苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程知识点清单.docx

1、苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程知识点清单目录第二章圆与方程2. 1 圆的方程2. 2 直线与圆的位置关系2. 3圆与圆的位置关系 第 10 页 共 10 页第二章圆与方程2. 1 圆的方程一、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是半径. 二、圆的方程1. 圆的标准方程方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. 特别地，当a=b=0时，方程为x2+y2=r2(r0)，表示以原点为圆心，r为半径的圆. 2. 圆的一般方程 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)叫作圆的

2、一般方程，化为标准形式为x+D22+y+E22=D2+E24F4，表示以点D2，E2为圆心， D2+E24F2为半径的圆. 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点D2，E2；当D2+E2-4F0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，设所给点为M(x0，y0)，则点与圆的位置关系如下表：位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MC=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2(或x02+y02+Dx0+Ey0+F=0)点在圆内MCr(x0-a)2+(y0-b)2r2(或x02+y02+Dx0+Ey0+Fr(x0-a)2+(y0-b)2r2(或x02+y02+Dx0+Ey0+

3、F0)四、圆的方程的求解1. 直接代入法确定圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程即可，确定圆心坐标和半径的方法：(1)利用条件确定圆心C(a，b)及半径r. (2)利用几何性质确定圆心C(a，b)及半径r，常用的几何性质如下：圆心与切点的连线垂直于圆的切线；圆心到切线的距离等于圆的半径r；圆的半径r，弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；已知圆心所在的直线l及圆上两点，则此两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l的交点为圆心. 2. 待定系数法(1)根据题意，设出所求圆的标准方程或一般方程；(2)根据已知条件，建立关于参数的方程组；(3)解方程组

4、，求出参数的值；(4)将参数代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程. 五、与圆有关的轨迹问题1. 求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：根据已知条件，先抽象出动点间的几何关系，再利用解析几何的有关公式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式. (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，则可先设方程，再确定其中的基本量，进而求出动点的轨迹方程. (3)相关点法：有些问题中，动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根

5、据相关点坐标所满足的条件即可求得动点的轨迹方程. 六、求与圆的方程有关的实际问题1. 建立平面直角坐标系的一般原则(1)原点取在某一定点处，坐标轴为某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴；(2)尽量充分利用图形的对称性；(3)设出各点的坐标，使未知参数尽量少. 2. 用坐标法解决与圆的方程有关的实际问题的步骤（1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据（2）建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的左边及已知条件，求出几何模型的方程（3）求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解（4）还原：将运算结果还原为对实际问题的解释2. 2 直线与圆的位置关系一、直线与圆的

6、位置关系1. 设直线l和圆M的方程分别为Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0. 如果直线l与圆M有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆M的公共点. 2. 直线l与圆M的方程联立，得方程组Ax+By+C=0， x2+y2+Dx+Ey+F=0，有如下结论：方程组解的情况无解仅有一组解有两组不同的解直线与圆公共点的情况没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点直线与圆的位置关系相离相切相交二、直线与圆的位置关系的判断1. 代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有两组不同的实数解

7、，即0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即0，则直线与圆相离. 2. 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当dr时，直线与圆相离. 3. 定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交. 该法有一定的局限性，若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论. 三、倾过点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法1. 过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)直接法：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为-1k (k0)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y-y0=-1k (x-x0). 如果切点与圆心连线的斜

8、率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0. (2)待定系数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程. 注意此时切点与圆心的纵坐标不相等. 注：过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论：若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r0)上，则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2；若点P(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上，则过点P的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)上，则过点P的切线方程为

9、x0x+y0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0. 2. 过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法通常用待定系数法，其求法同1中的待定系数法. 当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条. 一般不用联立方程的方法求解k. 四、切线长的求法过圆外一点P，可作圆的两条切线，我们把点P与切点所连线段的长称为切线长. 切线长可由勾股定理来计算. 如图，从圆外一点P(x0，y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的切线，则切线长为(x0a)2+(y0b)2r2. 五、弦长与中点弦问题1. 直线与圆相交时弦长的两种求

10、法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB的长，则有AB22+d2=r2，则AB=2. 图1 图2(2)代数法：如图2所示，设直线l与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线与圆的方程联立，消元，结合根与系数的关系，得AB=(x1x2)2+(y1y2)2=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 2. 中点弦问题若线段AB是圆C(a，b)的弦，D是弦AB的中点，则ABCD，若斜率kAB，kCD都存在，则kABkCD=-1；点差法：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则

11、x0=x1+x22，y0=y1+y22，将A，B坐标分别代入圆C的方程，利用作差法得到y2y1x2x1=-x1+x22ay1+y22b=-2x02a2y02b，利用D点坐标求出直线AB的斜率. 六、与圆有关的最值问题利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的有：关于x，y的一次分式形式常转化为直线的斜率；关于x，y的一次式常转化为直线的截距；关于x，y的二次式常转化为两点间的距离等. (2)将待求式转化成函数解析式，利用函数的性质解决. (3)利用三角代换，若点P(x，y

12、)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上，则设x=a+rcos，y=b+rsin (为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最大(小)值. 2. 3圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系及其判断1. 代数法：设两圆的方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F10)，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F20)，联立得方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0，消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式的值，按下列表中的标准进行判断. 2. 几何法

13、：设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，按下列表中的标准进行判断. 位置关系外离外切相交内切内含图示公共点个数01210的值0=0r1+r2d=r1+r2|r1-r2|dr1+r2d=|r1-r2|d0)，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F20). 由x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0， ，-，得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程，也适合方程，因此方程就是经过两圆交点的直线方程. 故当两圆相交时，(D1-D2)x+(E1-E2

14、)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程. 当两圆外离时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程. 当两圆相切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. 若两圆是等圆，则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程. 2. 两圆公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：用几何法解两圆的公共弦问题的步骤将两圆的方程作差，求出公共弦所在直线的方程；求出其中一个圆的圆心到公

15、共弦的距离；利用勾股定理求出公共弦长. 3. 求经过两圆交点的圆的方程的方法一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F10)与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F20)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(R，-1)，再由其他条件求出即得圆的方程. 五、解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.