复习课（二）　随机变量及其分布.ppt

1、条件概率条件概率 复习课复习课(二二) 随机变量及其分布随机变量及其分布 (1)在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现， 一般以选择题或填空题形式考查，难度中低档一般以选择题或填空题形式考查，难度中低档 (2)条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计 算条件概率时， 必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下算条件概率时， 必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下 发生的概率发生的概率 条件概率的性质条件概率的性质 (1)非负性：非负性：0P(B|A)1 (2)可加性： 如果是两个互斥事件， 则可加性： 如果是两个互

2、斥事件， 则 P(BC|A)P(B|A) P(C|A) 典例典例 口袋中有口袋中有 2 个白球和个白球和 4 个红球，个红球， 现从中随机地现从中随机地 不放回连续抽取两次，不放回连续抽取两次， 每次抽取每次抽取 1 个，个， 则：则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？第一次取出的是红球的概率是多少？ (2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？ (3)在第一次取出红球的条件下，在第一次取出红球的条件下， 第二次取出的是红球的第二次取出的是红球的 概率是多少？概率是多少？ 考点精要考点精要 解解 记事件记事件 A：第一次取出的是红球；：第一次

3、取出的是红球； 事件事件 B：第二：第二 次取出的是红球次取出的是红球 (1)从中随机地不放回连续抽取两次， 每次抽取从中随机地不放回连续抽取两次， 每次抽取 1个，个， 所所 有基本事件共有基本事件共 65 个；个； 第一次取出的是红球，第一次取出的是红球， 第二次是第二次是 其余其余 5 个球中的任一个，个球中的任一个， 符合条件的有符合条件的有 45 个，个， 所以所以 P(A)4 5 65 2 3 (2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个， 所有基本事件共个， 所有基本事件共 65 个； 第一次和第二次都取出个； 第一次和第二次都取出

4、的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的 有有 43 个，所以个，所以 P(AB)4 3 65 2 5 (3)利用条件概率的计算公式，可得利用条件概率的计算公式，可得 P(B|A) P AB P A 2 5 2 3 3 5 类题通法类题通法 条件概率的两个求解策略条件概率的两个求解策略 (1)定义法：计算定义法：计算 P(A)，P(B)，P(AB)，利用，利用 P(A|B)P AB P B 或或 P(B|A)P AB P A 求解求解 (2)缩小样本空间法：利用缩小样本空间法：利用 P(B|A)n AB n A 求解求解 其中其中(2)常用于

5、古典概型的概率计算常用于古典概型的概率计算问题问题. 1从编号为从编号为 1,2，10 的的 10 个大小相同的球中任取个大小相同的球中任取 4 个，个， 已知选出已知选出 4 号球的条件下， 选出球的最大号码为号球的条件下， 选出球的最大号码为 6 的概率为的概率为 _ 解析：解析：令事件令事件 A选出的选出的 4 个球中含个球中含 4 号球号球，B选出选出 的的 4 个球中最大号码为个球中最大号码为 6 依题意知 依题意知 n(A)C3 9 84， n(AB) C2 4 6，P(B|A)n AB n A 6 84 1 14 答案：答案： 1 14 题组训练题组训练 2已知男人中有已知男人中

6、有 5%患色盲，女人中有患色盲，女人中有 025%患色盲，从患色盲，从 100 个男人和个男人和 100 个女人中任选一人个女人中任选一人 (1)求此人患色盲的概率求此人患色盲的概率 (2)如果此人是色盲， 求此人是男人的概率如果此人是色盲， 求此人是男人的概率 (以上各问结以上各问结 果写成最简分式形式果写成最简分式形式) 解：解：设设“任选一人是男人任选一人是男人”为事件为事件 A，“任选一人是女任选一人是女 人人”为事件为事件 B，“任选一人是色盲任选一人是色盲”为事件为事件 C (1)此人患色盲的概率此人患色盲的概率 PP(AC)P(BC)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B) 10

7、0 200 5 100 100 200 0.25 100 21 800 (2)由由(1)得得 P(AC) 5 200，又因为 ，又因为 P(C) 21 800， ， 所以所以 P(A|C)P AC P C 5 200 21 800 20 21 相互独立事件的概率与二项分布相互独立事件的概率与二项分布 (1)相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一 起进行考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难起进行考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难 度中低档度中低档 而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题

8、为主，有时也以选择、填空题形式考查为主，有时也以选择、填空题形式考查 (2)解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基 础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件， 并运用相应公式求解并运用相应公式求解 考点精要考点精要 (1)若事件若事件 A 与与 B 相互独立，相互独立， 则事件则事件A与与 B， A 与与B，A与与 B 分别相互独立，分别相互独立， 且有且有 P( A B)P( A )P(B)，P(A B ) P(A)P(B)，P(AB)P(A)P(B) (2)若事件若事件 A1，A2，

9、An相互独立，则有相互独立，则有 P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An) (3)在在 n 次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件 A 发生的次数为发生的次数为 X，在每，在每 次试验中事件次试验中事件 A 发生的概率为发生的概率为 p， 那么在， 那么在 n 次独立重复试验中，次独立重复试验中， 事件事件 A 恰好发生恰好发生 k 次的概率为次的概率为 P(Xk)Ck np k(1 p)n k， ，k 0,1,2，n (4)二项分布满足的条件二项分布满足的条件 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定， 可从以下与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定， 可从以下 几个方

10、面判定：几个方面判定： 每次试验中，事件发生的概率是相同的每次试验中，事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 随机变量是这随机变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数次独立重复试验中某事件发生的次数 典例典例 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 4 5，乙当选的概率为 ，乙当选的概率为3 5，丙当选的概率为 ，丙当选的概率为 7 10 (1)求恰有一名同学当选的概率；求恰有一名同学当选的概率； (

11、2)求至多有两人当选的概率求至多有两人当选的概率 解解 设甲、乙、丙当选的事件分别为设甲、乙、丙当选的事件分别为 A，B，C， 则有则有 P(A)4 5， ，P(B)3 5， ，P(C) 7 10 (1)A，B，C 相互独立，相互独立， 恰有一名同学当选的概率为恰有一名同学当选的概率为 P(A B C)P(A B C)P(A B C) P(A) P(B) P(C)P(A) P(B) P(C)P(A) P(B) P(C) 4 5 2 5 3 10 1 5 3 5 3 10 1 5 2 5 7 10 47 250 (2)至多有两人当选的概率为至多有两人当选的概率为 1P(ABC) 1P(A) P(

12、B) P(C)14 5 3 5 7 10 83 125 类题通法类题通法 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 (1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的是判断事件是否相互独立的 充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具 (2)涉及涉及“至多至多”“”“至少至少”“”“恰有恰有”等字眼的概率问等字眼的概率问 题，务必分清事件间的相互关系题，务必分清事件间的相互关系 (3)公式公式“P(AB)1P(A B) ”常应用于求相互独常应用于求相互独 立事件至少有一个发生的概率立

13、事件至少有一个发生的概率 题组训练题组训练 1 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次， 记 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次， 记“硬币正面向上硬币正面向上” 为事件为事件 A，“骰子向上的点数是骰子向上的点数是 3”为事件为事件 B，则事件，则事件 A，B 中中 至少有一件发生的概率是至少有一件发生的概率是_ 解析：解析：用间接法考虑，事件用间接法考虑，事件 A，B 一个都不发生的概率为一个都不发生的概率为 P(AB) P(A) P(B)1 2 5 6 5 12， ， 则事件则事件 A，B 中至少有一件发生的概率中至少有一件发生的概率 P1P(A B) 7 12 答案：答案： 7 12

14、2 在一次抗洪抢险中， 准备用射击的办法引爆从上游漂流而 在一次抗洪抢险中， 准备用射击的办法引爆从上游漂流而 下的一个巨大汽油罐， 已知只有下的一个巨大汽油罐， 已知只有 5 发子弹， 第一次命中只发子弹， 第一次命中只 能使汽油流出， 第二次命中才能引爆， 每次射击能使汽油流出， 第二次命中才能引爆， 每次射击是相互独是相互独 立的，且命中的概率都是立的，且命中的概率都是2 3 (1)求油罐被引爆的概率；求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ，求，求 不小于不小于 4 的概率的概率 解：解：(1)油罐引爆的对立事件

15、为油罐没有引爆，没有引爆油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆 的可能情况是：射击的可能情况是：射击 5 次只击中一次或一次也没有击中，次只击中一次或一次也没有击中， 故该事件的概率为：故该事件的概率为： PC1 5 2 3 1 3 4 1 3 5， ， 所以所求的概率为所以所求的概率为 1P1 C1 5 2 3 1 3 4 1 3 5 232 243 (2)当当 4 时记事件时记事件 A， 则则 P(A)C1 3 2 3 1 3 2 2 3 4 27 当当 5 时，意味着前时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，次射击只击中一次或一次也未击中， 记为事件记为事件 B 则则 P(

16、B)C1 4 2 3 1 3 3 1 3 4 1 9， ， 所以所求概率为：所以所求概率为： P(AB)P(A)P(B) 4 27 1 9 7 27 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差 (1)离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种 最重要的特征数， 它们反映了随机变量取值的平均值及其最重要的特征数， 它们反映了随机变量取值的平均值及其 稳定性， 是高考的一个热点问题， 多与概率统计结合考查，稳定性， 是高考的一个热点问题， 多与概率统计结合考查， 难度中高档难度中高档 (2)期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关期望与方差在实

17、际优化问题中有大量的应用，关 键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同 时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、 方差公式以及期望与方差的线性性质，如方差公式以及期望与方差的线性性质，如 E(aXb) aE(X)b，D(aXb)a2D(X) 考点精要考点精要 (1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分 布列，再按期望与方差的计算公式计算布列，再按期望与方差的计算公式计算 (2)要熟记特殊分布的期望与方差公式要熟记特殊分布的期望与

18、方差公式(如两点分布、如两点分布、 二项分布、超几何分布二项分布、超几何分布) (3)注意期望与方差的性质注意期望与方差的性质 (4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学 模型来表达模型来表达 典例典例 (全国乙卷全国乙卷)某公司计划购买某公司计划购买 2 台机器，该种机器台机器，该种机器 使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可 以额外购买这种零件作为备件，每个以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期元在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个间，如果备件不足再购

19、买，则每个 500 元现需决策在购买元现需决策在购买 机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器台机器 更换的易损零件数发生的概率，记更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示表示 2 台机器三年内共台机器三年内共 需更换的易损零件数，需更换的易损零件数，n 表示购买表示购买 2 台机器的同时购买的易台机器的同时购买的易 损零件数损零

20、件数 (1)求求 X 的分布列；的分布列； (2)若要求若要求 P(Xn)05，确定，确定 n 的最小值；的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n 19 与与 n20 之中选其一，应选用哪个？之中选其一，应选用哪个？ 解解 (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在 三年内需更换的易损零件数为三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为的概率分别为 02,04,02,02 从而从而 P(X16)0202004； P(X17)20204016； P(X18)20202

21、0404024； P(X19)2020220402024； P(X20)20204020202； P(X21)20202008； P(X22)0202004 所以所以 X 的分布列为的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由由(1)知知 P(X18)0.44，P(X19)0.68， 故故 n 的最小值为的最小值为 19 (3)记记 Y 表示表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位：元单位：元) 当当 n19 时，时， E(Y)192000 68(192005

22、00)0 2(19200 2500)008(192003500)0044 040； 当当 n20 时，时， E(Y) 202000 88 (20200 500)0 08 (202002500)0044 080 可知当可知当n19时所需费用的期望值小于当时所需费用的期望值小于当n20时所需费时所需费 用的期望值，故应选用的期望值，故应选 n19 类题通法类题通法 求离散型随机变量求离散型随机变量 X 的期望与方差的步骤的期望与方差的步骤 (1)理解理解 X 的意义，写出的意义，写出 X 可能的全部取值；可能的全部取值； (2)求求 X 取每个值的概率或求出函数取每个值的概率或求出函数 P(Xk)

23、； (3)写出写出 X 的分布列；的分布列； (4)由分布列和期望的定义求出由分布列和期望的定义求出 E(X)； (5)由方差的定义，由方差的定义， 求求 D(X), 若若 XB(n，p), 则可直接利用则可直接利用 公式求，公式求，E(X)np，D(X)np(1p) 题组训练题组训练 1一袋中装有分别标记着一袋中装有分别标记着 1,2,3 数字的数字的 3 个小球，每次从袋中取个小球，每次从袋中取 出一个球出一个球(每只小球被取到的可能性相同每只小球被取到的可能性相同)， 现连续取， 现连续取 3 次球， 若次球， 若 每次取出一个球后放回袋中，记每次取出一个球后放回袋中，记 3 次取出的球

24、中标号最小的数次取出的球中标号最小的数 字与最大的数字分别为字与最大的数字分别为 X， Y， 设， 设 YX， 则， 则 E()_ 解析：解析：由题意知由题意知 的取值为的取值为 0,1,2，0，表示，表示 XY，1 表示表示 X1， Y2 或或 X2， Y3； 2 表示表示 X1， Y3 P(0) 3 33 1 9， ，P(1)2 23 33 4 9， ， P(2)2 3A3 3 33 4 9， ，E()01 9 14 9 24 9 4 3 答案：答案：4 3 2一次同时投掷两枚相同的正方体骰子一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各骰子质地均匀，且各 面分别刻有面分别刻有 1,

25、2,2,3,3,3 六个数字六个数字) (1)设随机变量设随机变量 表示一次掷得的点数和，求表示一次掷得的点数和，求 的分布列的分布列 (2)若连续投掷若连续投掷 10 次，设随机变量次，设随机变量 表示一次掷得的点数和表示一次掷得的点数和 大于大于 5 的次数，求的次数，求 E()，D() 解：解：(1)由已知，随机变量由已知，随机变量 的取值为：的取值为：2,3,4,5,6 投掷一次正方体骰子所得点数为投掷一次正方体骰子所得点数为 X，则，则 P(X1)1 6， ，P(X2)1 3， ，P(X3)1 2， ， 即即 P(2)1 6 1 6 1 36， ， P(3)21 6 1 3 1 9，

26、 ， P(4)21 6 1 2 1 3 1 3 5 18， ， P(5)21 3 1 2 1 3， ， P(6)1 2 1 2 1 4 故故 的分布列为的分布列为 P 2 3 4 5 6 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 (2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设其发生，设其发生 的概率为的概率为 p，由，由(1)知，知，p1 4， ， 因为随机变量因为随机变量 B 10，1 4 ， 所以所以 E()np101 4 5 2， ，D()np(1p)101 4 3 4 15 8 正态分布正态分布 (1)高考主要以选择、填空题形式考查正态

27、曲线的形状特高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特 征与性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档征与性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档 (2)注意数形结合 由于正态分布密度曲线具有完美的对称注意数形结合 由于正态分布密度曲线具有完美的对称 性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解 决某一区间内的概率问题成为热点问题决某一区间内的概率问题成为热点问题 考点精要考点精要 正态变量在三个特殊区间内取值的概率正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(X)0682 6 (2)P(2X2)0954 4 (3)P(

28、31)p，则，则 P(10) 等于等于 ( ) A1 2 p B1p C12 p D1 2 p 解析：解析：选选 D 由于随机变量服从正态分布由于随机变量服从正态分布 N(0,1)，由标准，由标准 正态分布图象可得正态分布图象可得 P (11)12p 故故 P(10)1 2P( 11)1 2 p 2已知已知 XN (，2)，且，且 P (X0)P (X4)1，则，则 _ 解析：解析：P (X0)P (X4)1，又，又P (X4) P (X4)1，P (X0)P (X4)，又，又 0 与与4 关于关于 x2 对称，对称，曲线关于曲线关于 x2 对称，即对称，即 2 答案：答案：2 “回扣验收特训回扣验收特训”见见“回扣验收特训（二）回扣验收特训（二）” ( (单击进入电子文档单击进入电子文档) )