人教版高中数学必修4课件练习223.ppt

1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义【自主预习自主预习】1.1.向量的数乘运算向量的数乘运算(1)(1)定义：规定实数定义：规定实数与向量与向量a的积是的积是一个一个_，这种，这种运算叫做向量的数乘，记作：运算叫做向量的数乘，记作：_，它的长度和，它的长度和方向方向规定如下：规定如下：向量向量a|a|=|=|a|；当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_；当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向_._.相同相同相反相反(2)(2)运算律：设运算律：设，为任意实数，则有：为任意实数，则有：(a)=_)=_；(+)(+)a=_=_；(a+b)=_)=_；特别地，有特别地，有(-)(

2、-)a=_=_=_=_；(a-b)=_.)=_.()()aa+aa+b-(-(a)(-(-a)a-b2.2.向量共线的条件向量共线的条件向量向量a(a0)与与b共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使使_._.3.3.向量的线性运算向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对对于任意向量于任意向量a，b以及任意实数以及任意实数，1 1，2 2，恒有，恒有(1 1a2 2b)=_.)=_.b=a1 1a2 2b【即时小测即时小测】1.1.若点若点C C是线段是线段ABAB的中点，则下列结论不正确的是的中点，则下列结论不

3、正确的是()【解析解析】选选A.A.，故，故A A错误错误.1A.AB2BC B.ACAB21C.BA2BC D.ACBA2 AB2BC 2.2.存在两个非零向量存在两个非零向量a，b满足满足b=-3=-3a，则有，则有()A.A.a与与b方向相同方向相同 B.B.a与与b方向相反方向相反C.|C.|a|=|3|=|3b|D.|D.|a|=|=|b|【解析解析】选选B.B.因为因为-30-300时，时，a与与a的方向相同，当的方向相同，当01|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的的有向线段在原方向有向线段在原方向(1)(1)或反方向或反方向(-1)(-1)上伸长到上

4、伸长到a的的倍；倍；当当0|10|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向线段在原方向的有向线段在原方向(01)(01)或反方向或反方向(-10)(-10)上缩上缩短到短到a的的倍倍.特别提醒：零与向量的乘积是零向量而不是实数零特别提醒：零与向量的乘积是零向量而不是实数零.探究点探究点2 2向量共线向量共线1.1.由数乘的定义知，向量由数乘的定义知，向量a，2 2a和和-3-3a是共线向量，向是共线向量，向量量a和和a(R)(R)共线吗？共线吗？提示：提示：共线共线.2.2.若若b=a(a0)，b与与a共线吗？共线吗？提示：提示：共线共线.3.3.若若b与非零向量与

5、非零向量a共线，是否存在实数共线，是否存在实数满足满足b=a？若若b与向量与向量a共线，是否存在实数共线，是否存在实数满足满足b=a？提示：提示：若若b与非零向量与非零向量a共线，存在共线，存在满足满足b=a；若；若b与向量与向量a共线，当共线，当a=0，b0时，不存在时，不存在满足满足b=a.【归纳总结归纳总结】1.1.对向量共线的条件的说明对向量共线的条件的说明(1)(1)在向量共线的条件中之所以限定在向量共线的条件中之所以限定a0，是由于若，是由于若a=b=0，虽然，虽然仍然存在，可是仍然存在，可是不唯一不唯一.(2)(2)根据向量共线的条件，对于非零向量根据向量共线的条件，对于非零向量

6、a，b，确定实，确定实数数，使，使b=a时，分两点：确定符号，时，分两点：确定符号，a与与b同向同向时，时，为正；为正；a与与b反向时，反向时，为负；确定为负；确定的绝对的绝对值，值，=.=.|ba2.2.向量共线条件的两个应用向量共线条件的两个应用(1)(1)对于向量对于向量a(a0)与与b，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得b=a，那么由向量数乘的定义知，向量，那么由向量数乘的定义知，向量a与与b是共线是共线的的.(2)(2)向量向量a(a0)与与b共线，若向量共线，若向量b的长度是的长度是a的长度的长度的的倍，倍，|b|=|=|a|，那么，当，那么，当a与与b同向时，有同向时，有

7、b=a；当当a与与b反向时，有反向时，有b=-=-a；当；当b=0时，则时，则=0=0，总之，总之都可以表示成都可以表示成b=a(其中其中唯一确定唯一确定).).类型一类型一向量的线性运算向量的线性运算【典例典例】1.1.若若3 3x-2(-2(x-a)=)=0，则，则x=(=()A.2A.2a B.-2 B.-2a C.C.a D.-D.-a2.2.计算：计算：(1)8(1)8(a+c)+7()+7(a-c)-)-c=_.=_.(2)(2)(a+9+9b-2-2c)+()+(b+2+2c)=_.)=_.3.3.已知两个不共线的向量已知两个不共线的向量a，b，如图所示：如图所示：(1)(1)在

8、图中求作向量在图中求作向量2 2a+b.(2)(2)在图中求作向量在图中求作向量2 2b-a.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中解关于向量中解关于向量x x的方程时，的方程时，“移移项项”“”“去括号去括号”“”“合并同类项合并同类项”“”“系数化为系数化为1”1”等是否等是否适用？适用？提示：提示：由相反向量及向量线性运算的运算律可知解关由相反向量及向量线性运算的运算律可知解关于向量于向量x x的方程时的方程时“移项移项”“”“去括号去括号”“”“合并同类合并同类项项”“”“系数化为系数化为1”1”等方法仍然适用等方法仍然适用.2.2.典例典例2 2中向量线性运算与多项式的运算有何

9、联系？中向量线性运算与多项式的运算有何联系？提示：提示：向量线性运算与多项式的运算从形式上看是一向量线性运算与多项式的运算从形式上看是一样的，可把不同的向量看作不同的项样的，可把不同的向量看作不同的项.3.3.作向量作向量2 2a+b和向量和向量2 2b-a的步骤分别是什么？的步骤分别是什么？提示：提示：(1)(1)先根据数乘向量的几何意义作向量先根据数乘向量的几何意义作向量2 2a，再根，再根据向量加法的三角形法则作向量据向量加法的三角形法则作向量2 2a+b.(2)(2)先根据数乘向量的几何意义作向量先根据数乘向量的几何意义作向量2 2b，再根据向量，再根据向量加法的三角形法则作向量加法的

10、三角形法则作向量2 2b-a.【解析解析】1.1.选选B.B.由由3 3x-2(-2(x-a)=)=0，得，得3 3x-2-2x+2+2a=0，3 3x-2 2x=-2=-2a，所以，所以x=-2=-2a.2.(1)2.(1)原式原式=8=8a+8+8c+7+7a-7-7c-c=(8+7)=(8+7)a+(8-7-1)+(8-7-1)c=15=15a.(2)(2)原式原式=a+9+9b-2-2c+b+2+2c=a+(9+1)+(9+1)b+(-2+2)+(-2+2)c=a+10+10b.答案答案：(1)15(1)15a(2)(2)a+10+10b 3.3.(1)(1)图图1 1中向量中向量 表

11、示表示2 2a+b.(2).(2)图图2 2中向量中向量 表示表示2 2b-a.OB AB【方法技巧方法技巧】向量线性运算的基本方法向量线性运算的基本方法(1)(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算运算.例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的但是在这里的“同类项同类项”“”“公因式公因式”指向量，实数看指向量，实数看作是向量的系数作是向量的系数.(2)(2)方程方法：向量也可以通

12、过列方程来解，把所求向方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【拓展延伸拓展延伸】向量线性运算的技巧向量线性运算的技巧(1)(1)不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行进行.(2)(2)在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法法(减法减法)找到向量间的关系，再利用数乘向量的运算找到向量间的关系，再利用数乘

13、向量的运算进行化简进行化简.(3)(3)具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行.【变式训练变式训练】1.1.已知菱形已知菱形OACBOACB的两邻边的两邻边 =a，=b，其对角线交点为，其对角线交点为D D，则，则 等于等于()A.A.a+b B.B.b+aC.(C.(a+b)D.D.a+bOAOB OD 121212【解析解析】选选C.C.作出图形，作出图形，=a+b，所以所以 (a+b).).OAOBOC 1OD2 2.2.化简下列各式：化简下列各式：(1)2(3(1)2(3a-2-2b)+3()+3(a+5+5b)-5(4)-5(4b-a

14、).).(2)(2)(a+2+2b)+3)+3a-(6-(6a-12-12b).).(3)2(5(3)2(5a-4-4b+c)-3()-3(a-3-3b+c)-7)-7a.1413【解析解析】(1)(1)原式原式=6=6a-4-4b+3+3a+15+15b-20-20b+5+5a=14=14a-9-9b.(2)(2)原式原式=a+b+a-a+b=a+b.(3)(3)原式原式=10=10a-8-8b+2+2c-3-3a+9+9b-3-3c-7-7a=b-c.141234121232类型二类型二向量共线的条件的应用向量共线的条件的应用【典例典例】1.(20161.(2016武汉高一检测武汉高一检测

15、)已知已知A A，B B，P P三点三点共线，共线，O O为直线外任意一点，若为直线外任意一点，若 则则x+y=_.x+y=_.OPxOAyOB 2.2.设两个向量设两个向量a与与b不共线，若不共线，若 =a+b，=2=2a+8+8b，=3(=3(a-b)，求证：，求证：A A，B B，D D三点共线三点共线.AB BC CD【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中A A，B B，P P三点共线，得到三点共线，得到 有怎样的关系？有怎样的关系？提示：提示：因为因为A A，B B，P P三点共线，所以存在实数三点共线，所以存在实数使得使得ABAP ，APAB.2.2.典例典例2 2中判断三

16、点中判断三点A A，B B，D D共线的关键是什么？共线的关键是什么？提示：提示：欲证三点欲证三点A A，B B，D D共线，关键是证存在实数共线，关键是证存在实数，使使 ，只要根据已知条件找出，只要根据已知条件找出即可即可.ABBD 【解析解析】1.1.由于由于A A，B B，P P三点共线，所以向量三点共线，所以向量 ，在同一条直线上，由向量共线的条件可知，必定存在同一条直线上，由向量共线的条件可知，必定存在实数在实数使使 即即 所以所以 故故x=1-x=1-，y=y=，即，即x+y=1.x+y=1.答案：答案：1 1ABAP ，APAB ，OPOA(OBOA),OP(1)OAOB ，2.

17、2.因为因为 =a+b，=2=2a+8+8b，=3(=3(a-b)，所以所以 =2=2a+8+8b+3(+3(a-b)=2=2a+8+8b+3+3a-3-3b=5(=5(a+b)=5 .)=5 .所以所以 共线，又因为它们有公共点共线，又因为它们有公共点B B，所以，所以A A，B B，D D三点共线三点共线.AB BC CD BDBCCD AB ABBD ，【延伸探究延伸探究】若典例若典例2 2中中 =a+b，其他条件不变，其他条件不变，且且A A，B B，D D共线，试求共线，试求的值的值.BC【解析解析】因为因为=a+b+3(+3(a-b)=4)=4a+(-3)+(-3)b，因为因为A

18、A，B B，D D三点共线，三点共线，所以存在实数所以存在实数，使得，使得 所以所以4 4a+(+(-3-3)b=(a+b)，又因为又因为a，b是不共线的两个向量，是不共线的两个向量，所以所以 所以所以=7.=7.BDBCCD BDAB ，43 ，【方法技巧方法技巧】用向量共线的条件证明两直线平行或重用向量共线的条件证明两直线平行或重合的思路合的思路(1)(1)若若b=a(a0)，且，且b与与a所在的直线无公共点，则所在的直线无公共点，则这两条直线平行这两条直线平行.(2)(2)若若b=a(a0)，且，且b与与a所在的直线有公共点，所在的直线有公共点，则这两条直线重合则这两条直线重合.例如，若

19、例如，若 ，则，则 与与 共共线，又线，又 与与 有公共点有公共点A A，从而，从而A A，B B，C C三点共线，三点共线，这是证明三点共线的重要方法这是证明三点共线的重要方法.ABAC AB AC AB AC【拓展延伸拓展延伸】用向量共线的条件求参数的方法用向量共线的条件求参数的方法(1)(1)三点三点A A，B B，C C共线问题：利用共线问题：利用 =构造方程求构造方程求参数参数.(2)(2)已知向量已知向量m ma+n+nb与与k ka+p+pb(a与与b不共线不共线)共线求参数共线求参数值的步骤值的步骤设：设：m ma+n+nb=(k=(ka+p+pb)；AB AC 整：整理得整：

20、整理得(m-k)(m-k)a=(p-n)=(p-n)b，故，故 解：解方程组得参数值解：解方程组得参数值.mknp.，【变式训练变式训练】(2015(2015全国卷全国卷)设向量设向量a，b不平行，不平行，向量向量a+b与与a+2+2b平行，则实数平行，则实数=_.=_.【解题指南解题指南】由向量由向量a+b与与a+2+2b平行，得到平行，得到a+b=k(=k(a+2+2b)，利用向量相等求解，利用向量相等求解.【解析解析】因为向量因为向量a+b与与a+2+2b平行，平行，所以所以a+b=k(=k(a+2+2b)，则，则 所以所以=答案：答案：k12k，1212【补偿训练补偿训练】1.1.设设

21、a，b是两个不共线向量，已知是两个不共线向量，已知 =2=2a+m+mb，=a+3+3b，若，若A A，B B，C C三点共线，求三点共线，求m m的值的值.【解题指南解题指南】由于由于A A，B B，C C三点共线，则两向量三点共线，则两向量 共线，根据向量共线的条件可得，一定存在一共线，根据向量共线的条件可得，一定存在一个实数个实数使得使得 ，利用向量相等求，利用向量相等求m m的值的值.AB CB ABCB ，ABCB 【解析解析】因为因为A A，B B，C C三点共线，所以三点共线，所以 共线，共线，即即 ，所以，所以2 2a+m+mb=(=(a+3+3b)，故，故=2=2，m=3m=

22、3，解得解得m=6.m=6.ABCB ，ABCB 2.2.已知已知e1 1，e2 2是不共线向量，是不共线向量，a=3=3e1 1+4+4e2 2，b=6=6e1 1-8-8e2 2，则则a与与b是否共线？是否共线？【解析解析】若若a与与b共线，则存在共线，则存在RR，使使a=b，即，即3 3e1 1+4+4e2 2=(6=(6e1 1-8-8e2 2)，所以所以(3-6)(3-6)e1 1+(4+8)+(4+8)e2 2=0.因为因为e1 1，e2 2不共线，所以不共线，所以 所以所以不存在，不存在，所以所以a与与b不共线不共线.360480 ，3.3.已知非零向量已知非零向量e1 1，e2

23、 2是共线向量，是共线向量，a=3=3e1 1+4+4e2 2，b=6=6e1 1-8-8e2 2，则，则a与与b是否共线？是否共线？【解析解析】因为因为e1 1，e2 2共线，共线，所以存在所以存在RR，使，使e1 1=e2 2，所以所以a=3=3e1 1+4+4e2 2=(3+4)=(3+4)e2 2，b=6=6e1 1-8-8e2 2=(6-8)=(6-8)e2 2，当当-时时，a=b，a，b共线共线.当当=-=-时时，a=0，a，b也共线也共线.综上所述综上所述，e1 1与与e2 2共线时共线时，a，b也共线也共线.43433468类型三类型三用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向

24、量【典例典例】1.1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是一个梯形，是一个梯形，且且|=2|=2|，M M，N N分别是分别是DCDC，ABAB的中点，已知的中点，已知 =e1 1，=e2 2，试用，试用e1 1，e2 2表示下列向量表示下列向量.(1)=_.(1)=_.(2)=_.(2)=_.AB CD AB CD AB AD AC MN 2.2.如图所示，四边形如图所示，四边形OADBOADB是以向量是以向量 =a，=b为邻为邻边的平行四边形边的平行四边形.又又 试用试用a，b表示表示 OAOB 11BMBCCNCD33，OM ON MN.，【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1

25、中向量中向量 有什么关系？表有什么关系？表示示 时可以用向量加法的哪种运算法则？时可以用向量加法的哪种运算法则？提示：提示：表示表示 时可以用向量加法的时可以用向量加法的“多边多边形法则形法则”，即，即DCAB 与MN MN 1DCAB2 ，MNMDDAAN.2.2.典例典例2 2中利用已知条件可以找到哪些关于所求向量和中利用已知条件可以找到哪些关于所求向量和已知向量的等量关系已知向量的等量关系.提示：提示：1BM(OAOB)OMOBBM,ONOCCN.6 ，【解析解析】1.(1)1.(1)因为因为ABCD AB2 CD ，211AB2DC DCAB21ACADDC.2 所以，所以ee答案：答

26、案：(1)(1)e2 2+e1 1(2)(2)e1 1-e2 2 12112112 MNMDDAANDCADAB22111.424 eeeee12142.2.所以所以 =b+a-b=a+b.因为因为所以所以=()=(=()=(a+b)，=(=(a+b)-)-a-b=a-b.1111BMBCBA(OAOB)()3666 ，abOMOBBM 1616165611CNCDOD36 ，112ONOCCNODODOD263 OAOB 232323MNONOM 16561612【延伸探究延伸探究】1.1.在典例在典例2 2条件中，试用条件中，试用a，b表示表示 CM.【解析解析】方法一方法一：又又 =(=

27、(a+b)，=a+b，所以所以 =a+b-a-b=-=-a+b.方法二：因为方法二：因为所以所以 =(=(b-a)=-)=-a+b.CMOMOC.OC OM 121656CM1656121213131BMBC3，21CMCBAB33 1313132.2.典例典例2 2中，若中，若 =a，=b，其他条件不变，试用，其他条件不变，试用a，b表示表示 .【解析解析】AB OD MN 12MNCNCMCDCB33 1111ODAB.6363 ab【方法技巧方法技巧】用已知向量表示其他向量的两种方法用已知向量表示其他向量的两种方法(1)(1)直接法直接法(2)(2)方程法方程法当直接表示比较困难时，可以

28、首先利用三角形法则和当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程关系，然后解关于所求向量的方程.易错警示：解答典例易错警示：解答典例1 1，2 2时，容易因搞不清向量之间时，容易因搞不清向量之间的数量关系而致误的数量关系而致误.【补偿训练补偿训练】1.1.如图，设如图，设ABCABC的重心为的重心为G G，O O是是ABCABC所在平面内的一点，且所在平面内的一点，且 =a，=b，=c，则，则=_.=_.OAOB OC OG【解题指南解题指南】由由OGOG是是OGAOGA

29、的一条边，所以的一条边，所以 因此，只要能求得向量因此，只要能求得向量 即可即可.又因为又因为G G为为ABCABC的重的重心，所以心，所以 ，只要能求得向量，只要能求得向量 即可即可.OGOAGA.2GAMA3 GAMA【解析解析】易知，易知，所以所以又因为又因为所以所以故故答案：答案：11OM(OBOC)(),22 bc1MAOAOM()2 ，abc2|GA|MA|3，221GAMA()332，abc21111OGOAGA().32333aabcabc111333abc2.2.如图所示，已知如图所示，已知 ABCDABCD的边的边BCBC，CDCD的中点分别为的中点分别为K K，L L，且

30、，且 =e1 1，=e2 2，试用，试用e1 1，e2 2表示表示 AKAL BCCD.，【解析解析】111BCBKAB22 设，则，xxex112211111DLDCAB.222411ADDLAL244233 由得，解方程得，exxexexee21112111242BC.331CDABAB211 4242CD().22 3333 即由，得eeexxeeeeee自我纠错自我纠错向量共线定理的应用向量共线定理的应用【典例典例】(2016(2016临沂高一检测临沂高一检测)若若|=2|=2|，且且 =，则，则=.AB BC AB BC【失误案例失误案例】分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案.提示：提示：错误的根本原因在于漏掉了两个向量方向相反错误的根本原因在于漏掉了两个向量方向相反的情况，造成错解的情况，造成错解.正确解答过程如下：正确解答过程如下：【解析解析】(1)(1)当点当点C C在线段的延长线上时，如图在线段的延长线上时，如图.则则 =2 =2 ，则，则=2.=2.AB BC(2)(2)当点当点C C在线段上时，如图在线段上时，如图.则则 =-2 =-2 ，即，即=-2.=-2.综上，综上，=2.2.答案：答案：2 2 AB BC