1、4.1 树与二叉树总经理技术部财务部人事部零售部采购部项目部运营部管理部售后部门店一门店二门店三树形结构在现实世界中广泛存在，如上图所示的公司内部管理的组织关系图就可以用树形结构来表示。树在计算机领域中也有广泛应用，在编译系统中，用树表示源程序的语法结构。在数据库系统中，树形结构是数据库层次模型的基础，也是各种索引和目录的主要组织形式。树（Tree）可以描述为由n(n=0)个节点（node）构成的一个有限集合以及在该集合上定义的一种节点关系。集合中的元素称为树的节点，n=0的树称为空树；树中某个节点下面的所有节点所构成的树称为该节点的子树。ABGHCDEFIJKLM子树节点的度：树的一个节点所
2、拥有的子树个数称为该节点的度。树的度：最大节点的度称为树的度。节点的度和树的度共同体现了树的宽度，也就是体现了节点的分支数和树的发散程度。线性表其实是一种特殊的树状结构，它的度为1。树的两个节点之间如果有一条边连接，那么称这两个节点之间存在一条边；对于一棵具有n个节点的树，它有n-1条边。ABGHCDEFIJKLMA节点的度为_,B节点的度为_，I节点的度为_。该树的度为_。5235该树共有_个节点、_条边。1312在树形结构中，没有前驱的节点称为根节点（Root），又称为开始节点。度为0的节点称为叶子节点（Leaf），它又称为终端节点。树中度不为0的节点称为分支节点或者称为非终端节点，除根节
3、点外的分支节点统称为内部节点。在上图中，节点A是根节点，节点G、H、C、D、K、L、M、J、F都是叶子节点。在树形结构中，对于两个以边直接连接的节点，上端节点称为下端节点的父节点或双亲节点（Parent）。相应地，下端节点称为上端节点的孩子节点（Child）。ABGHCDEFIJKLM节点K、L、M都是节点I的孩子节点节点B是节点G、H的父节点节点G、H是兄弟节点树中节点的层数（Level）从根开始计算，根的层数为1，其余节点的层数等于其父节点的层数加1。树中节点的最大层数称为树的高度或深度（Depth）。ABGHCDEFIJKML树的高度为4节点G、H、I、J都在第3层。树形结构是比较复杂的
4、非线性结构，在有多个节点（节点个数1）的树形结构中，它只有一个没有前驱、只有后继的根节点，可以有多个没有后继、只有前驱的叶子节点，其余的节点都只有一个直接前驱和多个直接后继。二叉树树的形态有很多，在实际的使用过程中，需要对树的形态进一步地进行约束和简化，以便于设计和操作。二叉树是树形结构的一个重要类型，在实际应用中，许多问题抽象出来的数据结构往往就是二叉树的形式。在猜数字游戏中，甲方事先在纸上写出一个100以内的正整数，让乙方猜，乙方每猜一次，甲方都会告诉乙方“猜大了”或是“猜小了”，直至猜出正确结果。乙方如果采取“折半”的策略进行猜数字，就一定能够在7次以内猜对结果，具体过程可以抽象成下图的
5、二叉树结构。50251237618314375625668888296小小小小小小小大大大大大大大二叉树的概念二叉树（Binary Tree）是一个具有n（n=0）个节点的有限集合。当n=0时，二叉树是一棵空树；当n0时，则是一棵由根节点和两棵互不相交的、分别称作这个根节点的左子树和右子树组成的二叉树，由于左、右子树也是二叉树，因此子树也可以是空树。ABDGEHCF二叉树所有节点的度都小于或者等于2，这给二叉树的操作带来了很大的方便。一棵二叉树有5种可能的形态，如下图所示，从左到右分别是：空二叉树；只有根节点的单点树；只有根节点和左子树；只要根节点和右子树；左右子树均非空。完全二叉树这一类二叉
6、树至多只有最下面两层中的节点度数小于2，且最下面一层的叶子节点都依次排列在该层的最左边位置。ABDEHIJCFG二叉树的性质二叉树有很多性质，作为重要的数据结构，二叉树最重要的性质就是树的高度和树中可以容纳的最大节点个数之间的关系，主要有：二叉树的第k层上最多有2k-1(k=1)个节点。当k=1时，只有1（20=1）个根节点；当k=2时，由于节点的度最大为2，因此，第2层的节点数最多有2（21=2）个节点。依次推出，第k层上最多有2k-1个节点。深度为k的二叉树最多有2k-1（k=1）个节点。第1层至第k层上的最大节点数相加的结果是：20+21+2k-1=2k-1因此2k-1是深度为k的二叉树
7、的最多节点总数。在任意一棵二叉树中，若度为2的节点数量为n2,叶子节点（度为0的节点）数为n0,则n0=n2+1。假设度为0,1和2的节点数分别是n0，n1和n2，则二叉树中总的节点数n=n0+n1+n2。在二叉树的所有节点中，除了根节点没有前驱外，每个节点均有且只有一个前驱节点，因此有n个节点的二叉树的总边数为n-1条。根据度的定义，二叉树的总边数与度之间的关系：n-1=0*n0+1*n1+2*n2，结合上述两个等式，可以得出n0=n2+1。甲乙在甲树上，度为2的节点数是1，度为1的节点数是1，叶子节点数为2；在乙树上，度为2的节点数是2，度为1的节点数是1，叶子节点数为3。二叉树在实际应用中非常广泛，如基于二叉树的查找方法（二叉排序树查找），具有较高的查找效率，还能够在查找表中进行数据插入和删除等动态查找操作。最优二叉树（又称哈夫曼树，Huffman Tree）广泛应用于编码和决策等方面。练一练1.一棵度为3，深度为4的树的节点个数至多为：A.31B.32C.40D.42C2.在一棵度为2的树中，度为2的节点数为15，度为1的节点数为30，则叶子节点（度为0的节点）的个数为：A.15B.16C.17D.47B谢 谢
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