《二次函数的图像与一元二次方程》课件-(公开课获奖)2022年青岛版-2.ppt

1、学习目标1.探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，体会方程与函数的密切关系;2.学会用图像法求一元二次方程近似根;相等相等1 1抛物线与抛物线与x x轴有几个公共点？轴有几个公共点？公共点的坐标分别是什么？公共点的坐标分别是什么？观察抛物线观察抛物线y=x2-2x-3，思考，思考下面的问题：下面的问题：2 2当当x x取何值时，函数取何值时，函数y=x2-2x-3y=x2-2x-3的值是的值是0 0？3 3一元二次方程一元二次方程x2-2x-3=0 x2-2x-3=0有没有根？有没有根？如果有根，它的根是什么？如果有根，它的根是什么？4一元二次方程一元二次方程x2-2x-3=0

2、的根和抛物线的根和抛物线y=x2-2x-3与与x轴的公共点的横坐标轴的公共点的横坐标抛物线与抛物线与x x轴有两个公共点轴有两个公共点-1,0)-1,0)，3,03,0。.当当x=-1,x=3x=-1,x=3时，函数时，函数y y的值是的值是0.0.即即x x2 2-2x-3=0-2x-3=0。一元二次方程一元二次方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的根是的根是x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3，。意意 义义定定 义义有什么关系？有什么关系？1抛物线与抛物线与x轴有几个公共点？轴有几个公共点？交点的坐标分别是什么？交点的坐标分别是什么？观察抛物线观察抛物线 ，思考，思考下面

3、的问题：下面的问题：（3）一元二次方程）一元二次方程 有没有根？有没有根？如果有根，它的根是什么？如果有根，它的根是什么？（4）一元二次方程）一元二次方程 的根和抛物线的根和抛物线 与与x轴的公共点的横坐标有什么关系？轴的公共点的横坐标有什么关系？2110.-0.24xyxx当时，函数 的值是即21211-0.42xxxx一元二次方程的根是211-,042yxxx抛物线与 轴的交点坐标是（）。定定 义义意意 义义。相等相等.y=x2-2x-34 4一元二次方程一元二次方程x2-2x-3=0 x2-2x-3=0的的根和抛物线根和抛物线y=x2-2x-3 y=x2-2x-3 与与x x轴的轴的公共

4、点的横坐标有什么关系？公共点的横坐标有什么关系？4一元二次方程一元二次方程 的根和抛物线的根和抛物线 与与x轴的轴的公共点的横坐标有什么关系？公共点的横坐标有什么关系？通过刚刚解答的问题，通过刚刚解答的问题，你能得到什么样的结论？你能得到什么样的结论？抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴公共点的横坐标，轴公共点的横坐标，恰为一元二次方程恰为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。的实根。假设一元二次方程假设一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，那有实根，那么么抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有公共点，且轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。公共点的横坐标是这个一元

5、二次方程的实根。y=x2-2x-3抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有公共点轴有公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0有实根有实根转化为转化为转化为转化为画抛物线画抛物线y=x2-3x-2，判断一元二次方程，判断一元二次方程x2-3x-2=0根的情况。根的情况。例例1用图象法讨论一元二次方程用图象法讨论一元二次方程x2-3x-2=0的根的根解：解：1画抛物线画抛物线y=x2-3x-2.2由图象可知，在由图象可知，在-1与与0 之间以及之间以及 3与与4之间各有一个根之间各有一个根.分别计算分别计算x=0，x=-1，的函数值，列表如下：，的函数值，列表如下：xy-102-2由于当由于当

6、x=-1时，时，y0，当时，当时，y0，所以方程的根，所以方程的根在在-1和之间。和之间。由于在画图和观察过程中由于在画图和观察过程中存在误差，所以得到的往往存在误差，所以得到的往往是二次方程根的近似值是二次方程根的近似值精确到精确到可再将可再将-1和之间分为和之间分为5等份，每个分点作为等份，每个分点作为x值，利用计算器求出所对应的函数值，列表：值，利用计算器求出所对应的函数值，列表：xy2可以看出，这个根在和之间，由于此题要求精确到，可以看出，这个根在和之间，由于此题要求精确到，所以可以将或看作二次方程所以可以将或看作二次方程x2-3x-2=0较小根的近似值，即二次方程较小根的近似值，即二

7、次方程x2-3x-2=0的较小根为或的较小根为或你能求出二次方程你能求出二次方程x2-3x-2=0较大根较大根的近似值吗？试试看！的近似值吗？试试看！同样的，可以求出一元二次方程同样的，可以求出一元二次方程x2-3x-2=0的较大的较大根的近似值，列表如下：根的近似值，列表如下：由上表可见，方程的较大根在和之间，由上表可见，方程的较大根在和之间，所以可以将或看作二次方程所以可以将或看作二次方程x2-3x-2=0较大根的较大根的近似值，即二次方程近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较大根为或的较大根为或-22xy例例2用图象法讨论一元二次方程用图象法讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根。的根

8、。xy解：解：1画出抛物线画出抛物线y=x2-2x+32由于图象与由于图象与x轴没有公共点，轴没有公共点，所以一元二次方程所以一元二次方程x2-2x+3=0没有没有实数根实数根抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴无公共点轴无公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0无实根无实根转化为转化为转化为转化为xy广角镜广角镜 对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2+bx+c=0a，b，c为常数，为常数，a0，由于一元二次方程的根的个数由代数式由于一元二次方程的根的个数由代数式b2-4ac的符号决的符号决定，因此把定，因此把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常叫做一元二次方程根的判别式，通

9、常用希腊字母用希腊字母 表示，即表示，即 =b2-4ac 具体来说，一元二次方程的根有三种情况：具体来说，一元二次方程的根有三种情况：1当当 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；2当当 0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；3当当 0时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有公共点轴有公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0有实根有实根二次方程二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式的根的判别式 0 转化为转化为转化为转化为为化转为化转转化为转化为为化转为化转转

10、化为转化为抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴无公共点轴无公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0无实根无实根二次方程二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的根的判别式 0转化为转化为转化为转化为为化转为化转转化为转化为为化转为化转转化为转化为二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象二次方程二次方程ax2+bx+c=0的根的根二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴的公共点轴的公共点的个数的个数二次方程二次方程ax2+bx+c=0的的根的判别式根的判别式两个公共点两个公共点一个公共点一个公共点没有公共点没有公共点有两个不等实根有两个不等实根有两个相等实根有两个相

11、等实根没有实根没有实根000课堂小结：课堂小结：1、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程的图象与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系。的关系。2、根据二次函数的系数，判断它的图象与、根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。轴的位置关系。3、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。课堂小结：课堂小结：当堂检测：当堂检测：2、如果关于、如果关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-2x+m=0有有两个相等的实数根，那么两个相等的实数根，那么m=，此时抛物，此时抛物线线y=x2-2x+m与与x轴有轴有 个公共点。个公共点

12、。1、二次方程、二次方程x2+x-6=0的两根为的两根为x1=-3，x2=2，那么二次函数那么二次函数y=x2+x-6的图象与的图象与x轴公共点的坐轴公共点的坐标为标为 。-3,0，2,0114、用图象法讨论一元二次方程、用图象法讨论一元二次方程 的根的根精确到。精确到。03x4x212当堂检测：当堂检测：3、用图象法讨论一元二次方程、用图象法讨论一元二次方程 的根。的根。03x3x43203xy17xy38计算计算0与与1之间的根：之间的根：计算计算7与与8之间的根：之间的根：分析：分析：作业布置：作业布置：1习题习题5.9 第二题和第三题第二题和第三题2 2我们今天所学习的用图象法求一元二

13、次方程的近似我们今天所学习的用图象法求一元二次方程的近似解，利用了数形结合及逼近的数学思想，与数学领域的二解，利用了数形结合及逼近的数学思想，与数学领域的二分法求方程近似解类似，课下有兴趣的同学可以上网查阅分法求方程近似解类似，课下有兴趣的同学可以上网查阅资料，了解一下什么是二分法？资料，了解一下什么是二分法？确定二次函数的表达式学习目标学习目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；、会利用待定系数法求二次函数的表达式；重点重点2、能根据条件，设出相应的二次函数的表达、能根据条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。式的形式，较简便的求出二次函数表达式。难点难点课前

14、复习课前复习二次函数有哪几种表达式？二次函数有哪几种表达式？一般式：一般式：y=ax2+bx+c (a0)(a0)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k (a0)(a0)交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)(a0)例题选讲例题选讲解：解：所以，设所求的二次函数为所以，设所求的二次函数为y=a(xy=a(x1)1)2 2-6-6由条件得：由条件得：点点(2,3)(2,3)在抛物线上，在抛物线上，代入上式，得代入上式，得3=a3=a2+12+12-6,2-6,得得 a=1 a=1所以，这个抛物线表达式为所以，这个抛物线表达式为 y=(xy=(x1)1)2 2-6-6即：即：y=x

15、y=x2 2+2x+2x5 5例例 1 1例题例题封面封面因为二次函数图像的顶点坐标是因为二次函数图像的顶点坐标是1 1，6 6，抛物线的顶点为抛物线的顶点为1 1，6 6，与轴交点为，与轴交点为2 2，3 3求抛物线的表达式？求抛物线的表达式？例题选讲解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c将将A、B、C三点坐标代入得：三点坐标代入得：a-b+c=616a+4b+c=69a+3b+c=2解得：解得：所以：这个二次函数表达式为：所以：这个二次函数表达式为：a=1,b=-3,c=2y=x2-3x+2已知点已知点A（1,6）、）、B（2,3）和）和C（2,7），），求经过这

16、三点的二次函数表达式。求经过这三点的二次函数表达式。oxy例例 2例题例题封面封面例题选讲解：解：所以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(xy=a(x1)(x1)(x1 1由条件得：由条件得：已知抛物线与已知抛物线与X X轴交于轴交于A A（1 1，0 0），），B B（1,01,0）并经过点并经过点M M（0,10,1），求抛物线的表达式？），求抛物线的表达式？yox点点M(0,1)M(0,1)在抛物线上在抛物线上所以所以：a(0+1)(0-1)=1a(0+1)(0-1)=1得：得：a=-1a=-1故所求的抛物线表达式为故所求的抛物线表达式为 y=y=-(x(x1)(x-1)1)

17、(x-1)即：即：y=y=x x2 2+1+1例题例题例例 3 3封面封面因为函数过因为函数过A A1 1，0 0，B B1,01,0两点两点 ：小组探究小组探究1、二次函数对称轴为、二次函数对称轴为x=2，且过，且过3，2、-1,10两点，求二次函数的表达式。两点，求二次函数的表达式。2、二次函数极值为、二次函数极值为2，且过，且过3，1、-1,1两点，求二次函数的表达式。两点，求二次函数的表达式。解：设解：设y=a(x-2)y=a(x-2)2 2-k-k解：设解：设y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+2+2例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交

18、桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如下图如下图)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式 例例 4 4设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为y=axy=ax2 2bxbxc c，解：解：根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0(0，0)0)，(20(20，16)16)和和(40(40，0)0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a a、b b、c c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a a、b b、c c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程

19、较繁杂，过程较繁杂，评价评价封面封面练习练习例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如下图如下图)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式 例例 4设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上，通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵式求解，方法比较灵活活 评价评价 所求抛物线表达式为所求抛物线表达式为 封面封面练习练习用

20、待定系数法求函数表达式的一般步骤用待定系数法求函数表达式的一般步骤:1、设出适合的函数表达式；、设出适合的函数表达式；2 2、把条件代入函数表达式中，得到关于待定、把条件代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；系数的方程或方程组；3 3、解方程组求出待定系数的值；解方程组求出待定系数的值；4 4、写出一般表达式。写出一般表达式。课堂小结课堂小结求二次函数表达式的一般方法：求二次函数表达式的一般方法：图象上三点或三对的对应值，图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式通常选择一般式图象的顶点坐标、对称轴或和最值图象的顶点坐标、对称轴或和最值 通常选择顶点式通常选择顶点式图象与图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式。通常选择交点式。yxo封面封面确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。恰当地选用一种函数表达式。