复变函数与积分变换-第三节单位冲激函数-课件2.ppt

1、1第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件|()|df tt 2第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 单位冲激信号的应用背景单位冲激信号的应用背景有了这种函数有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷例如点电荷,点热源点热源,集中于一点的质量及脉冲技术集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连

2、续分布的量就能够象处理连续分布的量那样那样,以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决.3第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 单位冲激信号的应用背景单位冲激信号的应用背景4第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 单位冲激信号的应用背景单位冲激信号的应用背景5第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中,在在t=0进入一进入一q(t)=1的脉冲的脉冲,现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t).0,0;()1,0.tq tt00d()()()1()limlimdttq tq ttq ti tttt 解：解：这表明在通常意义下的函数类中找不到一个

3、函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数:000tttd6第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 (1)当当 时，时，0 t;0)(td d(2).1d)(ttd d定义定义 )(td d单位冲激函数单位冲激函数 满足：满足：单位冲激函数单位冲激函数 又称为又称为 函数函数。)(td dd d7第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 (1)单位冲激函数单位冲激函数 并不是经典意义下的函数，而并不是经典意义下的函数，而是一是一 个个广义函数广义函数(或者或者奇异函数奇异函数)，它不能用通常意义下的，它不能用通常意义下的 “值的对应

4、关系值的对应关系”来理解和使用，来理解和使用，而总是通过它的性质而总是通过它的性质 注注 )(td d来使用它。来使用它。(2)单位冲激函数有多种单位冲激函数有多种定义方式，定义方式，8第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 附：附：单位冲激函数的其它定义方式单位冲激函数的其它定义方式 ,0,0,/1)(其它其它 d d tt方式一方式一 令令 .)(lim)(0tt d dd d 则则 )(t d dt 1 方式二方式二 )(td d,)0(d)()(d d ttt单位冲激函数单位冲激函数 满足满足 其中，其中，称为称为检验函数检验函数。Ct)(Schwartz创立了广义函数的系统理论，并因

5、此于创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年年获得数学最高奖获得数学最高奖菲尔兹奖菲尔兹奖9第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 t01()tdt0(1)0单位冲激信号的宽度无限窄而高度无限高，其面积为单位冲激信号的宽度无限窄而高度无限高，其面积为110第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 (1)当当 时，时，0tt;0)(td d(2).1d)(0tttd注：注：)(0ttd满足：满足：称为称为延迟单位冲激函数延迟单位冲激函数 11第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 .)(d)()(00tfttftt d d(1)抽样性质抽样性质 性质性质 设函数设函数 是定义在是定义在 上的连

6、续函数，上的连续函数，)(tf),(.)0(d)()(fttft d d则则 0000f()t0f()(0)()f()t f(t)()()()ttftttt tf tt tddddd若函数(t)连续，由于只在存在，故有 (t)若在连续，则有：证：证：00()()(0)()()()f tt dtff ttt dtf tdd12第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 性质性质(2)尺度变换尺度变换 设常数设常数a0，)(1)(taatdd证：证：afafadxxaxfadtattfxat)0()0(1)(1)(dd afdtttfa)0()(1d故对任意故对任意f(t)dtttfadtattfdd

7、)(1)(taatdd113第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 (3)奇偶性质奇偶性质 d d.)()(tt d dd d函数为偶函数，即函数为偶函数，即 证：证：)0()(fdtttfd对任意对任意f(t)0()()(fdxxxfdtttfdd dtttfdtttfdd)()(故故14第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 (4)dtttfdtttfdd)()(若对任意紧支集函数若对任意紧支集函数f(t)，有，有称称 td为导数为导数也称也称 为单位冲激偶为单位冲激偶 td 0)(fdtttfd微分微分性质性质 01)(nnnfdtttfd微分微分性质性质15第七章 傅里叶变换 第三节单

8、位冲激函数 (5)积分积分性质性质)(tudtd0001)(tttu其中其中16第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 )()()(tfttfd性质性质6证：证：17第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 .10e ttj 由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有 利用抽样性质，可得出利用抽样性质，可得出 函数的函数的 Fourier 变换：变换：d d tttjd)(e d d )(td d即即 与与 1 构成构成Fourier变换对变换对 )(td d.1)(td d相等的幅度，称此为相等的幅度，称此为均匀频谱均匀频谱或或白色频谱

9、白色频谱。t 1 )(td d 1 )(td d18第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 重要公式重要公式 .)(2dettjd d 称这种方式的称这种方式的 Fourier 变换是一种变换是一种广义的广义的Fourier变换变换。在在 函数的函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据变换中，其广义积分是根据 函数的函数的 注注 d dd d性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，按照按照 Fourier 逆变换公式有逆变换公式有 19第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 )(2 d d .)(2 d d )(1 F ttj

10、d1e 解解 )(1tf(1)(2)将等式将等式 的两边对的两边对 求导，有求导，有 ttjde)(2 d d tt jtjd)(e,)(2 d d tttjde,)(2 d d j)(2 F )(2tf.)(2 d d j即得即得 20第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 .)(1j 它是工程技术中最常用的函数之一。它是工程技术中最常用的函数之一。解解 tsgn已知已知 ,2j,)(2 d d 1,)1(sgn21)(ttu又又 )(tut1 tsgn)(U得得 1(21)称称 为为单位阶跃函数单位阶跃函数，也称为，也称为 Heaviside 函数函数，)(tu注注 21第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 ttjtjdee0 ttjd)(0e )(20 d d .)(20 d d )(1 F解解 )(1tf(1)(2)由由 ，t0cos)(2100eetjtj .)()(00 d d d d )(2 F )(2tf有有 tj0e tj0e (21)0 0 )(2 F22第七章 傅里叶变换 第三节单位冲激函数 00011sin22ititteeii FFFFFF00()().id d d d