行 D第第 9 行行 (2)如图，在杨辉三角中，斜线如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一上方箭头所示的数组成一 个锯齿形的数列：个锯齿形的数列： 1,2,3,3,6,4,10， ， 记这个数列的前， 记这个数列的前 n 项和为项和为 S(n)， 则则 S(16)等于等于 ( ) A144 B146 C164 D461 解析解析 (1)由题

6、意， 第由题意， 第 6 行为行为 1 6 15 20 15 6 1， 第， 第 7 行为行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第，故第 7 行除去两端数字行除去两端数字 1 以外，均能被以外，均能被 7 整除整除 (2)由题干图知，数列中的首项是由题干图知，数列中的首项是 C2 2，第 ，第 2 项是项是 C1 2，第 ，第 3 项是项是 C2 3，第 ，第 4 项是项是 C1 3， ，第，第 15 项是项是 C2 9，第 ，第 16 项是项是 C1 9 所以所以 S(16) C1 2 C2 2 C1 3 C2 3 C1 9 C2 9 (C1 2 C1 3 C1 9) (C2 2

7、C2 3 C2 9) (C2 2 C1 2 C1 3 C1 9 C2 2) (C3 3 C2 3 C2 9) C2 10 C3 10 1164 答案答案 (1)B (2)C 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 (1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之 间，行与行之间的数的规律间，行与行之间的数的规律 (2)表达：将发现的规律用数学式子表达表达：将发现的规律用数学式子表达 (3)结论：由数学表达式得出结论结论：由数学表达式得出结论 活学活用活学活用 如图，如图， 在由二项式系数所构成的杨辉三角中， 第

8、在由二项式系数所构成的杨辉三角中， 第_行中从行中从 左到右第左到右第 14 与第与第 15 个数的比为个数的比为 23 解析：解析：由杨辉三角知，第一行中的数是由杨辉三角知，第一行中的数是 C0 1， ，C1 1；第 ；第 2 行中行中 的数是的数是 C0 2， ，C1 2， ，C2 2；第 ；第 3 行中的数是行中的数是 C0 3， ，C1 3， ，C2 3， ，C3 3， ， 第第 n 行中的数是行中的数是 C0 n， ，C1 n， ，C2 n， ，Cn n 设第设第 n 行中从左到行中从左到 右第右第 14 与第与第 15 个数的比为个数的比为 23，则，则 C13 n C14 n 2

9、3，解，解 之得之得 n34 答案：答案：34 典例典例 设设(12x)2 016a0a1xa2x2a2 016 x2 016(xR) (1)求求 a0a1a2a2 016的值的值 (2)求求 a1a3a5a2 015的值的值 (3)求求|a0|a1|a2|a2 016|的值的值 求展开式的系数和求展开式的系数和 解解 (1)令令 x1，得，得 a0a1a2a2 016(1)2 0161 (2)令令 x1，得，得 a0a1a2a2 01632 016 得得 2(a1a3a2 015)132 016， a1a3a5a2 0151 32 016 2 (3)Tr 1Cr2 016(2x)r(1)r

10、Cr2 016 (2x)r， a2k 10(kN*)，a2k0(kN*) |a0|a1|a2|a3|a2 016| a0a1a2a3a2 01632 016 二项展开式中系数和的求法二项展开式中系数和的求法 (1)对形如对形如(axb)n, (ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系的式子求其展开式各项系 数之和，只需令数之和，只需令 xy1 即可即可 (2)一般地，若一般地，若 f(x)a0a1xa2x2an

11、xn，则，则 f(x)展开展开 式中各项系数之和为式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为奇数项系数之和为 a0a2a4f 1 f 1 2 ， 偶数项系数之和为偶数项系数之和为 a1a3a5f 1 f 1 2 活学活用活学活用 已知已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：，求： (1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7，a0a2a4a6 解：解：(1)(12x)7a0a1xa2x2a7x7， 令令 x1，得，得 a0a1a2a71， 令令 x0，得，得 a01， a1a2a72 (2)令令 x1，得，得 a0a1a2a3a6a7372 187， 由由，得得 a1a3a5a7

12、1 094， a0a2a4a61 093 典例典例 在在 x 2 x2 8 的展开式中，的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？系数的绝对值最大的项是第几项？ 解解 Tr 1Cr8 ( x)8 r 2 x2 r(1)r Cr 8 2 r 5 4 2 r x (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项，项， 故故 T5C4 8 2 4 20 4 2 x 1 120x 6 求展开式中系数或二项式系数求展开式中系数或二项式系数 的最大项的最大项 (2)设第设第 r1 项系数的绝对值最大，项系数的绝对

13、值最大， 则则 Cr 8 2 r Cr 1 8 2r 1， ， Cr 8 2 r Cr 1 8 2r 1， ， 即即 1 8r 2 r1， ， 2 r 1 9r. 整理得整理得 r5， r6. 于是于是 r5 或或 6 故系数绝对值最大的项是第故系数绝对值最大的项是第 6 项和第项和第 7 项项 一题多变一题多变 1变设问变设问在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项 解：解： 由本例由本例(1)知，知， 展开式中的第展开式中的第 6 项和第项和第 7 项系数的绝项系数的绝 对值最大，对值最大， 第第 6 项的系数为负，项的系数为负， 第第 7 项的系数

14、为正项的系数为正 故系数最大的项为故系数最大的项为 T7C6 8 2 6 x11 1 792x 11 系数最小的项为系数最小的项为 T6(1)5C5 8 2 5x 17 2 1 792x 17 2 2变条件，变设问变条件，变设问在在 x 2 1 3 x n 的展开式中，只有第的展开式中，只有第 5 项的项的 二项式系数最大，求展开式中常数项二项式系数最大，求展开式中常数项 解：解：由题意知由题意知 n8，通项为，通项为 Tk 1(1)k Ck 8 1 2 8k x 4 8 3 k ， 令令 84 3k 0，得，得 k6，故常数项为第，故常数项为第 7 项，且项，且 T7 (1)6 1 2 2 C6 8 7 二项式系数的最大项的求法二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a b)n中的中的 n 进行讨论进行讨论 (1)当当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大为奇数时，中间两项的二项式系数最大 (2)当当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大为偶数时，中间一项的二项式系数最大 “多练提能多练提能熟生巧熟生巧”见见“课时跟踪检测课时跟踪检测(八八)” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )