人教版高一数学必修一同步课件：1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值.ppt

1、第2课时 函数的最大值、最小值 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 1.1.最大值最大值 对于定义域为对于定义域为I I的函数的函数f(x)f(x)，条件：，条件： f(x)f(x)M M f(xf(x0 0)=M)=M 结论：结论：M M是定义域为是定义域为I I的函数的函数f(x)f(x)的最大值的最大值. . 几何意义：函数几何意义：函数y=f(x)y=f(x)图象上最图象上最_点的点的_._. 思考：思考：函数函数f(x)=f(x)=- -x x2 211总成立吗？总成立吗？f(x)f(x)的最大值是的最大值是1 1吗吗? ? 提示提示: :f(x)=f(x)=- -x x2 2

2、1 1总成立，但是不存在总成立，但是不存在x x0 0使使f(xf(x0 0)=1)=1，所以，所以 f(x)f(x)的最大值不是的最大值不是1 1，而是，而是0.0. 高高 纵坐标纵坐标 2.2.最小值最小值 对于定义域为对于定义域为I I的函数的函数f(x)f(x)，条件：，条件： 结论：结论：M M是函数是函数f(x)f(x)在在I I上的最小值上的最小值. . 几何意义：几何意义：函数函数y=f(x)y=f(x)图象上最图象上最_点的点的_._. f(x)f(x)M M f(xf(x0 0)=M)=M 低低 纵坐标纵坐标 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打

3、“”)”) (1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x的最小值是的最小值是- -.( ).( ) (2)(2)函数函数f(x)=f(x)=- -x x2 2在在1,31,3上的最小值是上的最小值是- -1.( )1.( ) (3)(3)函数函数f(x)=2xf(x)=2x在区间在区间1,3)1,3)上的最小值是上的最小值是- -2 2，无最大，无最大 值值.( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误. . 函数函数f(x)=xf(x)=x在在( (,+),+)上无最大值和最小上无最大值和最小 值值. . (2)(2)错误错误. . 当当x=3x=3时函数时函数f(x)=f(x)=- -

4、x x2 2在在1,31,3上取得最小值上取得最小值- -9.9. (3)(3)正确正确. .由于函数由于函数f(x)=2xf(x)=2x在区间在区间1,3)1,3)上是增函数，故当上是增函数，故当 x=x=- -1 1时函数取得最小值时函数取得最小值- -2 2，函数无最大值，函数无最大值. . 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.最大值、最小值定义的理解最大值、最小值定义的理解 (1)(1)最大最大( (小小) )值定义中具备的两个条件值定义中具备的两个条件 对于定义域内全部元素对于定义域内全部元素, ,都有都有f(x)M (f(x)M)f(

5、x)M (f(x)M)成立成立; ; M M首先是一个函数值首先是一个函数值, ,它是值域的一个元素它是值域的一个元素, ,如如f(x)=f(x)=- -x x2 2的最的最 大值是大值是0,0,有有f(0)=0,f(0)=0,注意定义中注意定义中“存在存在”一词的理解一词的理解. . (2)(2)两条件缺一不可两条件缺一不可, ,若只有前者若只有前者, M, M不是最大不是最大( (小小) )值值, ,如如 f(x)=f(x)=- -x x2 211总成立总成立, ,但但1 1不是最大值不是最大值, ,更不能只有后者更不能只有后者, ,那样就那样就 丢掉了最大值的核心了丢掉了最大值的核心了.

6、 . 2.2.求最大值、最小值时的三个关注点求最大值、最小值时的三个关注点 (1)(1)利用图象写出最值时要写最高利用图象写出最值时要写最高( (低低) )点的纵坐标点的纵坐标, ,而不是横而不是横 坐标坐标. . (2)(2)单调性法求最值勿忘求定义域单调性法求最值勿忘求定义域. . (3)(3)单调性法求最值单调性法求最值, ,尤其是闭区间上的最值尤其是闭区间上的最值, ,不判断单调性而不判断单调性而 直接将两端点值代入是最容易出现的错误直接将两端点值代入是最容易出现的错误, ,求解时一定要注意求解时一定要注意. . 3.3.辨析函数的最值和值域辨析函数的最值和值域 (1)(1)函数的最值

7、和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整 个定义域个定义域. . (2)(2)函数的值域一定存在，而函数的最大函数的值域一定存在，而函数的最大( (小小) )值不一定存在值不一定存在. . (3)(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素若函数的最值存在，则一定是值域中的元素. .例如，函数例如，函数 f(x)=f(x)=- -x x2 2对任意的对任意的x xR R，都有，都有f(x)f(x)1,1,但是但是f(x)f(x)的最大值不的最大值不 是是1 1，因为，因为1 1不在不在f(x)f(x)的值域内的值域内. . 类型类型 一一 图象

8、法求函数最值图象法求函数最值( (值域值域) ) 【典型例题典型例题】 1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)，xx4,74,7的图象如图，则其最大值、最的图象如图，则其最大值、最 小值为小值为( )( ) A.3A.3，2 B.32 B.3，- -2 2 C.3C.3，0 D.20 D.2，- -2 2 2.2.写出函数写出函数f(x)=|x+1|+|2f(x)=|x+1|+|2x|x|，x(x(,3,3的单调区间和的单调区间和 最值最值. . 【解题探究解题探究】1.1.利用图象法求函数的最值时应写最高利用图象法求函数的最值时应写最高( (低低) )点的点的 纵坐标纵坐标, ,还是横坐标

9、？还是横坐标？ 2.2.题题2 2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？ 探究提示：探究提示： 1.1.利用图象写出最值时要写最高利用图象写出最值时要写最高( (低低) )点的纵坐标点的纵坐标, ,而不是横坐标而不是横坐标. . 2.2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值应先作图象，找出单调区间，最后确定最值. . 【解析解析】1.1.选选B.B.观察图象知，图象的最高点观察图象知，图象的最高点(3(3，3)3)，最低点，最低点 ( (- -1.51.5，- -2)2)，所以其最大值、最小值分别为，所以其最大值、最小值分别为3 3，

10、- -2.2. 2. 2. 其图象如下：其图象如下： 由图象得单调递减区间为由图象得单调递减区间为( (- -,- -1 1，单调递增区间为，单调递增区间为2,32,3, , 有最小值有最小值3 3，无最大值，无最大值. . 1 2x,x(, 1 f x3,x( 1,2 2x 1,x(2,3 ， ， ， 【互动探究互动探究】把题把题2 2中的问题改为求中的问题改为求f(x)5f(x)5的的x x的取值范围的取值范围. . 【解析解析】结合题结合题2 2图象，令图象，令g(x)=5,g(x)=5,则则x x的范围为的范围为xx- -2 2或或x=3.x=3. 【拓展提升拓展提升】利用图象法求函数

11、最值利用图象法求函数最值 (1)(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法, ,对图对图 象易作出的函数常用象易作出的函数常用. . (2)(2)图象法求最值的一般步骤图象法求最值的一般步骤: : 类型类型 二二 单调性法求函数的最值单调性法求函数的最值( (值域值域) ) 【典型例题典型例题】 1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x+a(x+2x+a(x0,20,2) )有最小值有最小值- -2 2，则，则f(x)f(x) 的最大值为的最大值为( )( ) A.4 B.6 C.1 D.2A.4 B.6 C.1 D.2

12、2.2.函数函数f(x)= (x0).f(x)= (x0). (1)(1)求证：求证：f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数. . (2)(2)若函数若函数f(x)f(x)的定义域与值域都是的定义域与值域都是 2 2，求，求a a的值的值. . 11 ax 1 , 2 【解题探究解题探究】1.1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? ? 2.2.题题2(1)2(1)证明证明f(x)f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2)(2) 是否有作用？是否有作用？ 探究提示：探究提示： 1.1.求二次函数

13、求二次函数f(x)f(x)在某区间在某区间m,nm,n上的最值的关键是判断函上的最值的关键是判断函 数在数在m,nm,n内的单调性内的单调性. . 2.2.证明证明f(x)f(x)单调性的步骤为取值单调性的步骤为取值作差变形作差变形定号定号判断判断( (结结 论论) )，可以利用其单调性解决，可以利用其单调性解决(2)(2)中的值域问题，进而求出中的值域问题，进而求出a a的的 值值. . 【解析解析】1.1.选选B.f(x)=xB.f(x)=x2 2+2x+a(x+2x+a(x0,20,2) )为增函数，所以为增函数，所以 最小值为最小值为f(0)=a=f(0)=a=2 2，最大值为，最大值

14、为f(2)=8+a=6.f(2)=8+a=6. 2.(1)2.(1)任取任取x x1 1，x x2 2(0,+)(0,+)，且，且x x1 1xx2 2， 则则 f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )， 即即f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数. . (2)(2)由由(1)(1)知，知，f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数，所以若函数上是增函数，所以若函数f(x)f(x)的定的定 义域与值域都是义域与值域都是 2 2，则，则 即即 解得解得a=a= 12 12 122112 xx111111 f xf x()0 axaxxxx x ， 1 , 2

15、11 f( ), 22 f 22, 11 2, a2 11 2, a2 2 . 5 【拓展提升拓展提升】 1.1.利用单调性求最值的一般步骤利用单调性求最值的一般步骤 (1)(1)判断函数的单调性判断函数的单调性.(2).(2)利用单调性写出最值利用单调性写出最值. . 2.2.利用单调性求最值的三个常用结论利用单调性求最值的三个常用结论 (1)(1)如果函数如果函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是增上是增( (减减) )函数函数, ,则则f(x)f(x)在区在区 间间a,ba,b的左、右端点处分别取得最小的左、右端点处分别取得最小( (大大) )值和最大值和最大( (小小) )值

16、值. . (2)(2)如果函数如果函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b(a,b上是增函数上是增函数, ,在区间在区间b,c)b,c)上上 是减函数是减函数, ,则函数则函数f(x)f(x)在区间在区间(a,c)(a,c)上有最大值上有最大值f(b).f(b). (3)(3)如果函数如果函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b(a,b上是减函数上是减函数, ,在区间在区间b,c)b,c)上上 是增函数是增函数, ,则函数则函数f(x)f(x)在区间在区间(a,c)(a,c)上有最小值上有最小值f(b).f(b). 【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)= xf(x)= x2,52,5，

17、求其最大，求其最大 值与最小值值与最小值. . 【解析解析】任意取任意取x x1 1，x x2 22,52,5且且x x1 1xx2 2，则，则f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2)=)= xx1 1，x x2 22,52,5且且x x1 1x0)0，所以，所以 f(x)= xf(x)= x2,52,5是减函数，是减函数，f(5)f(x)f(2)f(5)f(x)f(2)，故，故 f(x)f(x)的最大值为的最大值为f(2)=2f(2)=2，最小值为，最小值为f(5)=f(5)= x x 1， 1221 1221 xxxx x1x1x1x1 ， x x 1， 5 . 4 类型类型 三三 函

18、数最值的应用函数最值的应用 【典型例题典型例题】 1.1.绿园商店每月按出厂价每瓶绿园商店每月按出厂价每瓶3 3元购进一种饮料，根据以前的统元购进一种饮料，根据以前的统 计数据，若零售价定为每瓶计数据，若零售价定为每瓶4 4元，每月可销售元，每月可销售400400瓶；若零售价瓶；若零售价 每降低每降低( (升高升高)0.5)0.5元，则可多元，则可多( (少少) )销售销售4040瓶，在每月的进货当月瓶，在每月的进货当月 销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为_元元/ /瓶瓶. . 2.2.一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面一个运动员推铅球，

19、铅球刚出手时离地面 m m，铅球落地点距，铅球落地点距 刚出手时相应地面上的点刚出手时相应地面上的点10m10m，铅球运动中最高点离地面，铅球运动中最高点离地面3m3m， 如图：如图： 已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解 析式析式. . 5 3 【解题探究解题探究】1.1.解实际应用问题时需要考虑定义域吗？解实际应用问题时需要考虑定义域吗？ 2.2.二次函数解析式有哪几种设法？二次函数解析式有哪几种设法？ 探究提示：探究提示： 1.1.需要考虑定义域需要考虑定义域, ,因为解应用题因为解应用题, ,就是确定函数就是确定函数,

20、 ,求函数最值求函数最值 的问题的问题, ,应时刻牢记函数的定义域应时刻牢记函数的定义域, ,不仅使函数式有意义，而不仅使函数式有意义，而 且还要与实际问题相符合且还要与实际问题相符合. . 2.(1)2.(1)一般式一般式: y=ax: y=ax2 2+bx+c(a0 ).+bx+c(a0 ). 已知抛物线上任意三点时已知抛物线上任意三点时, ,通常设函数解析式为一般式通常设函数解析式为一般式, ,然后然后 列出三元一次方程组求解列出三元一次方程组求解. . (2)(2)顶点式顶点式: y=a(x: y=a(x- -h)h)2 2+k(a0).+k(a0).已知抛物线的顶点坐标或对已知抛物线

21、的顶点坐标或对 称轴方程时称轴方程时, ,通常设函数解析式为顶点式通常设函数解析式为顶点式. . (3)(3)两根式两根式: y=a(x: y=a(xx x1 1)(x)(xx x2 2)( a0).)( a0).已知二次函数与已知二次函数与x x轴轴 的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实 根时根时, ,经常采用两根式经常采用两根式. . 【解析解析】1.1.设销售价每瓶定为设销售价每瓶定为x x元，利润为元，利润为y y元，元， 则则y=(xy=(x3)(400+ 3)(400+ 40)=80(x40)=80(x3)(93)

22、(9x)=x)= - -80(x80(x- -6)6)2 2+720(x3)+720(x3)，所以，所以x=6x=6时，时，y y取最大值取最大值. . 答案：答案：6 6 2.2.由题意，抛物线的最大值为由题意，抛物线的最大值为3 3，故设抛物线方程为，故设抛物线方程为 y=a(xy=a(xh)h)2 2+3(a0)+3(a0)，又其过点，又其过点(0, )(0, )，(10,0)(10,0)，所以，所以 解得解得 抛物线方程为抛物线方程为 y= (xy= (x4)4)2 2+3+3，xx0,100,10. . 4x 0.5 5 3 2 2 a 10h30, 5 ah3, 3 1 a, 12

23、 h4, 1 12 【拓展提升拓展提升】解实际应用题的四个步骤解实际应用题的四个步骤 (1)(1)审题审题: :解读实际问题解读实际问题, ,找出已知条件、未知条件找出已知条件、未知条件, ,确定自变确定自变 量和因变量的条件关系量和因变量的条件关系. . (2)(2)建模建模: :建立数学模型建立数学模型, ,列出函数关系式列出函数关系式. . (3)(3)求解求解: :分析函数性质分析函数性质, ,利用数学知识探究问题解法利用数学知识探究问题解法( (一定注一定注 意自变量的取值范围意自变量的取值范围).). (4)(4)回归回归: :数学问题回归实际问题数学问题回归实际问题, ,写出答案

24、写出答案. . 【变式训练变式训练】快艇和轮船分别从快艇和轮船分别从A A地和地和C C地同时开出，如图，地同时开出，如图， 各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是4545千米千米/ /时和时和1515 千米千米/ /时，已知时，已知ACAC150150千米，在快艇到达千米，在快艇到达C C地之前，经过多少地之前，经过多少 时间，快艇和轮船之间的距离最短？时间，快艇和轮船之间的距离最短？ 【解析解析】设经过设经过x x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设 为为y y， 由由15015045= 45= 知定义域为知

25、定义域为x|0x x|0x 可求得当可求得当x=3x=3时，时，y y有最小值有最小值 故经过故经过3 3小时，快艇与轮船之间的距离最短小时，快艇与轮船之间的距离最短. . 10 3 10 3 22 22 10 y150 45x15x1510 x6x10 (0 x) 3 ， 二次函数在区间上的最值二次函数在区间上的最值 【典型例题典型例题】 1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2- -2ax+22ax+2，xx- -1,11,1，求函数，求函数f(x)f(x)的最的最 小值小值. . 2.2.设函数设函数f(x)=xf(x)=x2 2- -2x+2,x2x+2,xt,t+1t,

26、t+1,tR,tR，求函数，求函数f(x)f(x)的的 最小值最小值. . 【解析解析】1.f(x)=x1.f(x)=x2 2- -2ax+2=(x2ax+2=(x- -a)a)2 2+2+2- -a a2 2的图象开口向上，且的图象开口向上，且 对称轴为直线对称轴为直线x=a.x=a. 当当a1a1时，函数图象如图时，函数图象如图(1)(1)所示，函数所示，函数f(x)f(x)在区间在区间- -1 1，1 1 上是减函数，最小值为上是减函数，最小值为f(1)=3f(1)=3- -2a;2a; 当当- -1a11a1时，函数图象如图时，函数图象如图(2)(2)所示，函数所示，函数f(x)f(x

27、)在区间在区间- -1,11,1 上是先减后增，最小值为上是先减后增，最小值为f(a)=2f(a)=2- -a a2 2; ; 当当aa- -1 1时，函数图象如图时，函数图象如图(3)(3)所示，函数所示，函数f(x)f(x)在区间在区间- -1 1，1 1 上是增函数，最小值为上是增函数，最小值为f(f(- -1)=3+2a.1)=3+2a. 2.f(x)=x2.f(x)=x2 2- -2x+2=(x2x+2=(x- -1)1)2 2+1,x+1,xt,t+1t,t+1,tR,tR，对称轴为直，对称轴为直 线线x=1.x=1. 当当t+11t+11，即，即t0t1t1时，函数图象如图时，函

28、数图象如图(3)(3)所示，函数所示，函数f(x)f(x)在区间在区间t,t+1t,t+1 上为增函数，所以最小值为上为增函数，所以最小值为f(t)=tf(t)=t2 2- -2t+2.2t+2. 【拓展提升拓展提升】求二次函数求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)在区间在区间m,nm,n上上 的最值的类型的最值的类型 (1)(1)若对称轴若对称轴x= x= 在区间在区间m,nm,n内，则最小值为内，则最小值为f( )f( )，最大，最大 值为值为f(m),f(n)f(m),f(n)中较大者中较大者( (或区间端点或区间端点m,nm,n中与中与x= x

29、= 距离较远的距离较远的 一个对应的函数值为最大值一个对应的函数值为最大值).). (2)(2)若对称轴若对称轴x= m,x= n,x= n,则则f(x)f(x)在区间在区间m,nm,n上是减函数，最大上是减函数，最大 值为值为f(m),f(m),最小值为最小值为f(n).f(n). b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a 【规范解答规范解答】利用函数的单调性求最值问题利用函数的单调性求最值问题 【规范解答规范解答】 设设x x1 1,x,x2 2为为1,21,2上的任意两个实数上的任意两个实数, ,且且x x1 1xx2 2, , 1 1分分 【典例典例】 【条件分析条件分析】 则

30、则f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2) ) 5 5分分 xx1 1,x,x2 21,21,2, ,且且x x1 1xx2 2, , xx1 1- -x x2 20.0. 21 12 12 12 12 12 12 12 12 12 99 x(x) xx 9 xx(1) x x x x9 xx. x x 9 xx xx x x x x1 1x x2 2(1,4)(1,4)，x x1 1x x2 2- -9090, f(x)0, f(x1 1)f(x)f(x2 2) )， 函数函数f(x)=x+ f(x)=x+ 在在1,21,2上为减函数上为减函数. . 1010分分 所以当所以当x=

31、1x=1时取最大值，时取最大值， 最大值最大值f(1)=10,f(1)=10, 当当x=2x=2时取最小值，时取最小值， 最小值最小值f(2)=f(2)= 从而函数的最大值是从而函数的最大值是f(1)=10,f(1)=10,最小值是最小值是f(2)=f(2)= . . 1212分分 9 x 13 , 2 13 2 【失分警示失分警示】 【防范措施防范措施】 1.1.对单调性定义的把握对单调性定义的把握 在函数的定义域中任给在函数的定义域中任给x x1 1xx2 2，比较出，比较出f(xf(x1 1)f(x) f(xf(x2 2) )的关系，从而得出是增函数还是减函数的关系，从而得出是增函数还是

32、减函数. .如本例中如本例中f(xf(x1 1) )- - f(xf(x2 2)0,)0,得出得出f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),从而判定为减函数从而判定为减函数. . 2.2.单调性与最值的关系单调性与最值的关系 利用函数的单调性可以求出函数的最值，这是求最值常用的方利用函数的单调性可以求出函数的最值，这是求最值常用的方 法之一，在求函数的最值时要时刻牢记法之一，在求函数的最值时要时刻牢记. .如本例中证明如本例中证明f(x)f(x)在在 1,21,2上为减函数后，可直接求出其对应的最大值与最小值上为减函数后，可直接求出其对应的最大值与最小值. . 【类题试解类题试解】已知函

33、数已知函数f(x)=f(x)=- -x x2 2+6x+9+6x+9在区间在区间a,ba,b(ab3)(ab3)上上 有最大值有最大值9 9，最小值，最小值- -7 7，求实数，求实数a,ba,b的值的值. . 【解析解析】f(x)=f(x)=- -x x2 2+6x+9=+6x+9=- -(x(x- -3)3)2 2+18,+18, 则则f(x)f(x)在在( (- -,3),3)上为增函数上为增函数, , 因为因为ab3ab0a0时，时，f(x)= f(x)= 在在3,53,5上的函数值上的函数值 为正，为正，a=0a=0时，时，f(x)=0f(x)=0无最值，所以无最值，所以a0a0，f

34、(x)= f(x)= 在在3,53,5 上为单调递增函数，上为单调递增函数，f(5)= a=f(5)= a=2.2. 答案：答案：- -2 2 a x1 1 3 ， a x1 a x1 a1 5 13 ， 6.6.已知函数已知函数f(x)=x+ +2,f(x)=x+ +2,其中其中xx1,+).(1)1,+).(1)试判断它的试判断它的 单调性单调性.(2).(2)试求它的最小值试求它的最小值 1 2x 【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)=x+ +2,f(x)=x+ +2,设设1x1x1 1xx2 2, , 1x1x1 1xx2 2,x,x1 1- -x x2 20,x1,1, 2x2x1 1x x2 2- -10,f(x10,f(x1 1) )- -f(xf(x2 2)0.)0. 即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在区间在区间1,+)1,+)上单调递增上单调递增. . (2)(2)从而当从而当x=1x=1时时, f(x), f(x)有最小值有最小值 1 2x 12 1212 1212 12 12 12 f xf x 111 xx()xx(1) 2x2x2x x 2x x1 xx, 2x x 7 . 2