类型一 圆的基本性质证明与计算-2020年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）.doc

1、 类型一类型一 圆的基本性质证明与计算圆的基本性质证明与计算 命题点 1 垂径定理 例 1、如图，CD 是O 的直径，AB 是弦(不是直径)，ABCD 于点 E，则下列结论正确的是( ) AAEBE B.AD BC CD1 2AEC D ADECBE 【答案】 ：D 命题点 2 圆周角定理 例 2、如图，点 O 为优弧AB 所在圆的圆心，AOC108 ，点 D 在 AB 的延长线上，BDBC，则D_ 【答案】 ：27 重难点 1 垂径定理及其应用 例 3、已知 AB 是半径为 5 的O 的直径，E 是 AB 上一点，且 BE2. (1)如图 1，过点 E 作直线 CDAB，交O 于 C，D 两

2、点，则 CD_； 图 1 图 2 图 3 图 4 探究：如图 2，连接 AD，过点 O 作 OFAD 于点 F，则 OF_； (2)过点 E 作直线 CD 交O 于 C，D 两点 若AED30 ，如图 3，则 CD_； 若AED45 ，如图 4，则 CD_ 【答案】 ： （1）8 ,5 （2）91 82 【思路点拨】 由于 CD 是O 的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合 勾股定理，求出弦的一半，再求弦 【变式训练 1】 如图， 点 A， B， C， D 都在半径为 2 的O 上 若 OABC， CDA30 ， 则弦 BC 的长为( ) A4 B2 2 C.

3、3 D2 3 【答案】 ：D 【变式训练 2】 【分类讨论思想】已知O 的半径为 10 cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB16 cm， CD12 cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是_ 【答案】 ：2cm 或 14cm 方法指导 1垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧 2圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一 条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解 3事实上，过点 E 任作一条弦，只要确定弦与 AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦

4、长 重难点 2 圆周角定理及其推论 例 3、已知O 是 ABC 的外接圆，且半径为 4. (1)如图 1，若A30 ，求 BC 的长； (2)如图 2，若A45 ： 求 BC 的长； 若点 C 是AB 的中点，求 AB 的长； (3)如图 3，若A135 ，求 BC 的长 图 1 图 2 图 3 【答案】 （1）4（2）4 2.,8（3）4 2. 【点拨】 连接 OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，构建可解的等腰三角形求解 【解析】 解：(1)连接 OB，OC. BOC2A60 ，OBOC，OBC 是等边三角形 BCOB4. (2)连接 OB，OC. BOC2A90 ，OBO

5、C，OBC 是等腰直角三角形 OBOC4，BC4 2. 点 C 是AB 的中点，ABCA45 . ACB90 .AB 是O 的直径AB8. (3)在优弧BC 上任取一点 D，连接 BD，CD，连接 BO，CO. A135 ，D45 .BOC2D90 . OBOC4，BC4 2. 【变式训练 3】 如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，OAC32 ，则B 的度数是( ) A58 B60 C64 D68 【答案】 ：A 【变式训练 4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上点 A，B 的读数分别为 88 ， 30 ，则ACB 的大小为( ) A15 B28 C29

6、 D34 【答案】C 方法指导 1 在圆中由已知角求未知角， 同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径， 其关键是找到同一条弧 2弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决 3一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补 模型建立 在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边 易错提示 注意同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，避免把数量关系弄颠倒 重难点 3 圆内接四边形 例 4、 如图， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形 延长 AB 与 DC 相交于点 G， AOCD， 垂足为 E， 连接 BD， GBC 50 ，则DBC 的度

7、数为( ) A50 B60 C80 D90 【答案】C 【思路点拨】 延长 AE 交O 于点 M，由垂径定理可得CD 2DM ，所以CBD2EAD.由圆内接四边形的对角 互补，可推得ADEGBC，而ADE 与EAD 互余，由此得解 【变式训练 5】如图所示，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BCD120 ，则BOD 的大小是( ) A80 B120 C100 D90 【答案】B 【变式训练 6】 如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 BC 延长线上一点若An ，则DCE_ 【答案】n 方法指导 1找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一

8、边在圆 外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质 2在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍 能力提升能力提升 1如图，在O 中，如果AB 2AC ，那么( ) AABAC BAB2AC CAB2AC DAB2AC 【答案】C 2如图，在半径为 4 的O 中，弦 ABOC，BOC30 ，则 AB 的长为( ) A2 B2 3 C4 D4 3 【答案】D 3如图，在平面直角坐标系中，O经过原点 O，并且分别与 x 轴、y 轴交于点 B，C，分别作 OEOC 于点 E， ODOB 于点 D.若 OB8，OC6，则O的半径

9、为( ) A7 B6 C5 D4 【答案】C 4如图，在O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D， 连接 AB， OC.若A60 ，ADC85 ， 则C 的度数是( ) A25 B27.5 C30 D35 【答案】D 5如图， ABC 是O 的内接三角形，ABAC，BCA65 ，作 CDAB，并与O 相交于点 D，连接 BD， 则DBC 的大小为( ) A15 B35 C25 D45 【答案】A 6如图，分别延长圆内接四边形 ABDE 的两组对边，延长线相交于点 F，C.若F27 ，A53 ，则C 的度 数为( ) A30 B43 C47 D53 【答案】C 7如图，小华为了求出一个圆盘的

10、半径，他用所学的知识，将一宽度为 2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边 与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是_cm. 【答案】10cm 8如图，BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E. (1)求证：DEDB； (2)若BAC90 ，BD4，求 ABC 外接圆的半径 【答案】 ：(1)证明：AD 平分BAC，BE 平分ABC， BAECAD，ABECBE. BD CD . DBCBAE. DBECBEDBC，DEBABEBAE, DBEDEB. DEDB. (2)连接 CD. BD CD ，CD

11、BD4. BAC90 ，BC 是直径 BDC90 . BC BD2CD24 2. ABC 外接圆的半径为 2 2. 9如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90 ，AB5，BC10，连接 AC，BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E.若 DE3，则 AD 的长为( ) A5 B4 C3 5 D2 5 提示：过点 D 作 DFAC 于点 F，利用 ADFCAB， DEFDBA 可求解 【答案】D 10如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DEAB 于点 E，且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G.若EF AE 3 4，则 CG GB_ 【答案】

12、 5 5 11如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，弓弦 BC60 cm.沿 AD 方向拉 动弓弦的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图 2，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1时， 有 AD130 cm，B1D1C1120 . (1)图 2 中，弓臂两端 B1，C1的距离为 30 3cm； (2)如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2为半圆，则 D1D2的长为(10 510)cm. 【答案】330,10510 12如图所示，AB 为O 的直径，CD 为弦，且 CDAB，垂足为 H. (1)如果O 的半径为 4

13、，CD4 3，求BAC 的度数； (2)若点 E 为ADB 的中点，连接 OE，CE.求证：CE 平分OCD； (3)在(1)的条件下，圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有多少个？并说明理由 【答案】 ：(1)AB 为O 的直径，CDAB，CH1 2CD2 3. 在 Rt COH 中，sinCOHCH OC 3 2 ，COH60 . BAC1 2COH30 . (2)证明：点 E 是ADB 的中点，OEAB. 又CDAB，OECD.ECDOEC. 又OEOC，OECOCE. OCEDCE，即 CE 平分OCD. (3)圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个 因为AC 上的点到直线 AC 的最大距离为 2，ADC 上的点到直线 AC 的最大距离为 6，236，根据圆的轴对称 性，ADC 到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个