第9讲隐圆模型（原卷版）.doc

1、 中考数学几何模型 9：隐圆模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 【点睛【点睛 1】触发隐圆模型的类型触发隐圆模型的类型 （1 1）动点定长模型）动点定长模型 若 P 为动点，但 AB=AC=AP 原理：原理：圆 A 中，AB=AC=AP 则 B、C、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径 备注：备注：常转全等或相似证明出定长 （2 2）直角圆周角）直角圆周角模型模型 固定线段 AB 所对动角C 恒为 90 原理：原理：圆 O 中，圆周角为 90所对弦是直径 则 A、B、C 三点共圆，AB 为直径 备注：备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3 3）定弦定角模型）定弦定角模型 固定线段 AB

2、所对动角P 为定值 原理：原理：弦 AB 所对同侧圆周角恒相等 则点 P 运动轨迹为过 A、B、C 三点的圆 备注：备注：点 P 在优弧、劣弧上运动皆可 （4 4）四点共圆模型）四点共圆模型 若动角A+动角C=180 原理：原理：圆内接四边形对角互补 则 A、B、C、D 四点共圆 备注：备注：点 A 与点 C 在线段 AB 异侧 （5 5）四点）四点共圆模型共圆模型 固定线段 AB 所对同侧动角P=C 原理：原理：弦 AB 所对同侧圆周角恒相等 则 A、B、C、P 四点共圆 备注：备注：点 P 与点 C 需在线段 AB 同侧 【点睛【点睛 2】圆中旋转最值问题圆中旋转最值问题 条件：条件：线段

3、 AB 绕点 O 旋转一周，点 M 是线段 AB 上的一动点，点 C 是定点 （1）求 CM 最小值与最大值 （2）求线段 AB 扫过的面积 （3）求 ABC S最大值与最小值 作法：作法：如图建立三个同心圆，作 OMAB，B、A、M 运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：结论：CM1最小，最小，CM3最大最大 线段线段 AB 扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ABC S最小值以最小值以 AB 为底，为底，CM1为高；最大值以为高；最大值以 AB 为底，为底，CM2为高为高 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图， 在边长为 2 的菱形 ABCD

4、 中， A=60 ， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动点， 将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_ A N M AB C D 变式练习变式练习 1如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点， 将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是_ A B C E F P 例题例题 2. 如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上一动点，经过点 O 的直线 l 上有两点 A

5、、B，且 OA=OB，APB=90 ，l 不经过点 C，则 AB 的最小值为_ l P O C BA 变式练习变式练习 2如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的两个动点，AE=2，AEQ 沿 EQ 翻 折形成FEQ，连接 PF、PD，则 PF+PD 的最小值是_ Q A BC D E F P 例题例题 3. 如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ H G A BC D EF 变式练习变式练习 3如图

6、，RtABC 中，ABBC，AB=8，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线 段 CP 长的最小值是_ P A B C 例题例题 4. 如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_ O E D C B A 变式练习变式练习 4如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为

7、点 G，连接 AG， 则 AG 长的最小值为 G F E D CB A 例题例题 5. 如图，等边ABC 边长为 2，E、F 分别是 BC、CA 上两个动点，且 BE=CF，连接 AE、BF，交点为 P 点，则 CP 的最小值为_ E F CB A P 变式练习变式练习 5在ABC 中，AB=4，C=60 ，AB，则 BC 的长的取值范围是_ 例题例题 6. 如图，ABCD 为正方形，O 为 AC、BD 的交点， DCE 为 Rt ，CED90 ，DCE30 ，若 OE，则正方形的面积为（ ） A5 B4 C3 D2 变式练习变式练习 6如图， BE，CF 为ABC 的高，且交于点 H，连接

8、AH 并延长交于 BC 于点 D，求证：ADBC. D H E F A B C 例题例题 7. 如图，在四边形 ABCD 中，BCD90 ，AC 为对角线，过点 D 作 DFAB，垂足为 E，交 CB 延 长线于点 F，若 ACCF，CADCFD，DFAD2，AB6，则 ED 的长为 变式练习变式练习 7 （1）如图 1，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E 作 DE 的垂线交ABC 的外角平分线于点 F， 求证：FE=DE. （2）如图 2，正方形 ABCD，EAF45 ，当点 E，F 分别在对角线 BD、边 CD 上，若 FC6，则 BE 的 长为 图 1 图 2 例题例

9、题 8. 在锐角ABC 中， AB4， BC5， ACB45， 将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转， 得到A1BC1， 点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应 点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值 变式练习变式练习 8如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）直线 l 是经过点 P 的一条直线，把ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求ACB 面积的最大值 CB A P 达标检测 领悟提升 强化落实

10、 1. 如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB=10，AC=8D 是弧 BC 上的一个动点，连接 AD， 过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为 O E D C BA 2. 如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE，AEB90，AC、BD 交于 O已知 AE、 BE 的长分别为 3，5，求三角形 OBE 的面积 O A BC D E 3. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A 作 AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上另一动点，则 PC+PF 的最小

11、值为_ AB CD E F P 4. 如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，B=30 ，AB=4，D 是 BC 上一动点，CEAD 于 E，EFAB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_ F E D C B A 5. 如图，ABC 为等边三角形，AB=3，若 P 为ABC 内一动点，且满足PAB=ACP，则线段 PB 长度的 最小值为_ A B C P 6. 如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB5cm，AC4cmD 是弧 BC 上的一个动点（含端 点 B，不含端点 C），连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE，在点 D 移动的过程中，BE 的取

12、值 范围是_ 7. 在 Rt ABC 中，C90 ，AC10，BC12，点 D 为线段 BC 上一动点以 CD 为O 直径，作 AD 交O 于点 E，连 BE，则 BE 的最小值为_ 8. 如图，在等腰 Rt ABC 中，BAC90 ，ABAC，BC，点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，则线段 CE 长度的最小值为_ 9. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，BC8，点 O、P 分别是边 AB、AD 的中点，点 H 是边 CD 上的 一个动点，连接 OH，将四边形 OBCH 沿 OH 折叠，得到四边形 OFEH，连接 PE，则 PE 长度的最小值是 _ 10. 如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是边 BC 上的任意一点， 把 BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG，CG，则四边形 AGCD 的面积的最小值为