类型一 最优方案问题（解析版）.doc

1、 类型一类型一 最优方案问题最优方案问题 例例 1 某商品的进价为每件 40 元当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现 需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件在确保盈利的前提下， 解答下列问题： （1） 若设每件降价x元、 每星期售出商品的利润为y元， 请写出y与x的函数关系式， 并求出自变量x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】【答案】：当降价 2.5 元时，每星期的利润最大，最大利润是 6125 元. 【分析】【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题首先根据“利润=（售价进价） 销售量”构建二次函数

2、，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值. 【解析】【解析】： （1） y=(60x40)(300+20x) 6000+400x300x20x2 20x2+100x+6000 自变量x的取值范围是 0x20. （2）a200，函数有最大值， 100 2.5 22 ( 20) b a ， 2 2 4 4 4 ( 20) 6000 100 6125 4 ( 20) ac b a . 当 x=2.5 时，y 的最大值是 6125. 当降价 2.5 元时，每星期的利润最大，最大利润是 6125 元. 例例 2 现有一块矩形场地，如图 1 所示，长为 40m，宽为 30m， 要将这块地划分为四块分别种植：

3、A兰花；B菊花；C月季； D牵牛花 （1）求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之 间的函数关系式，并写出自为量的取值范围 （2） 当x是多少时， 种植菊花的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】【答案】：当15mx 时，种植菊米的面积最大， 最大面积为 225m2 【分析】【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间 的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值. 图 1 A B C D x 3 4 x 【解析】【解析】：（1）由题意知，B场地宽为(30)mx， 2 (30)30yxxxx ， 自变量x的取值范围为030x （2） 22 30(15)225

4、yxxx ， 当15mx 时，种植菊米的面积最大， 最大面积为 225m2 点评点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后 再利用配方法或公式法求得最大值有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值 范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据 题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值 例例3、 某人定制了一批地砖， 每块地砖 （如图1(1)所示） 是边长为0.4米的正方形ABCD， 点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上， CFE、 ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制 成 CFE、 ABE 和四边形 AEF

5、D 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、 20 元、 10 元， 若将此种地砖按图 1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH (1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 【答案】：【答案】：(1) 四边形 EFGH 是正方形（2）当 CE=CF=0.1 米时总费用最省. 【分析】【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形 EFGH 是正方形。要注意图形中隐含 的条件， 由图 1(2)可得 CEF 是等腰直角三角 形，即可说明四边形 EFGH 是正方形；（2） 设 CE=x， 则 BE=

6、0.4x， 每块地砖的费用为 y， 分别求出 CFE、 ABE 和四边形 AEFD 的面 积，再根据价格列出 y 与 x 的函数关系式，进 而借助最值公式求得最小值。 【解析】【解析】：(1) 四边形 EFGH 是正方形 图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90 后得到 的，故 CE=CF=CG=CHCEF、 CFG、 CGH、 CHE 是四个全等的等腰直角三 角形.因此 EF=FG=GH=HE，FEH=EFG=GHE=FGH=90 ，因此四边形 EFGH 是正 图 1 (2) A D F B E C (1) E F G H A B D C 方形. (2

7、)设 CE=x，则 BE=0.4x，每块地砖的费用为 y,那么 y= 2 1 x 2 30+ 2 1 0.4 (0.4-x) 20+0.16- 2 1 x 2 - 2 1 0.4 (0.4-x) 10=10(x 2 -0.2x+0.24) =10(x-0.1)2+2.3(0x0.4) 当 x=0.1 时，y 有最小值，即费用为最省，此时 CE=CF=0.1。 答:当 CE=CF=0.1 米时总费用最省. 说明说明：这类探究几何图形中的关系式的问题，在近年来考试题中较为常见，同学们要 注意总结它们的方法，一般地，在平面几何中寻找关系式，要充分挖掘图形的性质，利用 图形的性质（如面积公式、相似三角

8、形的性质等）列出关系式。 例例 4、 一家电脑公司推出一款新型电脑投放市场以来前 3 个月的利润情况如图 2 所示，该图可以近看作为抛物线的一部分请结合图象，解答以下问题： （1）求该抛物线对应的二次函数解析式； （2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ （3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况 （是否 亏损？何时亏损？）作预测分析 【答案】【答案】：（：（1） 2 14yxx （2）49（3）15 个月 【分析】【分析】： （1）结合图象可以判断出是该函数是二次函数， 利用待顶系数法即可解决；（2）在（1）的基础上配方即可； （2）令

9、y=0，列出一元二次方程，解方程即可。 【解析】【解析】：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为： 2 yaxbx， 由图知： 13 4224 ab ab ， ， 解得114ab，所以 2 14yxx （2） 2 14yxx =（x-7）2+49， 当 14 7 2 x 时，利润最大，最大值为 2 714 749y （万元） （3）当0y ， 2 140xx，解得：14x 或0x（舍）故从第 15 个月起， y x 第1月 第2月 第3月 33 24 13 O 图 2 公司将出现亏损 说明说明：本题考查了二次函数关系式的求法、二次函数最值的求法以及利用二次函数与 一元二次方程的关系解决实际问题。