初高中数学衔接教材(50页).doc

1、 初初 高高 中中 数数 学学 衔衔 接接 教教 材材 现有初高中数学知识存在以下“脱节”现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多, 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求， 但高中教材许多化简求值都要用到,如解方 程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不 等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的 重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判

2、断单调区间、求最大、最小值，研究 闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作 要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等 式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、 下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视 为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综

3、合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理， 相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目目 录录 第一章：数与式的运算和因式分解第一章：数与式的运算和因式分解 1.1 1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.4.分式 1 1. .2 2 分解因式分解因式 第二章：方程、函数、方程组、不等式组第二章：方程、函数、方程组、不等式组 2.1 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1

4、.2 根与系数的关系（韦达定理） 2 2. .2 2 二次函数二次函数 2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 2.3 方程方程组组不等式不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 第三章：相似形、圆第三章：相似形、圆 3 3. .1 1 相似形相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 3.2 三角形三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3 3. .3 3 圆圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨

5、迹 1.1 1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1.1绝对值绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对 值仍是零。即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 或 ）（ ）（ 0aa 0aa a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。 两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离。 例 1 解不等式：13xx 4。 解法一：由01x，得1x；由30x ，得3x ； 若1x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4，解得x0， 又x1，x0； 若2x1， 不等式可变为(1)(3)4xx，

6、 即 14， 不存在满足条件的x； 若3x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4， 解得x4。 又x3，x4。 综上所述，原不等式的解为x0，或x4。 解法二： 如图 111，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为 1 的点A之间的距离|PA|，即 |PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为 2 的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|。 所以，不等式13xx 4 的几何意义即为|PA|PB|4。 由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为 0)的左侧、或点P在点D(坐标为 4)的右侧。 x0，或x4。 练 习 1填空： （1）若4x，则x=_； （2）如果5 ba，且1a，则b_；

7、（3）若21c，则c_。 2选择题：下列叙述正确的是（ ） A、若ab，则ab B、若ab，则ab C、若ab，则ab D、若ab，则ab 3化简：|x5|2x13|（6x5） 。 4、解答题：已知0)5(423 2 cba，求 cba的值。 1 3 A B x 0 4 C D x P |x1| |x3| 图 111 1.1.2. 1.1.2. 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb。 【揭示乘法公式的几何意义】 从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩

8、余部分剪拼成一个矩形， 上述操作所能验证的等式是 ( ) A、 22 )(bababa 、 222 2)(bababa 、 222 2)(bababa 、)( 2 baaaba 完全平方公式： 1.将字母看作非负数； 2.平方式构造正方形，底数即为边长； 3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。 【设计与创造】 请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式： abbaba4)()( 22 【利用图形探索】 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个 一模一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形的较长直角

9、边为 a，较短直 角边为 b，斜边为 c，那么你能得到关于 a、b、c 的什么等式？ 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac ； 222 ()2;abaabb （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 例例 1 计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx。 解法一：解

10、法一：原式= 2222 (1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx= 6 1x 。 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx= 33 (1)(1)xx= 6 1x 。 例 2 已知4abc ，4ab bcac，求 222 abc的值。 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac。 例 3、试探索,)( 3 ba ,)( 4 ba ,)( 5 ba ,)( 6 ba 练习练习： 1填空： （1） 22 1111 () 9423 abba（ ） ； （2）(4m 22 )164(mm )； (3) 2222 (2)4(abcabc )。 2选择题： （1）若

11、2 1 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于（ ） A、 2 m B、 2 1 4 m C、 2 1 3 m D、 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab的值（ ） A、总是正数 B、总是负数 C、可以是零 D、可以是正数也可以是负数 3、计算： （1）10397 （2）1999199719982 （3）(12x)(12x ) ( 2 41x)( 4 161x) 4、找规律与为什么 观察下列等式：101 22 ，312 22 ，523 22 ，734 22 ， 用含自然数 n 的等式表示这种规律:_ 并证明这一规律。 5、观察下列等式：,122535,62525,

12、22515 222 个位数字是 5 的两位数平方后，末尾两个数有什么规律？ 你能证明这一规律吗？ 6、一个特殊的式子 7、公式的拓展 （1）完全平方公式的拓展一 已知：=2，求：的值。 1 x x 2 2 1 x x 已知：=2，求：的值。 1 x x 2 2 1 x x 变式：=2，求：的值。 1 x x 2 2 1 x x 变式：=2，求：的值。 1 x x 2 2 1 x x 再变：=2，求：的值。 1 x x 2 2 1 x x 再变：=2，求：的值。 1 x x 2 2 1 x x 推导 2 )(cba=_ 练习： 2 )32(cba=_ （2）完全平方公式的拓展二 观察下面的式子（

13、） 432234432233222 464)( ,33)( ,2)(babbabaabababbaababababa 根据前面的规律， 5 )(ba_ （3）平方差公式的拓展 推导(abc)(abc) =_ 练习：化简（2ab3c)(2ab3c) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1.1.31.1.3二次根式二次根式 一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方 的式子称为无理式。 例如 2 32aabb， 22 ab等是无理式，而 2 2 21 2 xx， 22 2xxyy， 2 a等是有理式。 1.分母（子）有理化：把分母（子）

14、中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母（子）有理化。 为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式 相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与 2，3 a与a，36与36，2 33 2与2 33 2，等等。一般地，a x与x， a xb y与a xb y，a xb与a xb互为有理化因式。 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程； 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运 用公式(

15、0,0)a bab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通 过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括 号与合并同类二次根式。 2二次根式 2 a的意义 2 aa ,0, ,0. aa a a 例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b； （2） 2 (0)a b a ； （3） 6 4(0)x y x 。 解： （1）122 3bb； （2） 2 (0)a baba b a； （3） 633 422(0)x yxyxy x 。 例例 2 计算：3(33)。 解法一：3(33) 3 33 3 (33) (33)(33) 3 33 93

16、 3( 31) 6 31 2 。 解法二：3(33) 3 33 3 3( 31) 1 3 1 31 ( 31)( 31) 31 2 。 例 3 试比较下列各组数的大小： （1）1211和1110； （2） 2 64 和2 26。 解： （1） 1211( 1211)( 1211)1 1211 112111211 ， 1110( 1110)( 1110)1 1110 111101110 ， 又12111110，12111110。 （2） 2 26(2 26)(2 26)2 2 26, 12 262 26 + + 又 42 2， 64 62 2， 2 64 2 26。 例 4 化简： 200420

17、05 ( 32)( 32)。 解： 20042005 ( 32)( 32) 20042004 ( 32)( 32)( 32) 2004 ( 32) ( 32)( 32) 2004 1( 32)32。 例 5 化简： （1）94 5； （2） 2 2 1 2(01)xx x 。 解： （1）原式54 54 22 ( 5)2 252 2 (25)2552。 （2）原式= 2 1 ()x x 1 x x ，01x， 1 1x x ，所以，原式 1 x x 。 例 6 已知 3232 , 3232 xy ，求 22 353xxyy的值 。 解： 22 3232 ( 32)( 32)10 3232 xy

18、 ， 3232 1 3232 xy ， 2222 3533()113 1011289xxyyxyxy 。 练习练习 1 填空：（1） 13 13 _ _；（2）4 246 543 962 150_ _； （3）若 2 (5)(3)(3) 5x xxx，则x的取值范围是_ _ _； （4）若 5 2 x ，则 1111 1111 xxxx xxxx _ _。 2选择题：等式 22 xx xx 成立的条件是（ ） （A）2x （B）0x （C）2x （D）02x 3若 22 11 1 aa b a ，求ab的值。 4比较大小：2 3 5 4（填“”，或“”） 。 5、化简 yyxx yxyx yx

19、y yxxy 2 。 6、解答：设 23 1 , 23 1 yx，求代数式 yx yxyx 22 的值 1.1.1.1.分式分式 1分式的意义：形如 A B 的式子，若B中含有字母，且0B ，则称 A B 为分式分式。 当M0 时，分式 A B 具有下列基本性质： AA M BBM ； AAM BBM 。 2繁分式：像 a b cd ， 2 mnp m np 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式。 例 1 若 54 (2)2 xAB x xxx ，求常数,A B的值。 解： (2)()254 2(2)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x ， 5, 24

20、, AB A 解得 3 2 B A 。 例 2（1）试证： 111 (1)1n nnn （其中n是正整数） ； （2）计算： 111 1 22 39 10 ； （3）证明：对任意大于1 的正整数n， 有 1111 2 33 4(1)2n n 。 （1）证明： 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n ， 111 (1)1n nnn （其中n是正整数）成立。 （2）解：由（1）可知 111 1 22 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 10 。 （3）证明： 111 2 33 4(1)n n 111111 ()()() 23341nn 11 21n

21、 ， 又n2，且n是正整数， 1 n1 一定为正数， 111 2 33 4(1)n n 1 2 。 例 3.设 a c ，且1，0252 22 aacc，求的值。 解：在0252 22 aacc两边同除以 2 2a，得0252 2 ， (21)( 2)0，1 2 1（舍去） ，或 2。2。 练练 习习 1填空题：对任意的正整数n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2选择题：若 22 3 xy xy ，则 x y （ ） （A） （B） 5 4 （C） 4 5 （D） 6 5 3正数, x y满足 22 2xyxy，求 xy xy 的值。 4、若 224 4 2 x b x a x x

22、 ，则 22 ba 的值是 5、计算 1111 . 1 22 33 499 100 。 习题习题 1 11A 1A 组组 1解不等式：(1) 13x； (2) 327xx ； (3) 116xx 。 .已知1xy，求 33 3xyxy的值。 3填空： （1） 1819 (23) (23)_； （2）若 22 (1)(1)2aa，则a的取值范围是_； （3） 11111 1223344556 _。 B B 组组 1填空： （1） 1 2 a ， 1 3 b ，则 2 22 3 352 aab aabb _ _； （2）若 22 20xxyy，则 22 22 3xxyy xy _ _； 2已知：

23、11 , 23 xy，求 yy xyxy 的值。 C C 组组 1选择题： （1）若2ababba ，则（ ） （A）ab （B）ab （C）0ba （D）0ab （2）计算 1 a a 等于（ ） （A）a （B）a （C）a （D）a 2解方程 2 2 11 2()3() 10xx xx 。 3计算： 1111 1 32 43 59 11 。 4试证：对任意的正整数n，有 111 1 2 32 3 4(1)(2)n nn 1 4 。 1 12 2 分解因式分解因式 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应 了解求根法及待定系数法。 1、提取公因式法 例

24、2 分解因式： （1）baba55 2 （2） 32 933xxx 解： （1）baba55 2 =5b5 2 aba=) 1)(5(aba （2） 32 933xxx= 32 (3)(39)xxx= 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx。 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx 课堂练习： 一、填空题：1、多项式xyzxyyx426 22 中各项的公因式是_。 2、 yxxynyxm_。 3、 222 yxxynyxm_。 4、 zyxxzynzyxm_。 5、zyxzy

25、xzyxm_。 6、 52362 3913xbaxab分解因式得_。 7计算99992= 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、baababba242 22 （ ） 2、bammbmam（ ） 3、5231563 223 xxxxxx（ ） 4、1 11 xxxx nnn （ ） 2、公式法 例 3 分解因式： （1）16 4 a （2）2 2 23yxyx 解：(1)16 4 a=)2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa (2) 2 2 23yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx 课堂练习课堂练习 一、 22 2baba，

26、 22 ba ， 33 ba 的公因式是_。 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 01. 0 9 4 2 2 2 xxxx （ ） 2、babababa43 434389 22 22 （ ） 3、bababa45 451625 2 （ ） 4、yxyxyxyx 2222 （ ） 5、cbacbacba 2 2 （ ） 五、把下列各式分解 1、2 2 9nmnm 2、 3 1 3 2 x 3、 2 2 244xx 4、12 24 xx 3、分组分解法 例 4 （1）xyxyx33 2 （2） 22 2456xxy

27、yxy。 解： （1）（）（）（）（）（）（3-xy-xy-x3y-xx3333 22 xyxyxxyxyx 或）（）（）（）（）（）（y-x3x3xy3xx3xy333 22 yxxxyxyx （2） 22 2456xxyyxy= 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy。 或 22 2456xxyyxy= 22 (2)(45 )6xxyyxy=(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy。 课堂练习：用分组分解法分解多项式 （1）byaxbayx22 2222 （2）912644 22 bababa 4、十字相乘法 例

28、1 分解因式： （1） 2 x3x2； （2） 2 x4x12； （3） 22 ()xab xyaby； （4） 1xyxy 。 解： （1）如图 111，将二次项x 2分解成图中的两个 x的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x 23x2 中的一次项，所 以，有 2 x3x2(x1)( x2)。 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个x用 1 来表示（如图 112 所示） 。 （2）由图 113，得 2 x4x12(x2)( x6)。 （3）由图 114，得 22 ()xab xyaby()()xay xb

29、y （4）1xyxy xy(xy)1(x1) (y+1) （如图 115 所示） 。 课堂练习课堂练习 一、填空题：1、把下列各式分解因式： （1）65 2 xx_。 （2）65 2 xx_。 （3）65 2 xx_。 （4）65 2 xx_。 （5）axax1 2 _。 （6）1811 2 xx_。 （7）276 2 xx_。 （8）9124 2 mm_。 （9） 2 675xx_。 （10） 22 612yxyx_。 2、 3 4 2 xxxx 3、若42 2 xxbaxx则 a， b。 二、选择题： （每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、 在多项式 （1）67 2 xx（2）34 2

30、 xx（3）86 2 xx（4）107 2 xx， （5）4415 2 xx 中，有相同因式的是（ ） A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） C、只有（3） （5） D、 （1）和（2） ； （3）和（4） ； （3）和（5） 2、分解因式 22 338baba得（ ） A、3 11aa B、baba3 11 C、baba3 11 D、baba3 11 3、208 2 baba分解因式得（ ） A、2 10baba B、4 5baba C、10 2baba D、5 4baba 4、若多项式axx3 2 可分解为bxx5，则a、b的值是（ ） A、10a，2b B、10a，2b C、1

31、0a，2b D、10a，2b 1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114 1 1 x y 图 115 5、若bxaxmxx 10 2 其中a、b为整数，则m的值为（ ） A、3或9 B、3 C、9 D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、321126 2 pqqp 2、 223 65abbaa 3、642 2 yy 4、82 24 bb 5、关于x x的二次三项式 2 ax+ +b bx+ +c c(a a00)的因式分解。 若关于若关于x x的方程的方程 2 0(0)axbxca的两个实数根是的两个实数根是 1 x、 2

32、 x， 则二次三项式则二次三项式 2 (0)axbxc a就可分解为就可分解为 12 ()()a xxxx。 例 5 把下列关于x的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx； （2） 22 44xxyy。 解： （1）令 2 21xx=0，则解得 1 12x ， 2 12x ， 2 21xx=( 12)( 12)xx =(12)(12)xx 。 （2）令 22 44xxyy=0，则解得 1 ( 22 2)xy ， 1 ( 22 2)xy ， 22 44xxyy=2(12) 2(12) xy xy。 练习练习 1选择题：多项式 22 215xxyy的一个因式为（ ） （A）25xy （B）3x

33、y （C）3xy （D）5xy 2分解因式： （1）x 26x8= （2）8a3b3= （3）x 22x1 （4）4( 1)(2 )xyy yx。 习题习题 1 12 2 1分解因式： （1） 3 1a = （2） 42 4139xx； （3） 22 222bcabacbc； （4） 22 35294xxyyxy。 2在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx ； （2） 2 2 23xx； （3） 22 34xxyy； （4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx。 3ABC三边a，b，c满足 222 abcabbcca，试判定ABC的形状。 4分解因式： 2 xx(a 2a)。 1.

34、2 分解因式 1 B 2 （1）(x2)(x4) （2） 22 (2)(42)abaabb （3）(12)(12)xx （4）(2)(22)yxy。 习题习题 1 1. .2 2 1 （1） 2 11aaa （2）23 2311xxxx （3）2bcbca （4）（）（1-2yx4y-x3 2 （1） 513513 22 xx ； （2） 2525xx； （3） 2727 3 33 xyxy ； （4）3 (1)(15)(15)xxxx 。 3等边三角形 4(1)()xaxa 2.1 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.12.1.1 根的判别式根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例

35、探索二次方程的根的求法，情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)032 2 xx；(2)012 2 xx；(3)032 2 xx。 用配方法可把一元二次方程 2 axbxc0（a0）变为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa a0，4a 20。于是 （1）当b 24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数 根 2, 1 x 2 4 2 bbac a ； （2）当b 24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等 的实数根 1 x 2 x 2 b a ； （3）当b 24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左 边

36、 2 () 2 b x a 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。 由此可知，一元二次方程 2 axbxc0（a0）的根的情况可以由b 24ac 来判定， 我们把b 24ac 叫做一元二次方程 2 axbxc0 （a0） 的根的判别式根的判别式， 通常用符号“” 来表示。 综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 2 axbxc0（a a00） ，有） ，有 （1 1）当当 0 0 时，方程有两个不相时，方程有两个不相 2 axbxc0 等的实数根等的实数根 2, 1 x 2 4 2 bbac a ； （2 2）当）当 0 0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根， 1

37、x 2 x 2 b a ； （3 3）当）当 0 0 时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。 例 1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数） ，如果方程有实数根，写出方 程的实数根。 （1） 2 x3x30； （2） 2 xax10； （3） 2 xax(a1)0； （4） 2 x2xa0。 解： （1）3 241330，方程没有实数根。 （2）该方程的根的判别式 a 241(1)a240，所以方程一定有两个不等 的实数根 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x 。 （3）由于该方程的根的判别式为 a 241(a1)a24a4(a2)2， 所以，当a2 时，0，所以方

38、程有两个相等的实数根x1x21； 当a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1。 （4）由于该方程的根的判别式为 2 241a44a4(1a)，所以 当 0，即 4(1a) 0，即a1 时，方程有两个不相等的实数根 1 11xa ， 2 11xa ； 当 0，即a1 时，方程有两个相等的实数根x1x21； 当 0，即a1 时，方程没有实数根。 说明：说明： 在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题 过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论。 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经

39、常地运 用这一方法来解决问题。 2.1.2 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 2 axbxc0（a0）有两个实数根 a2 ac4bb x 2 21 ， 则有 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa ； 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc x x aaaaa 。 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果如果 2 axbxc0（a a00）的两根分别是）的两根分别是 1 x, 2 x，那么，那么 1 x+ 2 x b a ， 21 xx c a 。这 一关系也被称为韦达定理韦达定理。 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方