备战2021年中考数学专题练-专题四 方程的解法和应用.docx

1、 专题四专题四 方程的解法和应用方程的解法和应用 一、单选题一、单选题 1.（2019 九上 宝安期末）一元二次方程 的根是 A. B. C. ， D. ， 2.（2019 上海模拟）如果一元二次方程 x2 - mx + 2 = 0 的解为两个不相等的负实数根，则 m 的取值范围是 （ ） A. m B. m 或 m 2 B. k 或 m ，则一定有一个正实数根，所以 m ， 因为 一定小于 0，所以比较 大小， 假设 0，那么解得 -8 0 ，即 m 为一切实数，结合 m 或 m 2，得 即 a7 3m+67 m 【分析】通过二元一次方程组进行变形可得到关于 2x+3y 与含 m 的式子之间

2、的关系，进一步求出 m 的取 值范围. 18. B 【解答】解：由题意可得，（2）24m0， m1， 故答案为：B 【分析】利用一元二次方程根的判别式（b24ac）判断方程的根的情况 19. C 【解答】解：由题意，得 ， 点 是抛物线的顶点. 当 时，函数的最小值为 k. 点 是该函数图象上的一点， ；当 a0 时，函数的最大值为 k. 点 是该函数图象上的一点， 综上， 成立. 故答案为：C 【分析】根据方程根的定义得出 ，再根据二次函数的性质即可得出 点 是抛物线的 顶点，进而分当 时与当 a 且 k1 【解答】解：方程有两个不相等的实数根 k-10 且 4k2-4（k-1）（k-3）0

3、 k0 且 k1 【分析】根据方程有两个不相等的实数根可知其二次项系数不为 0，根的判别式大于 0. 27. x1=3，x2=-1 【解答】解： 2(x-1)2=8 (x-1)2=4 x-1= 2 x1=3，x2=-1 故答案为： x1=3，x2=-1. 【分析】两边同除以 2，采用直接开方法即可得解. 28. 8 或 9 【解答】解：当 8 为等腰三角形的底边，则两根相等， 根据题意得 (12)24 4k0，解得 k9， 两腰的和129，满足三角形三边的关系； 当 8 为等腰三角形的腰，则 x8 为方程的解， 把 x8 代入方程得 64964k0， 解得 k8， 故答案为：8 或 9. 【分

4、析】分两种情况讨论，当 8 为等腰三角形的底边，则另外两边即两根相等，根据 =0 列式求出 k 即可；当 8 为等腰三角形的腰，则另一腰为 8，即 x8 为方程的解，把 x8 代入原方程即可求出 k. 29. 【解答】解：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是正确的； 一元二次方程 x23x5，x23x50，（3）24 1 （5）290，方程有两个不相等的两 个实数根，原来的说法是错误的； 4，4 的平方根为 2，原来的说法是错误的； 了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用抽样调查方式是正确的； 圆心角为 90 的扇形面积是 ，则扇形半径为 2，正确 故说法正确的是 故答案

5、为： 【分析】根据角平分线的性质即可求解；根据根的判别式即可求解；根据算术平方根的定义和平方 根的定义即可求解；根据全面调查与抽样调查的定义即可求解；根据扇形的面积公式计算即可求 解 30. 20000（1-x）2=16200 【解答】设楼盘这两年房价年平均降低的百分率为 x， 根据题意得：20000（1-x）2=16200， 故答案是：20000（1-x）2=16200. 【分析】由楼盘这两年房价年平均降低的百分率为 x，两次降价后的单价是原来单价的(1-x)2 ， 根据题 意列出方程即可. 31. a0 时，根据 x1x21，由求根公式得: 解得:ml，m0(舍去) 当 m0 时，根据 x

6、1x21,由求根公式得:. 解得:m1(舍去) 综上所述: m0 或 m1 故答案是： m0 或 m1 【分析】题目中，有两个相异的二合点，根据一元二次方程的判别式= ，得到 ，再分别讨论当 m0 时，m0 时，用求根公式表示出方程两根，利用 x1x21 求出 m 的范 围. 35. 5:12 【解答】解：如图，过点 D、E 分别作 AB 的垂线 DG、EH BF3AF，BDF 与FEA 的面积比为 3：2， EH2DG C90 ，BC2AC tanB BG2DG 设 FGx，DGa，则 BG2a，AHa，EH2a AE a DFE90 ， DFG+EFH90 又FEH+EFH90 DFGFE

7、H 又FGDEHF90 DFGFEH FH BF3AF 2a+x3（a+ ） 整理得：x2ax6a20 解得：x3a 或 x2a（舍） FH ，BA4AF4（a+ ） C90 ，BC2AC AC：BC：AB1：2： AC ，BC2AC 由勾股定理得：DF ， EF SDEF EFDF a CEACAE ，CDCBBD SCDE SCDE：SDEF ： 5：12 故答案为：5：12 【分析】 如图，过点D、E分别作AB 的垂线DG、EH，由 BF3AF及BDF与FEA 的面积比为 3：2， 可求得 EH 和 DG 的数量关系，设 FGx，DGa，则 BG2a，AHa，EH2a，先证明DFG FE

8、H，用 x 和 a 表示出 FH，再根据 BF3AF，列出方程，用含 a 的式子表示出 x，然后用含 a 的式子表示 出相关线段，进而表示出CDE 与DEF 的面积，两者相比即可得解 三、解答题 36. 解：关于 x 的一元二次方程 x2+ax50 的一个根是 1， 12+a50， 解得 a4； 设方程的另一个根为 x2 ， 则 x2+14， 解得：x25. 故方程的另一根为5 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x=-1 代入关于 x 的一元二次方 x2+ax50，求得 a 的值；利 用根与系数的关系求得方程的另一根即可. 37. 解：设每件衬衫降价 x 元，则每天可售出（20+2x）件

9、， 根据题意得：（40 x）（20+2x）=1200， 整理得：2x260 x+400=0， 解得：x1=20，x2=10， 因为要减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降 20 元； 【分析】根据题意可知价格是变动的，所以设价格为未知数，根据数量关系列出方程即可。 38. 解：根据根与系数的关系 通过解方程可知 设两点的直线解析式 y=kx+b， 解得 k=2，b=3， 过 AB 的直线是 y=2x3. 故两点的直线解析式 y=2x3. 【分析】 首先设两点的直线解析式 y=kx+b，利用根与系数的关系确定两点的坐标，代入可确定直线的解析 式. 39. 解：设有 x

10、个客人，y 两银子， 根据题意得：y-4x=4 8x-y=8 解得：x=3，y=16 答：有 3 个客人，16 两银子 【分析】 设有 x 个客人，y 两银子，根据“四两一分多四两，半斤一分少半斤”，即可得出关于 x、y 的二元 一次方程组，解之即可得出结论 40. 解：设小路宽 x 米，则其余部分可合成长（202x）米、宽（10 x）米的矩形， 根据题意得：（202x）（10 x）162， 整理得：x220 x+190，即（x1）（x19）0， 解得：x11，x219. 当 x19 时，10 x9 不合题意， x219 舍去. 答：小路宽 1 米. 【分析】设小路宽 x 米，则其余部分可合成

11、长（20-2x）米、宽（10-x）米的矩形，根据矩形的面积公式结 合草坪的面积为 162 米 2 ， 即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论. 41. 解：设 AD=x 米，则 AB= 米 依题意得， 解得 x1=10，x2=90 a=20，且 xa x=90 舍去 答：利用旧墙 AD 的长为 10 米. 【分析】 设AD=x米，则AB= 米，根据围成的矩形菜园面积为450平方米得到一元二次方程， 即可求解. 42. 解：设买鸡的有 人，鸡的价格为 元，根据题意得： , 解得： . 答：买鸡的有 9 人，鸡的价格为 70 元 【分析】设合伙买鸡者有 x 人，鸡的价格为 y

12、 文钱，根据“如果每人出 9 文钱，就会多 11 文钱；如果每人 出 6 文钱，又会缺 16 文钱”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论 43. 解：设运动 x 秒钟后DPQ 的面积为 31cm2 ， 则 AP=xcm，BP= （6-x） cm，BQ=2xcm，CQ= （12-2x） cm， SDPQ=S矩形ABCD-SADP-SCDQ-SBPQ ， =ABBC- ADAP- CDCQ- BPBQ， =6 12- 12x- 6（12-2x）- （6-x）2x， =x2-6x+36=31， 解得：x1=1，x2=5. 答：运动 1 秒或 5 秒后DPQ 的面积为 31cm2

13、. 【分析】 设运动 x 秒钟后DPQ 的面积为 31cm2 ， 则 AP=xcm，BP= （6-x） cm，BQ=2xcm，CQ= （12-2x） cm，利用分割图形求面积法结合DPQ 的面积为 31cm2 ， 即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可 得出结论 44. 解：设打折前 A 商品的单价为 x 元/件，B 商品的单价为 y 元/件， 根据题意得： ， 解得： . 打折前，购买 100 件 A 商品和 200 件 B 商品一共要用 100 16+200 83200（元）， 打折后，购买 100 件 A 商品和 200 件 B 商品一共要用 32006402560（元）， . 答：

14、打了八折. 【分析】设打折前 A 商品的单价为 x 元/件，B 商品的单价为 y 元/件，根据“买 20 件 A 商品和 10 件 B 商 品用了 400 元；买 30 件 A 商品和 20 件 B 商品用了 640 元”，即可得出关于 x、y的二元一次方程组，解之 即可得出 x、y 值，利用总价=单价 数量求出打折前所需费用，结合打折后少花的钱数即可求出结论. 45. 解：如图， 设扩建后广场的长为 3xm、宽为 2xm 依题意得 3x 2x 100+30(3x 2x-50 40)=642000 解得 x1=30，x2=-30(舍去) 所以 3x=90，2x=60 答：扩建后广场的长为 90

15、m，宽为 60m. 【分析】 利用已知扩建后的矩形广场的长与宽的比为 3：2，因此设扩建后广场的长为 3xm、宽为 2xm，再 根据扩充区域的面积 每平方米的扩建费+原广场的面积 每平方米地砖的费用=642000，然后设未知数， 列方程求出方程的解，即可求出扩建后广场的长和宽。 四、综合题 46. （1） 解：设装运 A 种西瓜的车辆数为 x 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 y 辆，根据题意得 4x+5y+6 （40 xy）200， 整理得 y2x+40， 则 y 与 x 的函数关系式为 y2x+40； （2）解：设装运 A 种西瓜的车辆数为 x 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 y 辆，装运

16、C 种西瓜的车辆数为 z 辆，则 x+y+z40， ， zx， x10，y10，z10， 有以下 6 种方案： xz10，y20；装运 A 种西瓜的车辆数为 10 辆，装运 B 种西瓜的车辆数 20 辆，装运 C 种西瓜的车 辆数为 10 辆； xz11，y18；装运 A 种西瓜的车辆数为 11 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 18 辆，装运 C 种西瓜的 车辆数为 11 辆； xz12，y16；装运 A 种西瓜的车辆数为 12 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 16 辆，装运 C 种西瓜的 车辆数为 12 辆； xz13，y14；装运 A 种西瓜的车辆数为 13 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为

17、 14 辆，装运 C 种西瓜的 车辆数为 13 辆； xz14，y12；装运 A 种西瓜的车辆数为 14 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 12 辆，装运 C 种西瓜的 车辆数为 14 辆； xz15，y10；装运 A 种西瓜的车辆数为 15 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 10 辆，装运 C 种西瓜的 车辆数为 15 辆； （3）解：由题意得：16004x+10005y+12006z250000， 将 y2x+40，zx，代入得 3600 x+200000250000，解得 x ， 经计算当 xz14，y12；获利250400 元； 当 xz15，y10；获利254000 元； 故装运 A 种

18、西瓜的车辆数为 14 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 12 辆，装运 C 种西瓜的车辆数为 14 辆； 或装运 A 种西瓜的车辆数为 15 辆，装运 B 种西瓜的车辆数为 10 辆，装运 C 种西瓜的车辆数为 15 辆 【分析】 （1）关键描述语是：用 40 辆汽车装运完 A ， B ， C 三种西瓜共 200 吨到外地销售；依据三 种车装载的西瓜的总量是 200 吨，即可求解 （2） 关键描述语是：装运每种西瓜的车辆数都不少于 10 辆； （3）关键描述语是：此次销售获利达到预期利润 25 万元 47. （1）解：设销售 品牌的建材 件. 根据题意，得 ， 解这个不等式，得 ， 答：至多销售

19、 品牌的建材 56 件. （2）解：在（1）中销售额最低时， 品牌的建材 70 件， 根据题意，得 ， 令 ，整理这个方程，得 ， 解这个方程，得 ， （舍去）， ， 即 的值是 30. 【分析】（1） 设销售 品牌的建材 件，根据售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，列不等式求解； （2）根据题意列出方程求解即可. 48. （1）解：BP=AB-AP=(12-t)cm，BQ=2tcm 根据三角形的面积公式，得 PB BQ=35， 即 (12-t) 2t=35， 整理，得 t2-12t+35=0，解得 t1=5，t2=7 故当 t 为 5 或 7 时，PBQ 的面积等于 35cm2 （

20、2）解：根据勾股定理，得 PQ2=BP2+BQ2=(12-t)2+(2t)2=(82)2 ， 整理，得 5t2-24t+16=0， 解得 故当 t 为 或 4 时，PQ 的长度等于 8 cm （3）解：当 0t8 时，PB=(12-t)cm，CQ=(16-2t)cm， 由题意，得 (16-2t) (12-t)=32， 解得：t1=4，t2=16（舍去） 当 8t12 时，PB=(12-t)cm，CQ=(2t-16)cm， 由题意，得 (2t-16) (12-t)=32，此方程无解 当 12t16 时，PB=(t-12)cm，CQ=(2t-16)cm， 由题意，得 (2t-16) (t-12)=

21、32， 解得：t1=4（舍去），t2=16 综上所述，当 t 为 4 或 16 时，PCQ 的面积等于 32cm2 【分析】（1）根据速度公式分别列出 BP 和 BQ 段的含 t 表达式，结合面积等于 35 cm2列等式求解即可. （2）在 RtPBQ 中，现知 PB 和 QB 的表达式，PQ 长度已知，根据勾股定理列式求出 t 值即可. （3）分三种情况讨论， 当 0t8 时， 这时，P 由 A 去 B，Q 在 BC 上，但 Q 在由 B 去 C 的途中，可 得 PB=12-t ，CQ=16-2t, 利用三角形面积等于 32cm2列等式求解即可； 当 8t12 时， P 仍在去 B 的 途中

22、, Q由C点返回，这时PB=12-t ，CQ= 2t-16 ，于是利用三角形面积等于32cm2列等式求解，但无解； 当12t16时，P由B点返回, Q由C点返回，这时 PB=t-12， CQ=2t-16，再根据三角形面积等于32cm2 列等式求解即可。 49. （1）解：设铁皮各角应切去边长是 x 分米的正方形，则无盖方盒的底面是长为(102x)分米、宽为(8 2x)分米的矩形， 由题意得：(102x)(82x)48， 整理得：x29x+80， 解得：x11，x28 82x0， x4， x1 答：铁皮各角应切去边长是 1 分米的正方形 （2）解：设铁皮各角切去边长是 m 分米的正方形，防锈处理

23、所需总费用为 w 元， 制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的 3 倍， 102m3(82m)， 解得：m 根据题意得：w0.5 2 m(102m)+m(82m)+2(102m)(82m)4m254m+160， a4，b54， 当 0m 时，w 的值随 m 值的增大而减小， 当 m 时，w 取得最小值，最小值为 20 答：当铁皮各角切去边长是 分米的正方形时，总费用最低，最低费用为 20 元 【分析】（1）设铁皮各角应切去边长是 x 分米的正方形，则无盖方盒的底面是长为（10-2x）分米、宽为 （8-2x） 分米的矩形，根据矩形的面积公式结合无盖方盒的底面积为 48 平方分米，即可得出关于 x

24、的一元 二次方程，解之取其较小值即可得出结论（2）设铁皮各角切去边长是 m 分米的正方形，防锈处理所需总 费用为 w 元，由无盖方盒的底面长不大于底面宽的 3 倍可得出关于 m 的一元一次不等式，解之可得出 m 的取值范围，由总费用=0.5 侧面积+2 底面积可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用二次函数的性质即 可解决最值问题 50. （1）解： （2）解：三角形的三个内角的比是 1:1:4,三个内角分别为 30 ,30 ,120 ， 当A=30 ,B=120 时,方程的两根为 ， 将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 是方程 的根,m=0 符合题 意; 当A=120 ,B=30 时,两根为 ，不符合题意; 当A=30 ,B=30 时,两根为 ，将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 不是方程 4x2-1=0 的根. 综上所述:m=0,A=30 ,B=120 【分析】(1)按照题目所给的信息求解即可;(2)分三种情况进行分析:当A=30 ,B=120 时;当 A=120 ，B=30 时;当A=30 ，B=30 时，根据题意分别求出 m 的值即可.