广东省中山市普通高中2017-2018学年高二数学1月月考试题05-(有答案,word版).doc

1、 - 1 - (1) (2) (3) (4) (5) y = xyxC BAO高二数学 1 月月考试题 05 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 用数学归纳法证明不等式 2nn2时，第一步需要验证 n0=_时，不等式成立（ ） A. 5 B. 2和 4 C. 3 D. 1 2.“ 0mn?”是“方程 221mx ny?” 表示焦点在 y轴上的椭圆”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3如图，长方形的四个顶点为 )2,0(),2,4(),0,4(),0,0( CBAO

2、，曲线 xy? 经过点 B 现将一质点随机投入长方形 OABC 中，则质点落在图中 阴影区域的概率是（ ） A 125 B 21 C 43 D 32 4. 如图，第 (1)个图案 由 1个点组成， 第 (2)个图案 由 3个点组成， 第 (3)个图案 由 7个点组成，第 (4)个图案 由 13个点组成， 第 (5)个图案 由 21个点组成，?， 依此类推 ，根据图案中点的排列规律 ,第 100个图形由多少个点组成 （ ） A. 9900 B. 9901 C. 9902 D. 9903 5. 抛物线 2y ax? 的焦点坐标是 （ ） A 1(0, )4a B 1(0, )4a? C (0, )

3、4a? D (0, )4a 6. 设双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的虚轴长为 2，焦距为 32 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） - 2 - A. xy 2? B .xy 22?C . xy 2? D. xy 21? 7. 已知椭圆 221xyab?( 0ab?)中， ,abc成等比数列，则椭圆的离心率为（ ） A 22 B 35 C 512? D 512? 8. 设 1a? ，则双曲线 221( 1)xyaa?的离心率 e 的取值范围是 （ ） A ( 22)， B ( 2 5)， C (25)， D (2 5)， 9. 对于 R上可导的任意函数 f（ x），若满足（ x 1

4、） fx?（） ?0，则必有（ ） A f（ 0） f（ 2） ?2f（ 1） B. f（ 0） f（ 2） ?2f（ 1） C. f（ 0） f（ 2） ?2f（ 1） D. f（ 0） f（ 2） ?2f（ 1） 10. 设 aR? ，若函数 xy e ax?， xR? ，有大于 零的极值点，则（ ） A 1a? B 1a? C 1a e? D 1a e? 11. 已知 32( ) 3 2f x x x? ? ?， 1, 2xx 是区间 ? ?1,1? 上任意两个值， 12( ) ( )M f x f x?恒成立，则 M的最小值是（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 12. 若

5、 21( ) ln ( 2 )2f x x b x? ? ? ? ?在 ( - 1 , + )上是减函数，则 b 的取值范围是（ ） A. 1, )? ? B. ( 1, )? ? C. ( , 1? D. ( , 1)? 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13. 若正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底面边长为 2， 高为 4，则异面直线 1BD 与 AD 所成角的余弦值是 _. 14 设 n 为正整数， f(n) 1 12 13? 1n，计算得 f(2) 32， f(4)2， f(8)52， f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为 _15. 不等式 2

6、 ( 3) ( 4)ax a x a? ? ? ? 0对 ?1, )a?恒成立，则 x的取值范围是 _. 16 半径为 r的圆的面积 S(r) ? r2,周长 C(r)=2? r，若将 r看作 (0， )上的变量，则 (? r2) 2? r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R的球，若将 R看作 (0， )上的变量，类比以上结论，请你写出类似于的式子： ，式可以用语言叙述为： 。 三、解答题 :解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 - 3 - B A O A1 y x F B1 17. （本小题满分 10 分） （ 1）求函数 ()xf x e? 在 0x?

7、 处的切线方程； （ 2） xR? ，证明不等式 1.xex? 18. （本小题满分 12 分） 过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物 线的通径。如图， 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p?，过其焦点 F的直线交抛物线于 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y 两点。过 A 、 B 作准线的垂线，垂足 分别为 1A 、 1B . （ 1）求出抛物线的通径，证明 12xx 和 12yy 都是定值，并求出这个定值； （ 2）证明： 11AF BF? . 19（本小题满分 12分） 设函数 3( ) 3 ( 0 )f x x ax b a? ? ? ?. （）若曲线 ()y f x

8、? 在点 (2, (2)f 处与直线 8y? 相切，求 ,ab的值； （）求函数 ()fx的极值点与极值 . 20. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形， PA? 平面 ABCD ， 4PA AD?， 2AB? .AN PC? 于点 N ,M 是 PD 中点 . （ 1） 用空间向量证明 ： AM MC， 平面 ABM 平面 PCD ； （ 2）求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值； （ 3）求点 N 到平面 ACM 的距离 . 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 222 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别

9、为 12FF、 ，离心率 22e? ， 2 2ac? . （ I）求椭圆的标准方程； P A B D C N M - 4 - （ II）过点 1F 的直线 l 与该椭圆交于 MN、 两点，且22 2 263F M F N?，求直线 l 的方程 . 22（本小题满分 12分） 已知函数 )()(,2ln)( 2 xxaxgxxxf ? （ 1）若 21?a ，求 )()()( xgxfxF ? 的单调区间； （ 2）若 )()( xgxf ? 恒成立，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3

10、4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B A B D B C A D C 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13. 66 14 2(2 ) 2n nf ? 15. 31x orx ? 16 324 43 RR?（ ） ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。” 三、解答题 :解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分） 解： (1 )f ( x ) , f (0 ) 1,xek? ? ?切点 P（ 0,1） 所以，切线方程为 1.yx? （ 2）设 ( ) 1,xg x e x? ? ?则 g (x) 1,xe? ?由

11、g (x) 1 0xe? ? 得 0,x 由 g (x) 1 0xe? ? ? ?得 0,x? 由 g (x) 1 0xe? ? 得 0,x 所以 ()gx在 ( ,0)? 上是减函数，在 (0, )? 上是增函数函数，在 0x? 处取得最小值，即 ( ) (0) 0,g x g? 所以 1.xex? - 5 - 18. （本小题满分 12 分） 解：焦点 ( ,0)2pF ，准线 2px? （ 1） AB x? 时 ( , )2pAp、 ( , )2pBp? ，通径 2p ， 212 4pxx?、 212yy p? ，是定值 . AB与 x轴不垂直时，设 AB： ()2py k x?由2:

12、( ) ( 0 )2:2pA B y k xkC y p x? ?得 2 022k kpyyp ? ? ?，所以 212yy p? ， 22 21212 ,2 2 4yy pxx pp? ? ?是定值 . （ 2）11( , )2pAy?、12( , )2pBy?， ( ,0)2pF 所以 21 1 1 2 1 1 1 2 1 1( , ) , ( , ) , 0 .F A p y F B p y F A F B p y y F A F B? ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：由抛物线知：1 1 1 1,A F A O F A B F B O F B? ? ? ? ? ?1 1 1 19

13、 0 , .O A O F B F A F B? ? ? ? ? ? ? 19（本小题满分 12分） 解：（） ? ?233f x x a?,曲线 ()y f x? 在点 (2, ( )fx 处与直线 8y? 相切， ? ? ? ? ? 20 3 4 0 4,24.8 6 828f a ababf? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（） ? ? ? ? ?230f x x a a? ? ?, 当 0a? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx在 ? ?,? 上单调递增，此时函数 ()fx没有极值点 . 当 0a? 时，由 ? ? 0f x x a? ? ? ?， 当 ? ?,xa?

14、 ? ? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx单调递增， 当 ? ?,x a a? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx单调递减， 当 ? ?,xa? ? 时， ? ? 0fx? ，函数 ()fx单调递增， 此时 xa? 是 ()fx的极大值点， xa? 是 ()fx的极小值点 . 20.如图所示，建立空间直角坐 标系，则 (0,0,0)A ， (0,0,4)P ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ；设平面 ACM 的一个法向量 ( , , )n x y z? ，由 ,n AC n AM?可得：2 4 0220xyyz? ? ，令 1z

15、? ，则 (2, 1,1)n? 。 - 6 - （ 1）略 （ 2）设所求角为 ? ，则 6sin3CD nCD n?， （ 3）由条件可得， AN NC? .在 Rt PAC? 中， 2PA PN PC?,所以 83PN? ,则103NC PC PN? ? ?, 59NCPC? ，所以所求距离等于点 P 到平面 CAM距离的 59 ，设点 P 到平面 CAM距离为 h 则 263AP nhn?，所以所求距离为 5 10 6h9 27? 。 21. （本小题满分 12 分） 解 （ I）由已知得 2222? ? ?caac，解得 2, 1?ac 221? ? ?b a c 所求椭圆的方程为 2

16、 2 12 ?x y . （ II）由（ I）得 1( 1,0)?F 、 2(1,0)F 若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 1?x ，由 22112? ?xx y 得 22?y 设 2( 1, )2?M 、 2( 1, )2?N ， 22 22( 2 , ) ( 2 , ) ( 4 , 0 ) 4? ? ? ? ? ? ? ? ?F M F N，这与已知相矛盾。 若直 线 l 的斜率存在，设直线直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 ( 1)?y k x ， 设 11( , )Mx y 、 22( , )Nx y ，联立 22( 1)12? ?y k xx y ，消元得

17、2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0? ? ? ? ?k x k x k 221 2 1 24 2 2,1 2 1 2? ? ?kkx x x x， 1 2 1 2 22( 2 ) 12? ? ? ? ? ? ky y k x x k， 又 2 1 1 2 2 2( 1 , ) , ( 1 , )? ? ? ?F M x y F N x y 2 2 1 2 1 2( 2 , )? ? ? ? ?F M F N x x y y - 7 - 2 22222 2 1 2 1 2 228 2 2 2 2 6( 2 ) ( ) 1 2 1 2 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?kkF M F N x x y y kk 化简得 4240 23 17 0? ? ?kk 解得 22 171 40或 (舍 去 )? ? ?kk 1?k 所求直线 l 的方程为 11或? ? ? ? ?y x y x . 22（本小题满分 12分） 解：（） 211( ) ln 2 22F x x x x x? ? ? ?，其定义域是 (0, )? ? 1分 1 1 ( 2 1 ) ( 2 )( ) 2 22xxF x xxx ? ?