1、一道平面几何题的十种证法一道平面几何题的十种证法 题目:题目:如图 1,ABC 中,D、F 在 AB 上,AD=BF,过 D 作 DEBC,交 AC 于 E,过 F 作 FGBC 交 AC 于 G 求证 :BC=DEFG 分析:分析:证明一条线段等于另外两条线段的和,常用的方法是将线段的位置平移: (1)延长较短线段与较长线段相等; (2)在较长线段上截取与较短线段相等的线段; (3)将线段适当移动位置后进行比较; (4)采用其它比较方法,如解析法,三角法,面积法等 一、延长较短线段与较长线段相等一、延长较短线段与较长线段相等 解法解法 1 如图 2,延长 FG 到 H,使 FH 等于 BC,
2、连结 CH(关键证 GH=DE 即 可) 由作法知 FH 平行且等于 BCFBCH 是平行四边形CH=BF 在ADE 和CHG 中,CH=BF=AD 由 CHABA=2,又1=B,H=B,所以 1=HADECHG,则 DE=GH, 故 BC=FGGH=DEFG 证法证法 2 如图 3,仍延长 FG 到 H,使 GH=DE,连结 CH (关键证 BC=FH) 由 DEBCFG1=2=3 又 AD=FB,所以 AE=GC ADECHG,(SAS) A=GCHABCH 四边形 FBCH 是平行四边形,所以,BC=FH, BC=DEFG 证法证法 3 如图 4,延长 DE 到 H,使 DH=BC,连结
3、 CH (关键证 FG=EH) 由DBCH 及 DH=BC 再AFGCHE,得 FG=EH 二、恰当地将线段平移二、恰当地将线段平移 证法证法 4 如图 5 找 EG 的中点 K,连接 DK 并延长 DK 交 FG 的延长线于 H,可证得 DEKHGKDE=GH 再证得 ADECHG,(或证ADKCHK)A=GCH BC=GHFG=DEFG 证法证法 5 如图 6 过D作DHAC交BC于H, 则DE=HC 不难证得AFGDBH, 可得FG=BH, BCBHHCDEFG 证法证法 6 如图 7 过 F 作 FHAC 交 BC 于 H(或在 BC 上截取 CH=FG) 三、在较长的线段上截取较短的
4、线段三、在较长的线段上截取较短的线段 证法证法 7 如图 8 在 BC 上截取 BH=DE不难得出ADEFBH则 1=2=3FHACFG=HC (同理可在 BC 上截取 BH=FG再证 HC=DE) 四、利用梯形或三角形的中位线定理四、利用梯形或三角形的中位线定理 题中要证的结论系三角形的底边 BC 等于梯形 DFGE 两底之和, 可猜想通过梯形 DFGE 的中位线沟通两者之间的关系 证法证法 8 如图 9 又 AD=FB,由平行截割定理得 MN 也是ABC 的中位线, 五、利用相似三角形的性质和比例的性质五、利用相似三角形的性质和比例的性质 题中要证的边实质是相似三角形的对应边,因此,可从相似三角形的对应边成比 例和比例的基本性质入手证明 证法证法 9 如图 1 又 AD=BF,所以,ADAF=ADDB=AB 即 BC=DFFG 六、其它线段变换六、其它线段变换 证法证法 10 如图 10 作 AHDE 于 H,作 FPBC 于 P,作 GQBC 于 Q易证 ADHFBP, AHEGQC DHHE=BPQC, 又 FG=PQ 则 BC=PQBPQCFGDHHE, 即 BC=DE FG