专题04 二次函数与平行四边形存在性问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc

1、 一、解决此类题目的基本步骤与思路 1.先分类， （按照边和对角线进行分类） 2.画图， （画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标） 3. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质） 二、针对于计算的方法选择 1.全等三角形抓住对应边对应角的相等 2.在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式 3.平行四边形的对应边相等列相关的等式 4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系 XA+XC=XB+XD YA+YC=YB+YD （利用 P 是中点，以及中点坐标公式） A(x1,y1)、B（x2,y2） ，那么 AB 中点坐标就是（,） 注意事项注意事项：1.简单的

2、直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示 2.复杂的利用“补”复杂的利用“补” 的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时利用“割”的方法时，一般选用，一般选用横割横割 或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。 二次函数中平行四边形的存在性问题 （一）例题演示 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将OBA

3、对 折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，说明理由； A B D C P 【解析】 ： （1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（8，0） ； 点 B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（0，6） ； 由题意得：BC 是ABO 的角平分线，所以 OC=CH，BH=OB=6。 AB=10，AH=4，

4、设 OC=x，则 AC=8x，由勾股定理得：x=3，点 C 的坐标为（3，0） 将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得； （2）求得直线 BC 的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可 求得； 解答： （1）点 C 的坐标为（3，0） （1 分）点 A、B 的坐标分别为 A（8，0） ，B（0，6） ，来源:学.科.网 Z.X.X.K 可设过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式为 y=a （x3） （x8） 将 x=0， y=6 代入抛物线的解析式， 得 过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 （2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点 D 的坐标为，

5、设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G直线 BC 的解析式为 y=2x+6. 设点 P 的坐标为（x，2x+6） 解法一：如图，作 OPAD 交直线 BC 于点 P，连接 AP，作 PMx 轴于点 M OPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD，即 解得经检验是原方程的解此时点 P 的坐标为 但此时，OMGA，OPAD，即 四边形的对边 OP 与 AD 平行但不相等，直线 BC 上不存在符合条件的点 P 解法二： 如图， 取OA的中点E， 作点D关于点E的对称点P， 作PNx轴于点N 则PEO=DEA， PE=DE 可 得 PENDEG由，可得 E 点的坐标为（4，0） NE=EG=

6、 ，ON=OENE= ，NP=DG=点 P 的坐标为 x= 时，点 P 不在直线 BC 上直线 BC 上不存在符合条件的点 P 【试题精炼】【试题精炼】 如图，已知抛物线 2 yxbxc 与一直线相交于 A（-1，0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶 点为 D （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由； 来源:学+科+网 【解析】 ：本题主要考查二次函数的应用。

7、（1）利用待定系数法，以及点 A(-1,0)，C(2,3)即可求得二次函数解析式、一次函数解析式。 （2）根据题意进行分类讨论：当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点的 E 上方，则 F(x,x+3)，根据题意可求 得 E 的坐标；点 E 在线段 AC（或）延长线上时，点 F 在点 E 的下方，则点F 的坐标为(x,x-1)，然后利用 二次函数图象上点的坐标特征可求得点 E 的坐标。 解答： （1）由题意可知，点 A,C 坐标分别代入抛物线解析式 解得 b=2，c=3.又因为 A,C 在直线上，设 y=kx+b，解得 k=1，n=1 所以直线解析式为 y=x+1 （2）由（1）、（2）得点

8、 D 的坐标为(1,4)，点 B 的横坐标与点 D 的横坐标相同，且点 B 在直线 AC 上，将 其代入 y=x+1，可得 y=2。故点 B 的坐标为(1,2)，因为点 E 在直线 AC 上，设点 E 的坐标为(x，x+1)。 如图 2 所示，当点 E 在线段 AC 上时，点 F 在点 E 的上方，则点 F 的坐标为(x，x+3)，因为点 F 在抛物线 上，所以 x+3=-x 2+2x+3，解得 x=0 或 x=1（舍去），所以点 E 的坐标为（0,1） 当点 E 在线段 AC 延长线上时，则点 F 的坐标为(x，x-1)，点 F 在点 E 的下方，因为 F 在抛物线上，所以 x-1=- x

9、2+2x+3，解得 x= 或 x=，来源:学。科。网 所以综上所述，点的坐标点 E 的坐标为（0,1）或者（，），（） 【中考链接中考链接】 如图， 已知与x轴交于点(10)A ，和(5 0)B ，的抛物线 1 l的顶点为(3 4)C， 抛物线 2 l与 1 l关于x轴 对称，顶点为 C （1）求抛物线 2 l的函数关系式； （2）已知原点O，定点(0 4)D ， 2 l上的点P与 1 l上的点 P 始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点 D O P P ， ， ，为顶点的四边形是平行四边形？ 解答： （1）由题意知点 C 的坐标为(34)，设 2 l的函数关系式为 2 (3)4ya x

10、 又点(10)A ，在抛物线 2 (3)4ya x上， 2 (1 3)40a，解得1a 抛物线 2 l的函数关系式为 2 (3)4yx（或 2 65yxx） （2）P与 P 始终关于x轴对称， PP 与y轴平行 设点P的横坐标为m， 则其纵坐标为 2 65mm，4OD， 2 2654mm， 即 2 652mm 当 2 65 2mm时， 解得36m 当 2 652mm 时， 解得32m 当点P运动到(36 2)， 或(36 2)，或(322)，或(322)，时， P POD ，以点D O P P ， ， ，为顶点的四边形是平行四边形 【巩固巩固练习练习】 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2

11、 23yxx交x轴于,A B两点(点A在点B 的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻 折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接,AC BC. (1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式; (2)点P为曲线M或曲线N上的一个动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点,B C P Q来源:163文库 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标. 【解析】 ：本题主要考查二次函数的应用、和平行四边形。 （1）由已知抛物线可求得顶点坐标，进而求得曲线 N 所在抛物线顶点坐标，进而再利用顶点式可求得曲线 N 的解析式。 （2）过点 C 作直线 lx 轴，交曲线 M

12、 或 N 于点 P，所以 l：y=3，考虑两种情况：点 P 位于曲线 M 上和点 P 位于曲线 N 上，分别联立曲线 M 和直线 l 的方程或曲线 N 和直线 l 的方程，求出点 P 的坐标，再根据平行 四边形的性质，即可求出点 Q 的坐标。 来源:学&科&网Z&X&X&K （2）过点 C 作直线 lx 轴，交曲线 M 或 N 于点 P，所以 l：y=3。 当点 P 位于曲线 M 上时，由 x 2-2x-3=3，解得 x 1=+1，x2=-+1， 所以 CP=+1，或 CP=-1 因为以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 所以 CPBQ 且 CP=BQ，所以 Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0)； 当点位于曲线 N 上时，由-x 2+2x+3=3，解得 x 3=0（舍去）或 x4=2，所以 CP=2， 因为以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 所以 CPBQ 且 CP=BQ，所以 Q5(5,0), Q6(1,0) 综上所述，点 Q 的坐标分别为：Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0), Q5(5,0), Q6(1,0)。