高考数学一轮复习-24平面向量的基本定理及坐标表示课件-(文)-新人教A.ppt

1、共 44 页1第二十四讲第二十四讲平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示共 44 页2回归课本回归课本共 44 页31.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理平面向量基本定理定理定理:如果如果e1,e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量向量,那么对于这那么对于这一平面内的任意向量一平面内的任意向量a,有且只有有且只有一对实数一对实数1、2,使使a=1e1+2e2.其中其中,不共线的向量不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一叫做表示这一平面内所有向量的一组基底组基底.共 44 页4(2)平面向量的正交分解平面向

2、量的正交分解把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个互相垂直互相垂直的向量的向量,叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴轴 y轴方向相同的两个轴方向相同的两个单位向量单位向量e1,e2作为基底作为基底.对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a,有且只有且只有一对实数有一对实数a1、a2,使使a=a1e1+a2e2.把有序数对把有序数对(a1,a2)叫做叫做向量向量a的坐标的坐标,记作记作a=(a1,a2),其中其中a1叫叫a在在x轴上的坐标轴上的坐标,a2叫叫a在在y轴上的坐标轴上的坐标.共

3、44 页5设设 =a1e1+a2e2,则则向量向量 的坐标的坐标(a1,a2)就是终点就是终点A的的坐标坐标,即若即若 =(a1,a2),则则A点坐标为点坐标为(a1,a2),反之亦成反之亦成立立(O是坐标原点是坐标原点).OA OA OA 共 44 页62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)加法加法 减法减法 数乘运算数乘运算向量向量aba+ba-ba坐标坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)共 44 页7(2)向量坐标的求法向量坐标的求法已知已知A(x1,y1),B(x2,y2),则则 =(x2-x1,y2-y1),即一个

4、向量的即一个向量的坐标等于该向量坐标等于该向量终点终点的坐标减去的坐标减去始点始点的坐标的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中其中b0,则则a与与b共线共线 a=bx1y2-x2y1=0.AB 共 44 页8考点陪练考点陪练共 44 页91.下列各组向量中下列各组向量中,可以作为基底的是可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=13,24共 44 页10解析解析:根据基底的定义知根据基底的定义知,非零

5、且不共线的两个向量才可以作非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底为平面内的一组基底.A中显然中显然e1e2;C中中e2=2e1,所以所以e1e2;D中中e1=4e2,所以所以e1e2.答案答案:B共 44 页112.已知已知a=(-2,3),b=(1,5),则则3a+b等于等于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案答案:A11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练

6、。13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2023-7-12023-7-1July 1,202314、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2023年7月2023-7-12023-7-12023-7-17/1/202318、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。2023-7-12023-7-

7、1共 44 页133.设设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则则(a+2b)c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解析解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),(a+2b)c=-3.答案答案:C共 44 页144.m1,m2).(1,3),(2,1),A B C,m()A.m2B.mC.m1D.(m221OAOBOC 已知向量若点 能构成三角形 则实数 应满足的条件是:A(,1),B C,(1m m 1m 1m1,m1,).,1,C,ACm mBCmmACBC 解析 由题意因为 能构成三角形 所以即有得到故选:C答案共 44 页155.a(1,

8、b2,0,ab_).3 已知向量则3),:ab(1,1 32.ab 解析答案答案:2共 44 页16类型一类型一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用解题准备解题准备:已知已知e1,e2是平面的一组基底是平面的一组基底,如果向量如果向量a,e1,e2共面共面,那么有且只有一对实数那么有且只有一对实数1,2,使使a=1e1+2e2.反之反之,如果有如果有且只有一对实数且只有一对实数1,2,使使a=1e1+2e2,那么那么a,e1,e2共面共面.这这是平面向量基本定理的一个主要考查点是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分也是高考本部分知识考查的重点内容知识考查的重点内容.共 44

9、 页1711,1,OAB,ADBCM,a,2.b4,OCOA ODOBOAa OBbOM 【典例】如图 在中与交于点设以为基底表示共 44 页18(,),(1),11,221,11A M D,.2m2n1OMmanb m nRAMOMOAmanbADODOAbaabmn 解 设因为 三点共线所以即共 44 页191(),41114,14414121137,.C M B,4mn.41377.71CMOMOCmanb CBOBOCmnbaabmmnOMabmnn 而因为 三点共线 所以即由解得所以共 44 页20 反思感悟反思感悟(1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量本题先利用平面向量基本定

10、理设出未知向量,然后利用共线向量的条件列出方程组然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从通过待定系数法从而确定参数的值而确定参数的值.(2)由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题性质即可解题.共 44 页21类型二类型二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算解题准备解题准备:向量的坐标运算向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标使得向量的线性运算都可用坐标来进行来进行,实现了向量运算完全代数化实现了向量运算完全代数

11、化,将数与形紧密结合起将数与形紧密结合起来来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算运算.共 44 页222A2,4,B3,23,1,C,3,4,M N.CMCACNCBMN 【典例】已知且求 及的坐标(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).33,(3,4)(3,24)A2,4,B 3,1,C,424,0,20.3,4,M x,y,M 0,20.CACBCMCACNCBxCMxyyxy 解设则共 44 页23N 9,2,M 0,20,N 9,(9,18).(9,18)2,.MNMN 同理可求因此所求共 44 页24反思感

12、悟反思感悟由由A B C三点坐标易求得三点坐标易求得 坐标坐标,再根据再根据向量坐标的定义就可以求出向量坐标的定义就可以求出M N的坐标的坐标.向量的坐标是向量的另一种表示形式向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点它只与起点 终点终点 相相对位置有关对位置有关,三者中给出任意两个三者中给出任意两个,可求第三个可求第三个.在求解时在求解时,应应将向量坐标看作一将向量坐标看作一“整体整体”,运用方程的思想求解运用方程的思想求解.向量的向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应必须灵活应用用.CA CB 、共 44 页25类型三类型三平面向量

13、共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示解题准备解题准备:两平面向量共线的充要条件有两种形式两平面向量共线的充要条件有两种形式:若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab的充要条件是的充要条件是x1y2-x2y1=0;若若ab(a0),则则b=a.共 44 页26【典例【典例3】平面内给定三个向量】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回回答下列问题答下列问题:(1)求求3a+b-2c;(2)求满足求满足a=mb+nc的实数的实数m,n;(3)若若(a+kc)(2b-a),求求k;(4)若若(d-c)(a+b),且且|d-c|=1,求求d.共 44 页27

14、分析分析(1)直接用向量加减法的坐标运算公式直接用向量加减法的坐标运算公式.(2)借助于向量相等的条件借助于向量相等的条件,建立关于建立关于m,n的方程组的方程组.(3)利用向量共线的充要条件利用向量共线的充要条件,建立关于实数建立关于实数k的充要条件的充要条件.(4)利用利用(d-c)(a+b)及及|d-c|=1建立关于建立关于x,y的方程组的方程组.共 44 页28 解解(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)a=mb+nc,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2

15、m+n),5439,.2289mmnmnn解得共 44 页29(3)(a+kc)(2b-a),又又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=(4)设设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又又(d-c)(a+b)且且|d-c|=1,16.134(4)2(1)0,(4)2(1)21xyxy共 44 页30554455.2 52 51155205 52 5205 52 5,.5555xxyydd 解得或或共 44 页31 反思感悟反思感悟向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.

16、在引在引入向量的坐标表示后入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运可以使向量的运算完全化为代数运算算.这样就可以将这样就可以将“形形”和和“数数”紧密结合在一起紧密结合在一起.因此因此,很很多几何问题多几何问题,特别是共线特别是共线 共点等较难问题的证明共点等较难问题的证明,通过建通过建立坐标系立坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如如:要要证平行证平行,只需相关向量共线只需相关向量共线,要证垂直要证垂直,只需相关向量数量积只需相关向量数量积等于等于0.共 44 页32错源一错源一遗漏零向量遗漏零向量【典例【典例1】若】若a=(3,2-m

17、)与与b=(m,-m)平行平行,求求m的值的值.错解错解因为因为b=(m,-m)=m(1,-1),令令c=(1,-1),bc,又又ab,所以所以ac,即即3(-1)-1(2-m)=0,解得解得m=5.共 44 页33 剖析剖析零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行,当当m=0时时,b为零向量为零向量,也与也与a平平行行.正解正解由由ab,得得-3m-m(2-m)=0,即即m2-5m=0,解得解得m=5或或m=0,所以所以m的值为的值为0或或5.评析评析零向量与任一向量都是平行零向量与任一向量都是平行(共线共线)向量向量,这是在解题中这是在解题中常常容易被忽视的常常容易被忽视的.共 44 页3

18、4错源二错源二忽视平面向量基本定理的使用条件致误忽视平面向量基本定理的使用条件致误,2tR,3ac,2bd,et ab,t,C D E?,OAa OBb OCc ODd OEe 【典例】已知设如果那么 为何值时 三点在一条直线上 剖析剖析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易容易忽视平面向量基本定理的使用条件忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解出现漏解,漏掉了当漏掉了当a,b共线时共线时,t可为任意实数这个解可为任意实数这个解.共 44 页35 正解

19、正解由题设知由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得使得 即即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.CD CE,CEkCD 共 44 页36若若a,b共线共线,则则t可为任意实数可为任意实数;若若a,b不共线不共线,则有则有 解之得解之得综上综上,a,b共线时共线时,t可为任意实数可为任意实数;a,b不共线时不共线时330,20,tktk 6.5t 6,.5t 共 44 页37 评析评析平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1,e2

20、是一平面内的两个不共线向量是一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的那么对该平面内的任一向量任一向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数1 2,使使a=1e1+2e2,特别特别地地,当当a=0时时,1=2=0,本题在本题在a,b不共线时不共线时,就是根据这个定就是根据这个定理得出的方程组理得出的方程组.在平面向量的知识体系里在平面向量的知识体系里,平面向量基本平面向量基本定理是基石定理是基石,共线向量定理是重要工具共线向量定理是重要工具,在复习这部分时要在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用充分注意这两个定理在解决问题中的作用,在使用平面向在使用平面向量基本定理时要注意其使用是

21、两个基向量不共线量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线.共 44 页38技法一技法一基向量法基向量法【典例【典例1】在下图中】在下图中,对于平行四边形对于平行四边形ABCD,点点M是是AB的中点的中点,点点N在在BD上上,且且 .求证求证:M、N、C三点共线三点共线.13BNBD共 44 页39MNC,.MNMCMNMC 解题切入点 欲证、三点共线 只需证向量也即只需选择一组基底来表示这两个向量 然后证存在实数使得成立1212212121211212,11113331,.211ee,ee,11,2233111 1e,2ee633ABADBDBAADBNBDeMBe BCADeMCMBBCe

22、e MNMBBNeeeee 证明 令有.共 44 页401.3MNC.MNMC 可得、三点共线,.MN MC 方法与技巧 本题的关键是在几何图形中选一对不共线向量 进一步表示出我们需要的向量、再证明向量共线 从而得点共线 这是证明三点共线常用的方法本方法常称作基向量法共 44 页41技法二技法二方程的思想方程的思想2A 1,2,B 2,1.,C 3,2,D2,3,AB ACADBDCD 【典例】已知以、为一组基底来表示共 44 页42(1,3),(2,4),(3,5),(4,2),(5,1),(12,8),xy,12,.,212,8x 1,334y 2,4.8,ABACADBDCDADBDCD

23、ADBDCDxAByACxyxy 解由平面向量基本定理 一定存在实数、使得即解32,22.3222.xyADBDCDABAC 得共 44 页43 方法与技巧方法与技巧重视平面向量基本定理的应用重视平面向量基本定理的应用,同时体现了方程同时体现了方程的思想的思想,用对应系数相等建立方程组用对应系数相等建立方程组.共 44 页44技法三技法三函数的思想函数的思想【典例【典例3】已知】已知a=(-3,2),b=(2,1),求求|a+tb|(tR)的最小值及相的最小值及相应的应的t值值.2222(23)(2)58134497 55,5554atb3,2t 2,12t3,t27 5,atbt,atb.55ttttt 解即当时有最小值共 44 页45方法与技巧方法与技巧实质上是利用配方法求实质上是利用配方法求|a+tb|的最小值的最小值.