《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案.doc

1、 得分 得分 得分 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题（期末试题（A） 广告：本教程由购物省钱的领券网（）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“847652”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包， 一般都是 5-10 元 支付的时候把支付方式转为余额宝就行呢 没钱往里冲点 每天都可以领取哟！ 一填空题（每小题一填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 1 2 31i 的幅角是（ ） ；2.)1(iLn的主值是 （ ） ；3. 2 1 1 )( z zf ，)0( )5( f （ ） ； 40z是 4 sin z zz 的（ ）极点；5 z zf 1 )( ， )

2、,(Rezfs（ ） ； 二二选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（ ） ； （A） yx iuuzf)( ； （B） yx iuuzf)( ； （C） yx ivuzf)( ； （D） xy ivuzf)( . 2C 是正向圆周3z，如果函数)(zf（ ） ，则0d)( C zzf （A） 2 3 z ； （B） 2 ) 1(3 z z ； （C） 2 )2( ) 1(3 z z ； （D） 2 )2( 3 z . 3如果级数 1n n nz c 在2z点收敛，则级数在 （A）2z点条件收敛 ； （B）iz

3、2点绝对收敛； （C）iz1点绝对收敛； （D）iz21点一定发散 下列结论正确的是( ) （A）如果函数)(zf在 0 z点可导，则)(zf在 0 z点一定解析； (B) 如果)(zf在 C 所围成的区域内解析，则 0)( C dzzf （C）如果 0)( C dzzf ，则函数)(zf在 C 所围成的区域内一定解析； （D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是 ),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） (A) 的可去奇点；为 z 1 sin (B) 的本性奇点；为zsin (C) ; 1 sin 1 的孤立奇点为 z (D)

4、 . sin 1 的孤立奇点为 z 三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计分，共计 40 分）分） （1） 设)()( 2222 ydxycxibyaxyxzf是解析函数， 求.,dcba （2） 计算 C z z zz e d ) 1( 2 其中 C 是正向圆周：2z； 得分 （3）计算 3 3422 15 d )2()1 ( z z zz z （4）函数 3 232 )(sin ) 3()2)(1( )( z zzzz zf 在扩充复平面上有什么类型的奇 点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题 14 分） 将函数 ) 1( 1 )( 2 zz zf在

5、以下区域内展开成罗朗级数； （1）110 z， （2）10 z， （3） z1 五 （本题五 （本题 10 分）用分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题变换求解常微分方程定解问题 1)0()0( )(4)(5)( yy exyxyxy x 得分 得分 六、 （本题 6 分）求 )()(0 t etf 的傅立叶变换，并由此证明： t ed t 2 0 22 cos 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题（期末试题（A）答案及评分标准）答案及评分标准 得分 一填空题（每小题一填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 1 2 31i 的幅角是（2, 1, 0,2 3

6、kk ） ；2.)1(iLn的主值是 （ i 4 3 2ln 2 1 ） ；3. 2 1 1 )( z zf ，)0( )5( f （ 0 ） ，40z是 4 sin z zz 的 （ 一级一级 ） 极点； 5 z zf 1 )( ，),(Rezfs（-1 ） ； 二选择题（每题二选择题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 1-5 B D C B D 三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共分，共 40 分）分） （ 1 ） 设)()( 2222 ydxycxibyaxyxzf是 解 析 函 数 ， 求 .,dcba 解：因为)(zf解析，由 C-R 条件 y

7、 v x u x v y u ydxayx22,22dycxbyax , 2, 2da，,2 ,2dbca, 1, 1bc 给出给出 C C- -R R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。 （2） 计算 C z z zz e d ) 1( 2 其中 C 是正向圆周： 解： 本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算， 仅给出用前者计算过程 因为函数 zz e zf z 2 ) 1( )( 在复平面内只有两个奇点 1, 0 21 zz ，分别以 21,z z 为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的

8、小 圆 21,c c 且 位 于c内 21 d ) 1( d ) 1( d ) 1( 2 2 2 C z C z C z z z z e z z z e z zz e i z e i z e i z z z z 2 ) 1( 2)(2 0 2 1 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。 （3） 3 3422 15 d )2()1 ( z z zz z 解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理 ),(Re2d )2()1 ( 3 3422 15 zfsiz zz z z -（5 分） 1 ) 1 (Re2 2 zz fsi -（8 分） 2 342 2 15 2

9、 1 ) 1 (2() 1 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( z zz z zz f 0,z ) 12()1 ( 11 ) 1 ( 34222 有唯一的孤立奇点 zzzzz f 1 ) 12()1 ( 11 ) 1 (0 , 1 ) 1 (Re 3422 0 2 0 2limlim zzzz zf zz fs zz 3 3422 15 2d )2()1 ( z iz zz z -（10 分） （4）函数 2 3 32 ) 3( )(sin )2)(1( )( z z zzz zf 在扩充复平面上有什么类型的奇 点？，如果有极点，请指出它的级. 解 ： ，的奇点为, 3, 2, 1, 0, )

10、(sin )3()2)(1( )( 3 232 kkz z zzzz zf （1）的三级零点，的三级零点，）为（为（03210 3 zkkz sin, （2）的可去奇点，的可去奇点，是是的二级极点，的二级极点，为为，)()(,zfzzfzz210 （3）的一级极点，为)(3zfz （4）的三级极点；，为)(4, 3, 2zfz （5）的非孤立奇点。的非孤立奇点。为为)(zf 备注：给出全部奇点给 5 分 ，其他酌情给分。 四、 （本题 14 分）将函数 ) 1( 1 )( 2 zz zf在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110 z， （2）10 z， （3） z1 解： （1）当110 z

11、) 11( 1 ) 1( 1 ) 1( 1 )( 2 zzzz zf 而 ) 1() 1( ) 11( 1 0 n nn z z 0 1 ) 1() 1( n nn zn 0 21 ) 1() 1()( n nn znzf -6 分 （2）当10 z )1 ( 1 ) 1( 1 )( 22 zzzz zf = 0 2 1 n n z z 0 2 n n z -10 分 （3）当 z1 ) 1 1 ( 1 ) 1( 1 )( 3 2 z z zz zf 0 3 0 3 1 ) 1 ( 1 )( n n n n zzz zf -14 分 每步可以酌情给分。 五 （本题 10 分）用 Laplace

12、 变换求解常微分方程定解问题： 1)0(1)0( )(4)(5)( yy exyxyxy x 解：对)(xy的Laplace 变换记做)(sL，依据Laplace 变换性质有 1 1 )(4) 1)(51)( 2 s sLssLssLs （5 分） 整理得 )4(15 1 ) 1(6 5 ) 1(10 1 1 1 )4(15 1 ) 1(6 1 ) 1(10 1 1 1 )4)(1)(1( 1 )( sss ssss ssss sL （7 分） xxx eeexy 4 15 1 6 5 10 1 )( （10 分） 六、 （6 分）求 )()(0 t etf 的傅立叶变换，并由此证明： t e

13、d t 2 0 22 cos 解： )()(0 dteeF t ti -3 分 )()(0 0 0 dteedteeF ttitti )( )()( 0 0 0 dtedte titi )( )()( 0 0 0 i e i e titi )()(0 211 22 ii F -4 分 )()()(0 2 1 dFetf ti - -5 分 )(0 2 2 1 22 de ti )()sin(cos0 1 22 dtit )( sincos 0 2 22 0 22 d ti d t )( cos )(0 2 0 22 d t tf， -6 分 t ed t 2 0 22 cos 复变函数与积分变

14、换复变函数与积分变换 期末试题（期末试题（B) 一一填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 二二1 2 1i 的幅角是（的幅角是（ ）；）；2.2.)(iLn的主值是的主值是 （ ） ；） ； 3.3. a = = （ ） ，） ， )2(2)( 2222 yxyaxiyxyxzf 在 复 平 面 内 处 处 解在 复 平 面 内 处 处 解 析析4 40z是是 3 sin z zz 的（的（ ）极点；）极点；5 5 z zf 1 )( ， ),(Rezfs（ ）；）； 二选择题（每小题二选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 1解析函数 ),(),(

15、)(yxivyxuzf 的导函数为（ ） ； （A） xy ivuzf)( ； （B） yx iuuzf)( ； （C） yx ivuzf)( ； （D） yx iuuzf)( . 2C 是正向圆周2z，如果函数)(zf（ ） ，则0d)( C zzf （A） 1 3 z ； （B） 1 3 z z ； （C） 2 ) 1( 3 z z ； （D） 2 ) 1( 3 z . 3如果级数 1n n nz c在iz2点收敛，则级数在 （A）2z点条件收敛 ； （B）iz2点绝对收敛； （C）iz1点绝对收敛； （D）iz21点一定发散 下列结论正确的是( ) （A）如果函数)(zf在 0 z点可导

16、，则)(zf在 0 z点一定解析； (B) 如果0)( C dzzf,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则)(zf在 C 所围成 的区域内一定解析； （C）函数)(zf在 0 z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展 开成为 0 zz 的幂级数，而且展开式是唯一的； （D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、 ),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） （A） 、l n z是复平面上的多值函数； cosz)B(、是无界函数； zsin)C(、 是复平面上的有界函数； （D） 、 z e是周期函数 三按要求完成下列各题（每

17、小题三按要求完成下列各题（每小题 8 分，共计分，共计 50 分）分） （1 ）设)(),()(ygxiyxuzf 2 是解析函数，且00 )(f，求 )(),(),(zfyxuyg （2） 计算 C z izz z d )(1( 22 其中 C 是正向圆周2z； 得分 （3） 计算 C z ze z z d )1 ( 1 2 ，其中 C 是正向圆周2z； （4） 利用留数计算 C z zz d )2)(1( 1 2其中 C 是正向圆周3z； （5）函数 3 32 21 )(sin )( )( z zzz zf 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果 有极点，请指出它的级. 四、 （本题 12

18、 分）将函数 ) 1( 1 )( 2 zz zf 在以下区域内展开成罗朗级 数； （1） 110 z ， （2） 10 z ， （3） z1 得分 五 （本题五 （本题 10 分）用分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题变换求解常微分方程定解问题 1)0()0( )(4)(5)( yy exyxyxy x 得分 六、 （本题 8 分）求 )()(0 t etf 的傅立叶变换，并由此证明： t ed t 2 0 22 cos 得分 得分 得分 得分 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准（期末试题简答及评分标准（B） 一一 填空题（每小题填空题（每小题 3 分，

19、共计分，共计 15 分）分） 1 2 1 i 的幅角是（的幅角是（ , 2, 10,2 4 kk ）；）；2.2.)1(iLn的的 主值是（主值是（ 4 2ln 2 1 i ）；）；3.3. 2 1 1 )( z zf ，)0( )7( f （ 0 0 ）；）； 4 4 3 sin )( z zz zf ， 0),(Rezfs （ 0 0 ） ；5 5 2 1 )( z zf ， ),(Rezfs（ 0 0 ）；）； 二选择题（每小题二选择题（每小题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 1-5 A A C C C 三按要求完成下列各题（每小题三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计分，共

20、计 40 分）分） （1）求 dcba, 使)()( 2222 ydxycxibyaxyxzf是解析函数， 解：因为)(zf解析，由 C-R 条件 y v x u x v y u ydxayx22,22dycxbyax , 2, 2da，,2 ,2dbca, 1, 1bc 给出给出 C C- -R R 条件条件 6 6 分，正确求导给分，正确求导给 2 2 分，结果正确分，结果正确 2 2 分。分。 （2） C z zz d ) 1( 1 2其中 C 是正向圆周2z； 解： 本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算， 得分 仅给出用前者计算过程 因为函数 zz zf 2

21、 ) 1( 1 )( 在复平面内只有两个奇点1, 0 21 zz ，分别以 21,z z 为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 21,c c 且 位 于c内 21 d ) 1( 1 d ) 1( 1 d ) 1( 1 2 2 2 CCC z z z z z z z zz 0 ) 1( 1 2) 1 (2 0 2 1 z z z i z i （3） 计算 C z z z ez d )1 ( 1 3 ，其中 C 是正向圆周2z； 解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：2z内，由留数定理 1 2 2),(Re2(z)d iczfsizf z -（5 分） z1 ) 111

22、1)( ! 3 1 ! 2 11 1 ( 1 1 )1 ( 3232 2 1 2 1 3 zzzzzz z z ez z ez zz ) 111 1)( ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ( 322 2 zzzzz zz ) ! 3 1 ! 2 1 11 ( 1 c 3 8 izf z 2 3 8 (z)d 2 （4）函数 3 32 )(sin )2)(1( )( z zz zf 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有 极点，请指出它的级. ，的奇点为, 3, 2, 1, 0,)(kkzzf 的三级零点，的三级零点，）为（为（03210 3 zkkz sin, 的可去奇点，是的二级极点，为

23、)(2)(, 1zfzzfz 的三级极点；，为)(4, 3, 2 , 0zfz 的非孤立奇点。的非孤立奇点。为为)(zf 给出全部奇点给 5 分。其他酌情给分。 四、 （本题 14 分）将函数 ) 1( 1 )( 2 zz zf 在以下区域内展开成罗 朗级数； （1）110 z， （2） 10 z ， （3） z1 （1）110 z， （2）10 z， （3） z1 解： （1）当110 z ) 1(1 ( 1 ) 1( 1 ) 1( 1 )( 2 zzzz zf 而 ) 1( ) 1(1 ( 1 0 n n z z 0 1 ) 1( n n zn 0 2 ) 1()( n n znzf -6

24、 分 （2）当10 z ) 1( 1 )( 2 zz zf = 0 2 ) 1( 1 n nn z z 0 2 ) 1( n n z -10 分 （3）当 z1 ) 1 1 ( 1 ) 1( 1 )( 3 2 z z zz zf 得分 0 3 0 3 1 ) 1() 1 ( 1 )( n n n n n zzz zf -14 分 五 （本题五 （本题 10 分）用分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题变换求解常微分方程定解问题 1)0(, 0)0( )(3)(2)( yy exyxyxy x 解：对)(xy的Laplace 变换记做)(sL，依据Laplace 变换性质有 1 1

25、)(3)(21)( 2 s sLssLsLs （5 分） 整理得 )4)(1)(1( 2 )( sss s sL （7 分） xxx eeexy 3 8 1 8 3 4 1 )( （10 分） 六、 （本题 6 分）求 1 1 0 1 )( t t tf 的傅立叶变换，并由此证明： 1 1 1 0 4 2 cossin 0 t t t d t 解： )()(dttfeF ti dteF ti 1 1 )( -2 分 sin2 1 1 iiti ee i i e - 4 分 得分 得分 得分 得分 得分 )( 2 1 )( dFetf ti - 5 分 sin1 de ti )sin(cos sin1 dtit sinsin cossin2 0 d ti d t )( 2 cossin 0 tfd t = 1 1 1 0 4 2 t t t -6 分