21.3 综合应用（九年级上册数学(人教版)）.ppt

1、用一元二次方程解决实际问题 第21章：一元二次方程 人教版九年级上册 【常见类型】 列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种 （1）增长率问题 （2）几何中面积、长度问题 （3）假设存在问题 （4）排列组合问题 （5）销售问题 （一）增长率问题 例1 某市为了解决市民看病难的问题，决定下调 药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由 每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次 降价的百分率是多少？ 解：设这种药品平均每次降价的百分率是x 根据题意，得200(1x)2128 解得x10.2，x21.8（丌合题意，舍去） 答：这种药品平均每次降价20% 知识点归纳 1. 列一元二次方程解应

2、用题的一般步骤不列一元 一次方程解应用题一样，所以列一元二次方程解应 用题的一般步骤也归纳为：审、设、列、解、检验、 答这六个步骤 （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量， 哪些是未知量以及它们乊间的等量关系； （2）设：是指设元，也就是设未知数； （3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先 找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代 数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式， 即方程； （5）检验：列方程解应用题时，要对所求出的未知数迚行 检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值 是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是丌是满足实 际问题

3、的要求，对于适合方程而丌适合实际问题的未知数的 值应舍去； （4）解：就是解方程，求出未知数的值； （6）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意丌要漏写 单位名称 2对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的 降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少， 丌能不一般性的增加和减少相混淆 例2 如图所示，一架长为10 m的梯子斜 靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离 为8 m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2 m， 那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多 少？ A A C B B （二）几何中面积、长度问题 分析： 首先设出未知数， 其次再根据勾股定理列出方程 AB10 m，AC8 m， 根据勾股定理得：

4、 BC6（m） 解：设梯子的底端在地面上滑动的距离 BB为 x m 根据题意，得（82） 2（6x）2102 化简，得 x212x280 解得 x12， x214 （不合题意， 舍去） 答：梯子的底端在地面上滑动的距离是 2 m A A C B B 例 3 在宽为 20 m、 长为 32 m 的矩形地 面上， 修筑同样宽的两条互相垂直的道 路，余下部分作为耕地，要使耕地面积 为 540 m 2，道路的宽应为多少？ 分析：如图所示，此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等于 540 m 2 20米20米 32米32米 解法一 设道路的宽为 x m，则横向的路面面积为 32x m 2， 纵向的路面

5、面积为 20 x m 2， 道路面积为 （32x20 xx2） m 2 20米20米 32米32米 根据题意得： 32 20 （32x20 xx2） 540 化简得，x252x1000 解得，x12，x250 其中的 x50 超出了原矩形的长和宽，应舍去 答：所求道路的宽为 2 m 解法二：见下图，设路宽为 x m，则此时耕 地矩形的长（横向）为（32x）m，耕地矩 形的宽（纵向）为（20 x）m 20米20米 32米32米 根据题意得： （32x） （20 x）540 20米20米 32米32米 解法二 设路宽为 x m，则耕地矩形的长（横向）为（32x）m，耕 地矩形的宽（纵向）为（20

6、x）m 解得，x12，x250（不合题意，舍去） （以下步骤同解法一） 小结 1解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下， 可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工， 仍可按原图的位置修路） 2有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留， 看到负解就舍去其实，即使是正解也要根据题设条件 进行检验，该舍就舍此题一定要注意原矩形“宽为20 m、长为32 m”这个条件，从而进行正确取舍 例 4 有一根长为 120 cm 的绳子 （1）能否围成一个面积是 500 cm2的矩形？ （2）能否围成一个面积是 1000 cm2的

7、矩形？ （三）假设存在问题 分析：在解决这一类存在问题时，一般 先假设面积是 500 cm2和 1000 cm2的矩 形存在，再根据题意列出方程求解如 果方程有解，就说明符合条件的矩形存 在；如果方程无解，则说明符合条件的 矩形不存在 解：设这根绳子围成的矩形的长是 xcm，则宽是 （60 x）cm （1）如果矩形的面积是 500 cm2，那么 根据题意得：x（60 x）500 化简得， x260 x5000 解得 x110，x250 当 x110 时， 60 x150； 当 x250 时， 60 x210 答：长为 120 cm 的绳子能围成面积是 500 cm2的矩形 （2）如果矩形的面积

8、是 1000 cm2，那么 根据题意得：x（60 x）1000 化简得，x260 x10000 b24ac（60）24 1 1000 360040004000， 此方程没有实数解 答： 长为 120 cm 的绳子不能围成面积 是 1000 cm2的矩形 解决存在性问题的一般步骤是：先 假设问题存在或成立，然后根据题意列 出方程求解如果方程有解，就说明假 设成立；如果方程无解，则说明假设不 成立 小结 例5 在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次 手，一共握了45次手，问参加这次聚会的人数是多少？ （四）排列组合问题 分析：这是一个简单的排列组合问题，对这个问题， 我们可以作这样的假设：

9、如果有 x 个人参加聚会，那么第 1 个人需要与除他自己以外的其他（x1）个人握手，要 握（x1）次手；第 2 个人也分别与其他（x1）个人握 手，可握（x1）次手；依此类推，第 x 个人同样 要与其他（x1）个人握手，可握（x1）次手,如此共有 x（x1）次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进 行计算的所以，按照题意，可得1 2x（x1）=45 次手 解：设共有 x 人参加这次聚会 根据题意得： 1 2x（x1）=45 化简得，x2x900 解得 x110， x29 （不合题意， 舍去） 答：共有 10 人参加这次聚会 小结小结 1与此相类似的问题还有：多边形的对与此相类似的问题还有：多

10、边形的对 角线、两人互通电话、下棋比赛等等角线、两人互通电话、下棋比赛等等 2 要注意与寄信等问题相区别， 前者需要 乘以1 2，而后者不需要 例6 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出20件， 每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出2件若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？ （五）销售问题 分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可 以通过列表的方式来分析其中的数量关系以通过列表的方式来分析其中的数量关系 每天的销售量（每天的销售量（ 件）件） 每件衬衫的盈利每件衬衫的盈利 （元）

11、（元） 总利润（元）总利润（元） 降价前降价前 降价后降价后 20 40 800 202x 40 x 1200 解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题 意，得 整理得：x230 x2000 解得，x110，x220 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元 （40 x） （202x）1200 例7 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤第一个月以单 价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍 可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市 场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于 购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清 仓，清仓时单价

12、为40元设第二个月单价降低x元 （1）填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么 第二个月的单价应是多少元？ 分析： 时间 第一个月 第二个月 清仓 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 800200（200 10 x） 80 x 20010 x 解：设为了获利 9000 元，第二个月每件 T 恤的 售价应定为（80 x）元，即每件 T 恤降价 x 元， 根据题意得： 80 200 （80 x） （20010 x） 800200 （200 10 x） 4050 8009000

13、 整理得：x220 x1000 解得，x1x210 当 x10 时，80 x7050 答：第二个月的单价应为 70 元 1列方程解实际问题，一般分为审题、设未知数、列方程、 解方程、检验、写出答案这六步进行，其中审题过程虽在草稿 纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知 条件和所求量，明确量与量之间的数量关系，才能准确找出相 等关系，列出方程 【方法总结】 2在列一元二次方程解实际问题时还要注意一些关键 的词语，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、 “同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等 3在解决复杂问题时，我们可以借助于列表格等辅助 方式弄清题目中的数量关系，列出方程 4一元二次方程是我们日常生活中解决许多问题的有效模型，一元二次方程是我们日常生活中解决许多问题的有效模型， 我们要善于利用列一元二次方程求解这个数学模型解决实际生我们要善于利用列一元二次方程求解这个数学模型解决实际生 活中的各种问题，并注意要根据实际意义进行解释和检验，从活中的各种问题，并注意要根据实际意义进行解释和检验，从 中体会数学建模的思想方法中体会数学建模的思想方法