《高等数学教学》课用课件.ppt

1、第三节 分部积分法问题:?xxe dx cos?xxdx cos?xexdx arcsin?xdx 解决思路:利用两个函数乘积法则,推得另一个基本方法分部积分法.特点:被积函数为两个函数的乘积或单一函数.的求导求积分的编辑ppt1利用两个函数乘积得(),uvu vuvuvuv dxudv分部积分公式vdu()uu x设具有连续导数.dvuv()vv x及上式两边求不定积分,u有,u v()uv,u vdx()uv dx.vduuv的求导公式,得编辑ppt2.udvuvvdu分部积分公式不定积分不易计算,而不定积分易于计算,计算大为简化.注:udvvdu则可采用分部积分公式,使编辑ppt3例1求

2、解.udvuvvduudvcos.xxdx利用分部积分公式cosxxdxsinxxsin xdxsinxxsi()ndxxu dvcos.xC编辑ppt4如 例1 的积分求解过程中,若取则积分难以进行.若选择不当,u dvcosxxdx在分部积分中,udv2cos2xxu dv2(cos).2xdx2cos2xxd显然无法求解.编辑ppt5的原则:,u dv在分部积分中,注:分部积分法的函数乘积的积分常用于()().f x g x dx1)v 要容易求得;2)vdu要比udv容易积出.选取.udvuvvdu是基本积分法之一,是两种不同类型被积函数编辑ppt6例2求解.udvuvvduudv.x

3、xe dx利用分部积分公式xxe dxxxexe dxxxe(1).xxeCxxdeu dv.xeC编辑ppt7例3求解.udvuvvdu2.xx e dx利用分部积分公式2xx e dx2xx exe2xx e2x2xx e2xxe dx2(1)xxeC2(22).xexxC(例2)2dxxe2xdxxde2xx e编辑ppt8例4求解ln.xxdxlnxxdx2ln2xxln x2ln2xx212x212x2ln2xx21.4xCx22dx(ln)dx1dxx编辑ppt9例5 求解arccos.xdxarccosxdxarccosxxarccosxxx(x(直接分部积分)arccosxx2

4、2(1)1dxxarccosxx21.xCdxx2 xCudv12(arccos)dx21)1dxx21xdxx编辑ppt10注:或反三角函数,被积函数是单一的对数函数则直接进行分部积分.(1)ln.xdxudv(2)arctan.xdx(3)arcsin xdxarccos.xdx或编辑ppt11例6求解arctan.xxdxarctanxxdx21arctan2xx21arctan2xx212x22.1xdxxarctan x12(arctan)dx212dx编辑ppt12arctanxxdx22211arctan22 1xxxdxx21arctan2xx分子和分母的次数相同12x21ar

5、ctan2xx1arctan2xC解11 122111dxx211(1)arctan.22xxxC编辑ppt13例7求解sin.xexdxsinxexdxsin x(第二次)dv(第一次)dvsinxexsinxexsinxexsinxex相同)(dvxecosxexxexecosxxdesindxcosxdxxde.cosdx编辑ppt14sinxexdxsincoscosxxxexexe dx循环,sinxex合并同类项,得1(sincos2.)xexxC被积函数为指数与三角函数的乘积解xecosxexsinxexdxsin xdx编辑ppt15在接连几次应用分部积分公式时,的应注意前后几

6、次所选的dv应为相同注:或同类型的函数.编辑ppt16例10求解,xt.xedx令xedx2(1)tteCte2,xt则2.dxtdt于是21.xexC(例2)(还原)(带根式)2tte dt2tdt编辑ppt17作业作业(P212)习题 43 4,5,9,13,15,17,18,19,21,编辑ppt18补例1则求解依题意,().xfx dx是设cosxx()f x的一个原函数,cos()xx()xfx dx()xdf x()x f x()f x dxxcosxCxcossin2.xxCx 2sincosxxxxx(),f xcos()xx编辑ppt19例8求解3sec.xdx3sec xd

7、xsecxsec tanxxsec tanxxsec tanxxsec tanxxtan xtan xsecx3(secsec).xx dxtandx()secdx2sec tanxxsec tanxxdx2(sec1)xdx编辑ppt20例8求解3sec.xdx3sec xdxsec tanxxsec tanxx3sec xdx循环,合并同类项,得3sec xdx 3sec tan(secsec).xxxx dx1sectanln sectan.2xxxxCsecxdx3sec xdxln sectanxx编辑ppt21例9求解22d.()nnxIxa当1n 时,用分部积分法,22()dnn

8、Ixax22()nx xa22d()nxxa22()nx xa221()2nn x xaxdx 22()nx xa22212().nn xxadx 编辑ppt22例9求解22.()nndxIxa22()nnxIxa2222212()nxaandxxa22()nxxa2nnI212.nna I得递推公式12221(21).2()nnnxInInaxa编辑ppt23例9求解22.()nndxIxa22()nnxIxa2222212()nxaandxxa22()nxxa2nnI212.nna I得递推公式12221(21).2()nnnxInInaxa122211(21).2()nnnxInInax

9、a编辑ppt24例9求22.()nndxIxa得递推公式122211(21).2()nnnxInInaxa122 1()dxIxa如此作递推公式,由1arctan,xCaa即可得.nI编辑ppt25分部积分法小结类型:被积函数指数函数(1)naxx e dxc1().osndxbxb(3)cosnxbxdx1.axndeax(2)sinnxbxdxsi1n().nxbxbd和是幂函数或三角函数的乘积.编辑ppt26类型:对数函数被积函数(1)lnnxxdx11ln.1nxdxn11arctan.1nxdxn(2)arctannxxdx11arcsin.1nxdxn(3)arcsinnxxdx和

10、是幂函数或反三角函数的乘积.编辑ppt27特殊:反三角函数,被积函数则直接进行分部积分.(1)ln.xdxudv(2)arctan.xdx(3)arcsin,xdxarccos.xdx或或是单一的对数函数编辑ppt28;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf 常见类型常见类型:编辑ppt29你能熟练计算以下积分吗？你能熟练计算以下积分吗？xdxsin xdx2sin xdx3sin xdx4sin xdx5sin xdxsin xdx2sin xdx3sin xdx4sin xdx5sin编辑ppt30