专题03 二次函数与直角三角形问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc

1、 一、解决此类题目的基本步骤与思路 1.要求点坐标需要先设点坐标 2.分类讨论思想，构成直角有多种可能性 3. 直角三角形常用方法：勾股定理与相似，尤其是 K 字形相似的构造和运用。 来源:163文库 注意事项注意事项：1.在求解二次函数的点坐标时不要出现计算错误在求解二次函数的点坐标时不要出现计算错误 2.对于复杂的二次函数表达对于复杂的二次函数表达 式，会通过十字相乘等因式分解的方法分解式，会通过十字相乘等因式分解的方法分解 3.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案 是否符合要求。是否符合要求。4.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造在勾股定理

2、计算复杂的情况下，灵活的构造 K 字形相似去处理字形相似去处理。 二、二次函数问题中直角三角形问题 （一）例题演示 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，且抛物线经过 A（1，0） ，C（0，3）两点， 与 x 轴交于点 B （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 常用的公式定理 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（考察频率很高） 2.直角三角形 30 角所对应的边等于斜边的一半（考察频率很高） 3.中点坐标公式 4.

3、两点间距离公式。5.射影定理 【解析】 ： （1）先把点 A，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴 方程可得 a 和 b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a，b，c 的值即可得到抛物线解析式；把 B、 C 两点的坐标代入直线 y=mx+n，解方程组求出 m 和 n 的值即可得到直线解析式； （2）设 P（-1，t） ，又因为 B（-3，0） ，C（0，3） ，所以可得 BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2， PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意 t 值即可求出点 P 的坐标

4、解答： （1）依题意得： 1 2 0 3 b a abc c ，解得 1 2 3 a b c ，抛物线解析式为 2 23yxx. 把 B（3，0） 、C（0，3）分别代入直线 y=mx+n，得 30 3 mn n ，解得 1 3 m n ， 直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3；来源:163文库 若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18 解得： 1 317 2 t ， 2 317 2 t .综上所述 P 的坐标为（1，2）或（1，4）或（1， 317 2 ） 或（1， 317 2 ） 【试题精炼】【试题精炼】 如图，二次函数 y=a（x22mx3

5、m2）（其中 a，m 是常数，且 a0，m0）的图象与 x 轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，点 D 在二次函数的图象上，CDAB，连接 AD，过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的代数式表示 a； （2）设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在， 只要找出一个满足要求的点 G 即可， 并用含 m 的代 数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 【解析】 ： （1）由 C

6、在二次函数 y=a（x22mx3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到 a 与 c 的关系式 （2）要使线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中= ，则可考虑若 GF 使得 AD：GF：AE=3：4：5 即可由 AD、AE、F 点都易固定，且 G 在 x 轴的负半轴上，则易得 G 点大致 位置，可连接 CF 并延长，证明上述比例 AD：GF：AE=3：4：5 即可 解答： （1）解：将 C（0，3）代入二次函数 y=a（x22mx3m2） ， 则3=a（003m2） ， 解得 a= （2）解：如图 2，记二次函数图象顶点为 F，则 F 的坐标为（m，4）

7、，过点 F 作 FHx 轴于点 H 连接 FC 并延长，与 x 轴负半轴交于一点，此点即为所求的点 G tanCGO=，tanFGH=， =，OG=3m GF=4， AD=3， = = ， AD：GF：AE=3：4：5， 以线段 GF，AD，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时 G 点的横坐标为3m 【中考链接中考链接】 如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC 斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点 C 的坐 标为（1，0） B 点在抛物线 y 1 2 x2 1 2 x2 的图像上，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，且 B 点的横 坐标为3 (1)求 BC 所在直线

8、的函数关系式 (2)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 【解析】 ：本题主要考查全等三角形的判定与性质和二次函数的应用。 （1）由三角形全等可得 BD=OC=1，即可得点 B 的纵坐标，设出直线的函数关系式，把 B,C 两点的坐标代入， 求出直线的解析式。 （2）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行讨论。 以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，根据题意推出点 P1为直线与对称轴直线 x=- 的交点，根据直线的解析 式和抛物线对称轴的解析式，即可得到点 P1的坐标。 以 AC 为直角

9、边，A 点为直角顶点，对称轴上有一点 P2，使，AP2AC 过点 A 作 AP2BC，确定点 P2的位置。 根据 AP2BC，即可推出直线 AP2的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可得到 P2的坐标。 解答：（1）C 点坐标为（-1,0）， BD=CO=1 B 点的横坐标为-3， B 点坐标为（-3,1） 设 BC 所在直线的函数关系式为 y=kx+b， 则有，解得 BC 所在直线的函数关系式为 y=x 若以为 AC 直角边，点 A 为直角顶点，对称轴上有一点 P2，使 AP2AC，如图所示，过点 A 作 AP2BC，因 为 BC的解析式为 y=x， 设直线 AP2的解析式为 y=x+d。

10、直线交对称轴直线于点 P2，即点 P2的横坐 标为- 。因为 OD=3，OC=1，所以 OA=CD=2，所以 A 点的坐标为(0,2)。将点 A 的坐标代入直线 AP2，所以直 线的解析式为2y=x+2，所以点 P2的坐标为(- , )。 综上所述，点的坐标为 P1 (- , - )、P2(- , )。 【巩固练习巩固练习】 如图（1） ，抛物线4 2 yxx与 y 轴交于点 A，E（0，b）为 y 轴上一动点，过点 E 的直线yxb与 抛物线交于点 B、C （1）则点 A 的坐标是 ； （2）当 b = 0 时（如图（2） ） ，ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b 时，上述关系还成

11、立吗， 为什么？ （3）是否存在这样的 b，使得BOC 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b；若不存在，说明 理由 【解析】 ： （1）知道抛物线的解析式,要求与 y 轴的交点,令 x=0 就能求得. （2）当 b=0 时,直线为 y=x,联立两方程式解得交点坐标,由三角形面积公式分别求出两三角形的面积.当 b-4 时,仍然联立方程解坐标,作 BFy 轴,CGy 轴,垂足分别为 F,G,解得BF 和 CG 的值,再由面积公式求面积值. （3）由 BF=CG,BEF=CEG,BFE=CGE=90可证BEFCEG,可知 BE=CE,即 E 为 BC 的中点,当 OE=CE 时,OBC

12、为直角三角形,解三角形得到答案。学科网 解答： （1）点 A 的坐标为（0，4） （2）当 b=0 时，直线为，由，解得， 所以 B、C 的坐标分别为（2，2） ， （2，2）， 所以 y x C B A O E 图（2） y x C B A O E 图（1） 当时，仍有成立，理由如下： 由解得， 所以 B、C 的坐标分别为， 作轴，轴，垂足分别为 F、G，则 而和是同底的两个三角形，所以 （3）存在这样的 b。因为， 来源:163文库 ZXXK 所以，所以，即 E 为 BC 的中点 所以当 OE=CE 时，OBC 为直角三角形 因为，所以。 而，所以 解得， 所以当 b=4 或2 时，OBC 为直角三角形 来源:163文库 图（2）