苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程知识点清单.docx

1、苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程知识点清单目录第三章圆锥曲线与方程3. 1 椭圆3. 2 双曲线3. 3 抛物线 第 1 页 共 17 页第三章圆锥曲线与方程3. 1 椭圆3. 1. 1椭圆的标准方程一、椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 二、椭圆的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)焦点F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)a，b，c的关

2、系a2=b2+c2三、点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的位置关系：(1)点P在椭圆上x02a2+y02b2=1；(2)点P在椭圆内部x02a2+y02b21. 第 17 页 共 17 页四、直线与椭圆的位置关系1. 直线与椭圆位置关系的判断一般地，联立直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的方程，得Ax+By+C=0，x2a2+y2b2=1， 整理，得到一个关于x(或y)的一元二次方程. 位置关系的取值交点的个数相交02相切=01相离b0). 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为y2a2+x2b2=

3、1(ab0). 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2+ny2=1(m0，n0，mn). 六、椭圆中焦点三角形问题1. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角形. 关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识求解. 2. 焦点三角形的常用结论：焦点三角形的周长L=2a+2c. 在PF1F2中，由余弦定理可知F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cosF1PF2. 设P(xP，yP)，则焦点三角形F1PF2的面积为c|yP|=12PF1PF2sinF1PF2=b2tan

4、F1PF22. 七、直线与椭圆的相交弦问题1. 求相交弦的长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点的坐标，用两点间的距离公式求弦长. (2)联立直线与椭圆的方程，消元，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，设两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据弦长公式AB=1+k2|x1-x2|或AB=1+1k2|y1y2|(k0)，结合根与系数的关系求弦长. 2. 与椭圆中点弦有关的三种题型及解法(1)利用根与系数的关系求中点坐标：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去x(或y)得到一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)利用点差法求直线斜率或方程：利用弦

5、的端点在椭圆上，端点坐标满足椭圆方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，得到中点坐标和直线斜率的关系，即若椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，且弦AB的中点为M(x，y)，则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1， -，整理得a2(y12-y22)+b2(x12-x22)=0，所以y1y2x1x2=-b2a2x1+x2y1+y2=-b2a2xy. 这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题得以解决. (3)利用共线法求直线方程：设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与直线AB的一个交点为A(x

6、，y)，另一个交点为B，如果弦AB的中点为P(x0，y0)，那么利用中点坐标公式可得B(2x0-x，2y0-y)，则有x2a2+y2b2=1， (2x0x)2a2+(2y0y)2b2=1，两式作差即可得所求直线的方程. 其中点差法是解决中点弦问题最常用的方法，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题. 3. 1. 2椭圆的几何性质一、椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)范围-axa，-byb-bxb，-aya对称性对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点顶点A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b

7、)，B2(0，b)A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0)轴长长轴长为2a，短轴长为2b离心率e=ca (0eb0)有相同离心率的椭圆的方程为x2a2+y2b2=k1(k10，ab0)或y2a2+x2b2=k2(k20，ab0). (2)与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)有相同焦点的椭圆的方程为x2a2k+y2b2k=1(kb2a2). 三、椭圆离心率的求解1. 求椭圆离心率的两种方法(1)若已知a，c，则可直接利用e=ca求解；若已知a，b(或b，c)，可由a2=b2+c2求出c(或a)，再代入e=ca求解；(2)若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的

8、关系式，由a2=b2+c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，然后两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，解得e的值或范围，最后结合0e0，b0)y2a2-x2b2=1(a0，b0)焦点F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2=a2+b2三、双曲线标准方程的求解1. 求双曲线标准方程的步骤(1)定位：即确定焦点的位置，若焦点位置不明确，需要分情况讨论；(2)定量：即确定a2，b2的值，常由条件列方程或方程组求解. 2. 求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法：根据定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点坐标确定c的值和焦点位置，通

9、过b2=c2-a2，求得b2，写出标准方程. (2)待定系数法：先设出标准方程，再根据条件求出待定系数，代入方程即可. 若焦点在x轴上，则其方程可设为x2a2-y2b2=1(a0，b0)；若焦点在y轴上，则其方程可设为y2a2-x2b2=1(a0，b0)；若焦点的位置不确定，则方程可设为mx2-ny2=1(mn0)或mx2+ny2=1(mn0，b0). 把代入，消去y并整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0，即k=ba时，直线与双曲线C相交于一点. (2)当b2-a2k20，即kba时，=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2

10、m2-a2b2)，则0直线与双曲线有两个公共点；=0直线与双曲线有一个公共点；0，b0)y2a2-x2b2=1(a0，b0)图形几何性质范围x-a或xay-a或ya对称性关于x轴、y轴、原点对称中心O(0，0)顶点A1(-a，0)，A2(a，0)A1(0，-a)，A2(0，a)轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，长度为2a，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，长度为2b渐近线直线y=bax直线y=abx离心率e=ca，e(1，+)1. 双曲线的通径：过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为2b2a. 2. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是b. 3. 双曲线x2a2-

11、y2b2=1(a0，b0)右支上任意一点M到左焦点距离的最小值为a+c；到右焦点距离的最小值为c-a. 4. 焦半径：双曲线上一点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作双曲线的焦半径，记r1=PF1，r2=PF2. (1)对于x2a2-y2b2=1(a0，b0)，若点P在右支上，则r1=ex0+a，r2=ex0-a；若点P在左支上，则r1=-ex0-a，r2=-ex0+a. (2)对于y2a2-x2b2=1(a0，b0)，若点P在上支上，则r1=ey0+a，r2=ey0-a；若点P在下支上，则r1=-ey0-a，r2=-ey0+a. 二、两类特殊的双曲线等轴双

12、曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线性质：渐近线方程为y=x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；a=b，离心率e=2共轭双曲线定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1三、双曲线的几何性质及其应用1. 由双曲线的方程研究其几何性质的步骤(1)将双曲线的方程化为标准方程；(2)根据标准方程确定焦点的位置，求出a，b的值；(3)由c2=a2+b2求出c的值，进而写出双曲线的几何性质. 2. 根据双曲线的几何性质求其标准方程(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方

13、程，一般用待定系数法. 当双曲线的焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy=0，那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m0，A0，B0). 与双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=(0，1，a0，b0). 与双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率相等的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=(0，a0，b0)或y2a2-x2b2=(0，a0，b0)，要注意由离心率不能确定焦点位置. 与椭圆x2a2+y2b2=1(

14、ab0)共焦点的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=1(b20，b0)为例）：(1)渐近线的斜率ba与离心率的关系： ba=e21，e=1+ba2. (2)已知渐近线方程为y=mx(m0)求离心率时，若焦点的位置不确定，则双曲线的离心率有两种可能. (3)求双曲线离心率的方法公式法：直接求出a，c或找出a，b，c之间任意两个的关系，代入公式e=ca=1+ba2计算. 构造法：根据已知条件，结合c2=a2+b2，构造关于a，c的方程(不等式)，两边同时除以a的最高次幂，转化为关于e的关系式，再结合e(1，+)得出结果. 求解范围时，注意利用图形中的不等关系(如三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点

15、的距离的范围等). 特例法：通过特殊值或特殊位置求解. 在焦点三角形F1PF2(P是双曲线上一点)中，设F1PF2=，PF1F2=，PF2F1=，则e=ca=F1F2|PF1PF2|=sin|sinsin|. 3. 3 抛物线3. 3. 1抛物线的标准方程一、抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线. 二、 抛物线的标准方程标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形焦点坐标p2，0 p2，0 0，p2 0，p2 准线方程x=-p2x=p2y=-

16、p2y=p2开口方向向右向左向上向下(1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即2p4=p2. (3)抛物线的开口与x轴(或y轴)的正半轴方向相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，标准方程的右端系数为正；开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相反，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，标准方程的右端系数为负. 三、抛物线的标准方程的求解1. 定义法：根据抛物线的定义确定p的值，再结合焦点位置求出抛物线的方程. 2. 待定系数法若焦点位置不明确，一般需分四种情况讨论，若焦点在x轴上，可设其方程为y2

17、=mx(m0)，若焦点在y轴上，可设其方程为x2=my(m0). 四、抛物线定义的应用1. 判断轨迹问题用抛物线的定义可以判断与定点、定直线的距离有关的动点的轨迹是不是抛物线. 2. 实现距离转化利用抛物线的定义可以实现抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离的等价转化. “看到准线想焦点，看到焦点想准线”是解决抛物线距离问题的有效途径. 3. 解决最值问题求解抛物线上一点P到焦点F的距离和到已知点M(M在抛物线内部)的距离之和的最小值问题，通常利用抛物线的定义将点P到F的距离转化为点P到准线的距离，再利用三点共线知识求解. 4. 焦半径公式：已知抛物线上一点(x0，y0). 标准方程焦半径y2=

18、2px(p0)x0+p2y2=-2px(p0)p2-x0x2=2py(p0)y0+p2x2=-2py(p0)p2-y0五、直线与抛物线的位置关系1. 判断直线与抛物线的位置关系与椭圆、双曲线一样，通常使用代数法，即将直线与抛物线的方程联立，整理成关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0). (1)当a0时，利用判别式解决：0相交；=0相切；0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|(k0). 3. 3. 2抛物线的几何性质一、抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)

19、x2=-2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O(0，0)对称轴x轴y轴离心率e=1范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下二、抛物线的焦点弦1. 焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦2. 通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦. 3. 有关抛物线焦点弦的结论如图，已知AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA，BB均垂直于准线，直线AB的倾斜角为. 则有：(1)AB=x1+x2+

20、p=2psin2；(2)x1x2=p24，y1y2=-p2，OAOB=-34p2；(3)AF=p1cos，BF=p1+cos；(4) 1AF+1BF=2p；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)以AB为直径的圆与准线相切；(7)A，O，B共线，A，O，B共线；(8)AFB=90；(9)SAOB=p22sin；(10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上. 4. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹. 当0e1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(-c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=-a2c，x=a2c. 三、抛物线几何性质的应用涉及抛物线的几何性质的问题，常画出图形，结合抛物线的定义求解，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征. 四、抛物线的焦点弦问题解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论，并灵活运用. 知识点2中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p0)的抛物线而言的，在实际应用中不能盲目套用.