图形变换-教学课件.ppt

1、图形变换 主要介绍?二维几何变换?窗口到视区的变换?三维几何变换 图形变换 主要介绍?二维几何变换?窗口到视区的变换?以下几方面的内容：数学基础：矢量、矩阵及运算 二维几何变换 三维几何变换 投影变换 视窗变换 内容 以下几方面的内容：数学基础：矢量、矩阵及运算 二变换的数学基础?矢量 矢量和?zyxuuuU?zyxvvvV?zzyyxxvuvuvuVU变换的数学基础?矢量 矢量和?变换的数学基础 矢量的数乘 矢量的点积?性质?zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVU?UVVU?VUVU?000?UUU变换的数学基础 矢量的数乘 矢量的点积?性质变换的数学基础 矢量的长度?单位矢量?

2、矢量的夹角 矢量的叉积 222zyxuuuUUU?VUVU?coszyxzyxvvvuuukjiVU?变换的数学基础 矢量的长度?单位矢量?矢量的夹角变换的数学基础?矩阵 阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 mn?变换的数学基础?矩阵 阶矩阵 矩阵的含义 矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。?mnmmnnaaaaaaaaa .21222211 1211A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素 变换的数学基础 矩阵的含义 矩阵：由m n 个数按一定位置排列的一个 矩阵运算?加法 设A，B为两个具有

3、相同行和列元素的矩阵 A+B=?数乘 kA=k*aij|i=1.m,j=1,.n?.b .b m22111112121111mnmnmmmnnbaababaaba变换的数学基础 矩阵运算?加法 设A，B 为两个具有相同行和列元素的矩阵?乘法 设A为32矩阵，B为23矩阵 C=A B=C=Cmp=Am n Bnp cij=aik*bkj?单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素 aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am n=Am n In?babab abababababababababa322322221221312321221121321322121211311

4、321121111 k=1,n 变换的数学基础?乘法 设A 为3 2 矩阵，B 为2 3 矩阵 C =?逆矩阵 若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵?矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。(AT)T=A (A+B)T=AT+BT (aA)T =aAT (AB)T =BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT，则 A是对称矩阵。变换的数学基础?逆矩阵 若矩阵A 存在A A-1=A-1 A=I，则称A 矩阵运算的基本性质?交换律与结合律师 A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C?数乘的分配律及结合律 a(A+B)=aA

5、+aB;a(A B)=(aA)B=A(aB)(a+b)A=aA+bA a(bA)=(ab)A 变换的数学基础 矩阵运算的基本性质?交换律与结合律师 A+B=?矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C)=(A B)C (A+B)C=A C+B C C(A+B)=C A+C B?矩阵的乘法不适合交换律 变换的数学基础?矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C)=(A 所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,Pn)表示为（hP1,hP2,?hPn,h），其中h称为哑坐标。1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以

6、是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标?h齐次坐标 由齐次坐标h普通坐标 3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前 n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。齐次坐标 所谓齐次坐标表示法就是由n+1 维向量表示一个n 维向量。如n齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 (,)xy hhh0,?hhyyhxxhh?hzhyyhxxhhh齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点

7、从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（x?h,y?h,h)，令h等于0 3.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。4.变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现 齐次坐标的作用 1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二窗口视图变换?用户域和窗口区 1 用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)a 人们所要描述的图形均在用户域中定义。b 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。2 窗口区：用户指定的任一区域(W)a 窗口区W小于或等于用户域WD b 小于用户域的窗口区W叫

8、做用户域的子域。c 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。窗口视图变换?用户域和窗口区 1 用户域：程序员用来定窗口视图变换 1 屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有 限 的 整 数 域。如 图 形 显 示 器 分 辨 率 为1024?768DC0.1023?0.767 2 视图区：任何小于或等于屏幕域的区域 a 视图区用设备坐标定义在屏幕域中 b 窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。c 视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。d 视图区也可以嵌套。窗口视

9、图变换 1 屏幕域(D C)：设备输出图形的最大区域窗口区和视图区的坐标变换 设窗口的四条边界WXL,WXR,WYB,WYT 视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT 则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对应屏幕视图区中的点（Xs,Ys），其变换公式为?VYBWYBYWYBWYTVYBVYTYVXLWXLXWXLWXRVXLVXRXwsws窗口区和视图区的坐标变换 设窗口的四条边界WX L,WX R,窗口区和视图区的坐标变换?简化为：?1)当a?c时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。?2)当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Y

10、w,图形完全相同。?思考：前面讲的窗口视图变换时，假设窗口的边和坐标轴平行，如果窗口的边不和坐标轴平行呢？式)1(?dYcYbXaXwsws窗口区和视图区的坐标变换?简化为：?1)当a?c 时，窗口区和视图区的坐标变换?A.先让窗口 FGHI转-角，使它和 FGHI重合。?B.用(1)式进行计算。?窗口区和视图区的坐标变换?A.先让窗口F G H图形变换是计算机图形学基础内容之一。几何变换，投影变换，视窗变换 线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：?把用户坐标系与设备坐标系联系起来；?可由简单图形生成复杂图形；?可用二维图形表示三维形体；?动态显示。图形变换 图形变换是计算机图形学基础内容之

11、一。几何变换，投影变换，二维图形的显示流程图 二维图形的显示流程图 图形的几何变换?图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。?图形变换的两种形式：?1.图形不变，坐标系改变；?2.图形改变，坐标系不变。?我们所讨论的是针对坐标系的改变而讲的。图形的几何变换?图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产二维图形的几何变换?设二维图形变换前坐标为(x,y,1),变换后为(x*,y*,1)?1 二维变换矩阵?注意：T2D可看作三个行向量，其中?1 0 0：表示x 轴上的无穷远点?0 1 0：表示y 轴上的无穷远点?0 0 1：表示原点?ifchebgdaTD2二维图形的几何变换?设二维图

12、形变换前坐标为(x,y,1)二维图形的几何变换?从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵?体放大。则总体缩小；否则，总若变换。：对整体图形进行伸缩处产生一个灭点。：在处产生一个灭点。：在：对图形做投影变换。：对图形进行平移变换。转、对称、错切等变换：对图形进行缩放、旋,10001000111*11?iiyxyxihxhgxghgfcebda?二维图形的几何变换?从变换功能上可把T 2 D 分为四个子矩阵 二维基本变换-平移变换?平移变换?平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状?1101000111*yxyxTyTxTTyxyx?二维基本变换-平移变换?平移变换?平移变换只二维基本变换-比

13、例变换 以坐标原点为放缩参照点 当Sx=Sy=1时：恒等比例变换 当Sx=Sy1时：沿x,y方向等比例放大。当Sx=Sy0：图形沿+x方向作错切位移。ABCDA1B1C1D1?当b0：图形沿+y方向作错切位移。ABCD A1B1C1D1?当d0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。?1 0 0 00 cos sin-00 sin cos 00 0 0 11 zy x 1 z y?x三维变换矩阵-旋转变换?矩阵表示为：?遵循右手法三维变换矩阵-旋转变换 绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x=sin(+)=x*cos +z*sin y=y z=cos(+)=z*cos-

14、x*sin X Y Z(x,z)(x z)X Z O O Z 三维变换矩阵-旋转变换 绕Y 轴旋转 此时，Y 坐标不三维变换矩阵-旋转变换?矩阵表示为?1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin-0 cos1 zy x 1 z y?x三维变换矩阵-旋转变换?矩阵表示为?三维变换矩阵-旋转变换 绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。x=cos(+)=x*cos -y*sin y=sin(+)=x*sin+y*cos z=z X Y Z(x,y)(x y)X Y O O 三维变换矩阵-旋转变换 绕Z 轴旋转 此时，Z 坐三维变换矩阵-旋转变换?矩阵表示为：?1 0

15、 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin-0 0 sin cos1 zy x 1 z y?x三维变换矩阵-旋转变换?矩阵表示为：?绕任意轴的旋转变换-方法1?a)绕过原点的任意轴的旋转变换?空间点P(x,y,z)绕过原点的任意轴ON逆时针旋转角的旋转变换。?基本思想基本思想：因ON轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。绕任意轴的旋转变换-方法1?a)绕过原点的绕任意轴的旋转变换-方法1?解：令ON为单位长度，其方向余弦为：?、为ON轴与各坐标轴的夹角。?变换过程如下：?1)让ON轴绕z轴旋转-，使之在XOZ平面上。其

16、中 222;cos;cos;coszyxrrzcrybrxa?22sinbab?22cosbaa?绕任意轴的旋转变换-方法1?解：令O N 为单位长度，其方向余绕任意轴的旋转变换-方法1?因此?2）让在XOZ平面上的ON绕y轴旋转-,使之与z轴重合。其中?因此?1000010000cossin00sincos?zR22si nba?c?cos?10000cos0sin00100sin0cos?yR绕任意轴的旋转变换-方法1?因此?2）让在X O Z 平面上绕任意轴的旋转变换-方法1?3）P点绕ON轴（即z轴）逆时针旋转 角?4）ON轴绕y轴旋转?5）ON轴绕z轴旋转?因此?b)绕任意轴的旋转变

17、换?上 面 的ON轴若 不 过 原 点，而是 过 任 意 点(x0,y0,z0)，变换如何呢？?zR?yR?zR?zyzyzRRRRRT?绕任意轴的旋转变换-方法1?3）P 点绕O N 轴（即z 轴）逆时绕任意轴的旋转变换-方法2?组合变换：空间一点绕空间任一轴线的旋转变换。要通过将几个基本的变换组合在一起，得到该组合变换。假定空间任一直线的方向矢量分别为：(l,m,n)并经过原点 (l,m,n)(x,y,z)(x,y,z)X Y Z O N 绕任意轴的旋转变换-方法2?组合变换：空间一点绕空间任一轴绕任意轴的旋转变换-方法2 能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？ON绕Z轴旋转2 到XOZ平面

18、上，然后再绕Y轴旋转1，即可与Z轴重合。O N 2 1 Y Z X 绕任意轴的旋转变换-方法2 能否转换成绕X、Y 或Z 轴旋转的变绕任意轴的旋转变换-方法2 这样，可得空间上任一点绕ON轴旋转的变换过程如下：1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合；2）然后使点绕Z轴旋转 角；3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回 到原来的位置。假设，绕Z轴的旋转-2矩阵为T1 绕Y轴的旋转-1矩阵为T2 绕Z轴的旋转 矩阵为T3 绕Y轴的旋转1矩阵为T4 绕Z轴的旋转2矩阵为T5 绕任意轴的旋转变换-方法2 这样，可得空间上任一点绕O N 轴旋绕任意轴的旋转变换-方法2 则总体变换矩阵为：T=T1 T2

19、 T3 T4 T5 由上推导可看出，只要能求出 1、2的值，即可通过上式获得绕ON轴的变换矩阵。由于矢量（0 0 1）绕Y轴旋转1，再绕Z轴旋转2 即可与ON轴重合。即：?1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin-0 0 sin cos 1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin-0 cos1 1 0 01n m l22221111?绕任意轴的旋转变换-方法2 则总体变换矩阵为：l m n 1=sin1cos2，sin1sin2，cos1，1 l =sin1cos2 m=sin1sin2 n=cos1 从而通过上式即可得到 1、2 的值。问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如 何计算变换矩阵？绕任意轴的旋转变换-方法2 l m n