2022年湘教版九上《用配方法解二次项系数不为的一元二次方程》立体课件(公开课版).ppt

1、1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点）2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）学习目标导入新课导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程一问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：x2+6x+8=0;3x2+8x3=0.问题2：用配方法来解 x2+6x+8=0.解：移项，得 x2+6x=-8,配方，得 （x+3）2=1.开平方,得 x+3=1.解得 x1=-2,

2、x2=-4.想一想怎么来解3x2+8x3=0.讲授新课讲授新课试一试：解方程：3x2+8x-3=0.解：两边同除以3,得 x2+x-1=0.配方,得 x2+x+()2-()2-1=0,（x+）2-=0.移项,得 x+=,即 x+=或 x+=.所以 x1=,x2=-3.343438349253435343435353831配方，得2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx 2 1213 xx；解：移项，得 2x23x=1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?例1 解下列方程：配方，得2224211,3

3、xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得2364,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 23640.xx为什么方程两边都加12？即即思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号移项时需注意改变符号.移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；左边写成完全平方形式；降次；降次；解一次方程解一次方程.一

4、般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.当当p0时时,则则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两开平方得方程的两个根为个根为 x1=x2=-n.当当p0时时,则方程则方程(x+n)2=p无实数根无实数根.xnp 12,xnpxnp 规律总结引例：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间 t(s)满足关系：h=15t-5t2.小球何时能达到10m高？解：将 h=10代入方程式中.15t-5t2=10.两边同时除以-5,得 t2-3t=-2

5、,配方,得 t2-3t +()2=()2-2,（t-）2=232323.41配方法的应用二移项,得 （t-）2=即 t-=,或 t-=.所以 t1=2,t2=1.23,2123212321即在1s或2s时，小球可达10m高.例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k24k5 的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以k24k5的值必定大于零.例3.若a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ,054322cba,05,04,0322cba,543cba，所以，ABC为

6、直角三角形.,02558622cbbaa,543222222cba例4：解方程4x2-12x-1=0 解：将二次项的系数化为1,得x2-3x-=0,配方,得 因此 由此,得 或 所以1422233130,224xx2310.24x31022x31022x 1310,2x23102x1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为（）A.1 B.1 C.1或2 D.1或-22.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.练一练C解：原式=2(x-1)2+3 当x=1时有最小值3解：原式=-3(x-2)2-4 当x=2时有最大值-4归纳总结配

7、方法的应用1.求最值或求最值或证明代数式证明代数式的值为恒正的值为恒正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.2.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方利用配方构成非负数构成非负数和的形式和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2

8、)2=0,即a=0，b=2.例5.读诗词解题：读诗词解题：（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）大江东去浪淘尽，大江东去浪淘尽，千古风流数人物。千古风流数人物。而立之年而立之年督东吴，督东吴，早逝英年两位数。早逝英年两位数。十位恰小个位三，十位恰小个位三，个位平方与寿符。个位平方与寿符。哪位学子算得快，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？多少年华属周瑜？解：设个位数字为解：设个位数字为x，十位数字为，十位数字为(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或或x-5.5=-0

9、.5 x2=10(x-3)+x这个两位数为这个两位数为36或或25，周瑜去世的年龄为周瑜去世的年龄为36岁岁.周瑜周瑜30岁还攻打过东吴，岁还攻打过东吴，1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；233024xx解：，2321().416x12321321,44xx；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.当堂练习当堂练习2.利用配方法证明：不论x取

10、何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.解：x2x1=(x2+x+)+1所以x2x1的值必定小于零.141421()0,2x+213(),24=x+213()0,24x+当当 时，时，x2x1有最大值12x=3.43.若 ，求(xy)z 的值.01326422zyyxx解：对原式配方，得 023222zyx由代数式的性质可知 02,03,0222zyx.2,3,2zyx.3663222zxy4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(

11、26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.5.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,0222bcacabcba解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ,021222cbcaba,0,0,0222cbcaba,cba所以，ABC为等边三角形.课堂小结课堂小结配方法方法步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22二次项系数（）特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明在方程两边都配上2.2二次项系数（）观察与思

12、考下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？abc1111CBBA导入新课导入新课讲授新课讲授新课平行线分线段成比例定理（基本事实）一 如图（1）小方格的边长都是1，直线a bc ,分别交直线m,n于 （1）计算 你有什么发现？12122323,A AB BA AB B.,321,321BBBAAA（2）将向下平移到如下图2的位置，直线，与直线的交点分别为 .你在问题（）中发现的结论还成立吗？如果将平移到其他位置呢？(图2）22,BA（）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？归纳 基本事实

13、：两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例；符号语言：若a b c，则 .12122323A AB BA AB B1.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？议一议平行线分线段成比例的推论二 如图3，直线a b c，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3.过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3.如图4，图4中有哪些成比例线段？（图3）(图4）aabbccnmnmA1B2A2B1A1B1C1C2A2B2A3B3A3B3推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论2：平行于三角形的一边，并且和

14、其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例归纳1.如图所示，在ABC中，E，F，分别是AB和AC的点，且EFBC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少？AEBCF 解:EFBC,AE=7,EB=5,FC=4.AEAFEBFC7 428.55AE FCAFEB练一练(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？AEBCF 解:EFBC,AB=10,AE=6,AF=5.FC=AC AF=.AEAFEBFC10 525.65AB AFACAE25105.331.如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是()A.B.C.D.DFBDCEACBFB

15、DAEACBFDFAEACACBDBFAED当堂练习当堂练习ABCED2、填空题:如图:DEBC,已知:52ACAE则 .ABAD25ABCDE3.已知：DE/BC,AB=15,AC=9,BD=4.求AE的长.解:DEBC,AB AC BD CE.（推论）即159,412.5122911.55CECEAEACCE课堂小结课堂小结1.平行线分线段成比例定理（基本事实）两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线分线段成比例定理的推论推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例见学练优本课时练习课后作业课后作业