专题2：待定系数法应用探讨（中考数学解题专题指导）.doc

1、 1 【中考攻略】【中考攻略】专题专题 2 2：待定系数法应用待定系数法应用探讨探讨 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示 这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定 这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学 教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础， 通常有三种方法： 比较系数法； 代入特殊值法； 消除待定系数法。 比较系数法比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程 （组） ，

2、从而使问题获解。 例如：“已知 x23= （1A） x2 BxC，求 A，B，C 的值” ，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比 较后，就可得到 A，B，C 的值。这里的 A，B，C 就是有待于确定的系数。 代入特殊值法代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组） ，从而使问题获解。例如： “点（2，3）在正比例函 数图象上，求此正比例函数” ，解答此题，只需设定正比例函数为 y=kx，将（2，3）代入即可得到 k 的 值，从而求得正比例函数解析式。这里的 k 就是有待于确定的系数。 消除待定系数法消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问

3、题获解。例如： “已 知 b2 a3 ，求 ab ab 的值” ，解答此题，只需设定 b2 =k a3 ，则a=3kb=2k，代入 ab ab 即可求解。这 里的 k 就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组） ； （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析 式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过年和年全国各地中考的实例探讨其应用。 一一. 待定系数法在代数式

4、变型中的应用：待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据 右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组） ，解出方程（组）即可求得答案。 典型例题：典型例题： 例： （云南玉溪（云南玉溪 3 分）分）若 2 x6xk是完全平方式，则k=【 】 A9 B9 C 9 D 3 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】待定系数法思想的应用。 2 【分析】【分析】设 2 2 x6xk= x+A ，则 222 x6xk=x2AxA， 2 2A=6A=3 k=9A =k 。故选 A。 练习题：练习题： 1.（江苏（江苏南通南通 3 分）分）已知 x216xk 是完全

5、平方式，则常数 k 等于【 】 A64 B48 C32 D16 2.（贵州黔东南（贵州黔东南 4 分）分）二次三项式 x2kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是 。 3.（江苏江苏连云港连云港 3 分分）计算 (x2) 2的结果为 x 2x4，则“”中的数为【 】 A2 B2 C4 D4 4.（湖北荆州湖北荆州 3 分）分）将代数式 2 x4x 1化成 2 (xp)q的形式为【 】 A. 2 (x2)3 B. 2 (x2)4 C. 2 (x2)5 D. 2 (x4)4 二二. 待定系数法在分式求值中的应用：待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的 值，可

6、设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。 典型例题：典型例题： 例： （四川（四川凉山凉山 4 分）分）已知 b5 a13 ，则 ab ab 的值是【 】 A 2 3 B 3 2 C 9 4 D 4 9 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】比例的性质。 【分析】【分析】 b5 a13 ，设 b5 k a13 ，则 b=5k， a=13k，把 a，b 的值代入 ab ab ，得， ab13k5k8k4 = ab13k5k18k9 。故选 D。 练习题：练习题： 1.（北京（北京市市 5 分）分）已知 ab =0 23 ，求代数式 5a2b (a2 ) (a+2b)(a2

7、b) b 的值。 2.（四川四川巴中巴中 3 分）分）若 a2 2ab3 ，则 b a = 。 三三. 待定系数法在因式分解中的应用：待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用 公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解 有很大作用（如：x36x2+11x6， 22 3x5xy2yx9y4，目前这类考题很少，但不失为一种有效 3 的解题方法） 。 典型例题：典型例题： 例 1： （湖北湖北黄石黄石 3 分）分）分解因式： 2 xx2 。 【答案】【答案】 （x1） （x2） 。 【考点】【考点】因式分解。 【分析

8、】【分析】设 2 xx2xAxB， 2 xAxBxAB xA B， AB=1 A B=2 ，解得 A=1 B=2 或 A=2 B=1 ， 2 xx2= x1 x2。 注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。 例 2：分解因式： 22 3x5xy2yx9y4 。 【答案】【答案】3xy4x2y 1。 【考点】【考点】因式分解。 【分析】【分析】 22 3x5xy2y3xyx2y， 可设 22 3x5xy2yx9y43xyax2yb。 22 3xyax2yb3x5xy2ya3b x(2ab)yab， 2222 3x5xy2yx9y43x5xy2ya3b x(2ab)yab。 比

9、较两边系数，得 a3b=1 2ab=9 ab=4 。 联立，得 a=4，b=1。代入式适合。 22 3x5xy2y3xy4x2y 1。 练习题：练习题： 1. （四川（四川南充南充 3 分）分）分解因式： 2 x4x 12 = 。 2. （山东潍坊（山东潍坊 3 分）分）分解因式：x34x212x= 。 3. （贵州黔东南（贵州黔东南 4 分）分）分解因式：82 2 xx 。 4 四四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法， 求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数

10、与 常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程， 求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比 例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx，y=kx+b， k y x 的形式 (其中 k、b 为待定系数，且 k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式 y=ax2+bx+c(a、 b、c 为待定系数)，顶点式 y=a (xh) 2+k(a、k、h 为待定系数)，交点式 y=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2为 待定系数)三类形式。根据题意(可

11、以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 a、b、c、k、x1、x2等待定 系数，求出函数解析式。 典型例题：典型例题： 例 1： （江苏（江苏南通南通 3 分）分）无论 a 取什么实数，点 P(a1，2a3)都在直线 l 上，Q(m，n)是直线 l 上的 点，则(2mn3)2的值等于 【答案】【答案】16。 【考点】【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。 【分析】【分析】由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上， 令 a=0，则 P1（1，3） ；再令 a=1，则 P2（0，1） 。 设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0） ， kb3 b1 ，解得 k2 b1

12、。 直线 l 的解析式为：y=2x1。 Q（m，n）是直线 l 上的点，2m1=n，即 2mn=1。 (2mn3)2=（1+3）2=16。 例 2： （山东聊城（山东聊城 7 分）分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC=2，求点 C 的坐标 5 【答案】【答案】解： （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 直线 AB 过点 A（1，0） 、点 B（0，2） ， kb0 b=2 ，解得 k2 b=2 。 直线 AB 的解析式为 y=2x2。 （2）设点

13、 C 的坐标为（x，y） ， SBOC=2， 1 2 2x=2，解得 x=2。 y=2 22=2。 点 C 的坐标是（2，2） 。 【考点】【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】 （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0） 、点 B（0，2）分别代入解析式即可组成 方程组，从而得到 AB 的解析式。 （2）设点 C 的坐标为（x，y） ，根据三角形面积公式以及 S BOC=2 求出 C 的横坐标，再代入直线 即可求出 y 的值，从而得到其坐标。 例 3： （湖南岳阳（湖南岳阳 8 分）分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗

14、过程“排水清 洗灌水”中水量 y（m3）与时间 t（min）之间的函数关系式 （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量 y（m3）与时间 t（min）的函数解析式； （2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 【答案】【答案】解： （1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b， 图象经过（0，1500） ， （25，1000） ， b=1500 25k+b=1000 ，解得： k=20 b=1500 。排水阶段解析式为：y=20t+1500。 清洗阶段：y=0。 灌水阶段：设解析式为：y=at+c， 6 图象经过（195，1000） ， （95，0） ， 195a+c=1000 95a+c=

15、0 ，解得： a=10 b=950 。灌水阶段解析式为：y=10t950。 （2）排水阶段解析式为：y=20t+1500，令 y=0，即 0=20t+1500，解得：t=75。 排水时间为 75 分钟。 清洗时间为：9575=20（分钟） ， 根据图象可以得出游泳池蓄水量为 1500 m3， 1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用时间为：24595=150（分钟） 。 【考点】【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】 （1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0 和灌水 阶段解析式即可。 （2）根据（

16、1）中所求解析式，即可得出图象与 x 轴交点坐标，即可得出答案。 例 4： （湖南娄底（湖南娄底 3 分）分）已知反比例函数的图象经过点（1，2） ，则它的解析式是【 】 A 1 y 2x B 2 y x C 2 y x D 1 y x 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】设反比例函数图象设解析式为 k y x ， 将点（1，2）代入 k y x 得，k=1 2=2。则函数解析式为 2 y x 。故选 B。 例 5： （江苏（江苏连云港连云港 12 分）分）如图，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与

17、 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF2， EF3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求ABD 的面积； (3)将AOC 绕点 C 逆时针旋转 90 ，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由 7 【答案】【答案】解：(1)四边形 OCEF 为矩形，OF2，EF3， 点 C 的坐标为(0，3)，点 E 的坐标为(2，3) 把 x0，y3；x2，y3 分别代入 yx2bxc，得 c=3 4+2b+c=3 ，解得 b=2 c=3 。 抛物线所对应的函数解析式为 yx

18、22x3。 (2)yx22x3(x1)24， 抛物线的顶点坐标为 D(1，4)。ABD 中 AB 边的高为 4。 令 y0，得x22x30，解得 x11，x23。 AB3(1)4。 ABD 的面积 1 2 4 48。 (3)如图，AOC 绕点 C 逆时针旋转 90 ，CO 落在 CE 所在的 直线上，由（1）(2)可知 OA1，OC=3， 点 A 对应点 G 的坐标为(3，2)。 当 x3 时，y322 3302， 点 G 不在该抛物线上。 【考点】【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的 性质，旋转的性质。 【分析】【分析】(1)在矩形 O

19、CEF 中，已知 OF、EF 的长，先表示出 C、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函 数的解析式。 (2)根据(1)的函数解析式求出 A、B、D 三点的坐标，以 AB 为底、D 点纵坐标的绝对值为高，可 求出ABD 的面积。 (3)根据旋转条件求出点 A 对应点 G 的坐标，然后将点 G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行 判定即可。 例 6： （江苏无锡（江苏无锡 2 分）分）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1） ，且经过点 B（1，0） ，则抛物线的函数 关系式为 【答案】【答案】y=x2+4x3。 【考点】【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【

20、分析】抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1） ，可设抛物线的解析式为 y=a（x2）2+1。 8 又抛物线 y=a（x2）2+1 经过点 B（1，0） ，（1，0）满足 y=a（x2）2+1。 将点 B（1，0）代入 y=a（x2）2得，0=a（12）2即 a=1。 抛物线的函数关系式为 y=（x2）2+1，即 y=x2+4x3。 例 7： （浙江（浙江宁波宁波 12 分）分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） ，交 y 轴于 C（0，2） ，过 A，C 画直线 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正半轴上，且

21、PA=PC，求 OP 的长； （3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H 若 M 在 y 轴右侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标； 若M 的半径为 4 5 5 ，求点 M 的坐标 【答案】【答案】解： （1）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） 设该二次函数的解析式为：y=a（x+1） （x2） ， 将 x=0，y=2 代入，得2=a（0+1） （02） ，解得 a=1。 抛物线的解析式为 y=（x+1） （x2） ，即 y=x2x2。 （2）设 OP=x，则 PC=PA=x+1，

22、在 RtPOC 中，由勾股定理，得 x2+22=（x+1）2， 解得，x= 3 2 ，即 OP= 3 2 。 （3）CHMAOC，MCH=CAO。 （i）如图 1，当 H 在点 C 下方时， MCH=CAO，CMx 轴，yM=2。 x2x2=2，解得 x1=0（舍去） ，x2=1。 M（1，2） 。 （ii）如图 2，当 H 在点 C 上方时， 9 MCH=CAO，PA=PC。 由（2）得，M为直线 CP 与抛物线的另一交点， 设直线 CM的解析式为 y=kx2， 把 P（ 3 2 ，0）的坐标代入，得 3 2 k2=0，解得 k= 4 3 。 y= 4 3 x2。 由 4 3 x2=x2x2

23、，解得 x1=0（舍去） ，x2= 7 3 。 此时 y= 4710 2= 339 。 M（ 710 39 ，） 。 在 x 轴上取一点 D，如图 3，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE= 4 5 5 ， 在 RtAOC 中，AC= 2222 AO +CO = 1 +2 = 5。 COA=DEA=90 ，OAC=EAD， AEDAOC， ADDE = ACOC ，即 4 5 AD 5 = 25 ，解得 AD=2。 D（1，0）或 D（3，0） 。 过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M，如图 则直线 DM 的解析式为：y=2x+2 或 y=2x6。 当2x6=x2x2 时，即 x2+x

24、+4=0，方程无实数根， 当2x+2=x2x2 时，即 x2+x4=0，解得 12 1171+ 17 xx 22 ，。 点 M 的坐标为（ 117 3+ 17 2 ，）或（ 1+ 17 317 2 ，） 。 【考点】【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质， 相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。 【分析】【分析】 （1）根据与 x 轴的两个交点 A、B 的坐标，故设出交点式解析式，然后把点 C 的坐标代入计算求 出 a 的值，即可得到二次函数解析式。 （2）设 OP=x，然后表示出 PC、PA 的长度，在 RtPOC 中，利用勾股定理列式，

25、然后解方程即 可。 10 （3）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点 H 在点 C 下方时，利用 同位角相等，两直线平行判定 CMx 轴，从而得到点 M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，是-2，代入抛物 线解析式计算即可； （ii）点 H 在点 C 上方时，根据（2）的结论，点 M 为直线 PC 与抛物线的另一交点， 求出直线 PC 的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点 M 的坐标。 在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，可以证明AED 和AOC 相似，根据相 似三角形对应边成比例列式求解即可得到 AD 的长度，然后分点 D 在点 A 的左边与

26、右边两种情况求出 OD 的长度，从而得到点 D 的坐标，再作直线 DMAC，然后求出直线 DM 的解析式，与抛物线解析式联立 求解即可得到点 M 的坐标。 练习题：练习题： 1. （上海市上海市 10 分）分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y（万 元/吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如图所示 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量 （注：总成本=每吨的成本 生产数量） 2. （山东（山东菏泽菏泽 7 分）分）如图，一次函数 2 y=x2 3 的图象分别与

27、x轴、y轴交于点 A、B，以线段 AB 为边 在第一象限内作等腰 RtABC，BAC=90 求过 B、C 两点直线的解析式 3. （甘肃兰州甘肃兰州 4 分）分）近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为【 】 A 400 y= x B 1 y= 4x C 100 y= x D 1 y= 400 x 4. （广东佛山（广东佛山 8 分）分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y=ax2bxc 的解析式； 11 y 随 x 变化的部分数值规律如下表： 有序数对（1，0） ， （1，4） ， （3，

28、0）满足 y=ax2bxc； 已知函数 y=ax2bxc 的图象的一部分（如图） (2)直接写出二次函数 y=ax2bxc 的三个性质 5. （山东莱芜（山东莱芜 12 分）分）如图，顶点坐标为(2，1)的抛物线 yax2bxc(a0)与 y 轴交于点 C(0，3)， 与 x 轴交于 A、B 两点 (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求ACD 的面积； (3)点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是否存在点 E，使 得以 D、E、F 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若

29、不存在，请说明理由 6. （山东潍坊（山东潍坊 11 分）分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标 原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、D(0，2)作平行于 x 轴的直线 1 l、 2 l (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 1 l相切； x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 12 (3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线 2 l的距离之和等于线段 MN 的长 五五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用：待定系数法在求解规律性问题中的应

30、用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题 型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推 法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 n11 aan1 ddnad (其中 a1为首项， d 为公差， n 为正整数)， 若将 n 看成自变量， an看成函数， 则 an是关于 n 的一次函数；若一列数 a1,a2,an满足 nn 1 aaknb (其中 k,b 为常数)，则这列数是二阶 等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项 2 n aanbnc是关 于 n 的二

31、次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以 用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。 典型例题：典型例题： 例 1： （湖北孝感（湖北孝感 3 分）分）2008 年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示： 年份 1896 1900 1904 届数 1 2 3 n 表中 n 的值等于 【答案】【答案】30。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） ，待定系数法。 【分析】【分析】寻找规律：设奥运会的届数为 x，年份为 y，二者之间的关系为y=kx+b。 将（1，1896） ， （2，19

32、00）代入，得 k+b=1896 2k+b=1900 ，解得 k=4 b=1892 。 y=4x+1892。检验： （3，1904）符合。奥运会的届数与年份之间的关系为y=4x+1892。 13 当 y=时，2012=4x+1892，解得 x=30。 n=30。 例 2： （山西省（山西省 3 分）分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 【答案】【答案】4n2。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） ，待定系数法。 【分析】【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形 2 个，第二图案有阴影小三角形 6 个，第三个图案有阴

33、影 小三角形 10 个，即形成数对（1，2） ， （2，6） ， （3，10） ，。 设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b， 将（1，2） ， （2，6）代入，得 k+b=2 2k+b=6 ，解得 k=4 b=2 。 y=4x2。检验： （3，10）符合。阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=4x2。 当 x= n 时，y=4n2。 第 n 个图案中阴影小三角形的个数是4n2。 例 3： （湖南永州（湖南永州 3 分）分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33，就是一个数 列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常

34、数，那么这个数列就叫做等差 数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如 2，4，6，8，10 就是一个等差数列，它的公差为 2如果一 个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列 1， 3，9，19，33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14，这是一个公差为 4 的等差数列，所以，数列 1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列 1，3，7， 13，的第五个数应是 【答案】【答案】21。 【考点【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。 【分析】【分析】由已知，二阶等差数列 1，3，7，13，与次

35、序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7）， （4，13）。 设二阶等差数列与次序之间的关系为 2 y=ax +bx+c， 14 将（1，1） ， （2，3） ， （3，7）代入，得 a+b+c=1 4a+2b+c=3 9a+3b+c=7 ，解得 a=1 b=1 c=1 。 2 y=xx+1。检验： （4，13）符合。二阶等差数列与次序之间的关系为 2 y=xx+1。 当 x= 5 时，y=21。 二阶等差数列 1，3，7，13，的第五个数应是 21。 练习题：练习题： 1. （山东济宁山东济宁 6 分）分）问题情境： 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第个图共有多少枚棋子？

36、建立模型： 15 有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函 数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则 用这个关系式去求解 解决问题： 根据以上步骤，请你解答“问题情境” 2.（江苏宿迁（江苏宿迁 3 分）分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正方形地砖的 块数是 . 3.（广西桂林（广西桂林 3 分）分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 n 个图中阴影部 分小正方形的个数是 4.（青海省青海省 2 分）分）观察下列一组图形： 16 它们是

37、按一定规律排列的，依照此规律，第 n 个图形中共有 个 5.（浙江（浙江宁波宁波 6 分）分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第 5 个图形有多少黑色棋子？ （2）第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由 六六. 待定系数法在几何问题中的应用：待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对 应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等） ，对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待 定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。 典型例题：典型例题： 例 1： （江苏南京（江苏南京 2 分）分）如图，菱形纸片 ABCD 中，A=

38、600，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A、D处， 且 AD经过 B，EF 为折痕，当 DFCD 时， CF FD 的值为【 】 A. 31 2 B. 3 6 C. 2 31 6 D. 31 8 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的 三角函数值。 【分析】【分析】延长 DC 与 AD，交于点 M， 在菱形纸片 ABCD 中，A=60 ， DCB=A=60 ，ABCD。 17 D=180 -A=120 。 根据折叠的性质，可得 ADF=D=120 ， FDM=180-ADF=60。 DFCD，DFM=90，M

39、=90 -FDM=30。 BCM=180 -BCD=120 ，CBM=180 -BCM-M=30 。CBM=M。 BC=CM。 设 CF=x，DF=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y， 在 RtDFM 中，tanM=tan30 = D F y3 FM2xy3 ， 3-1 xy 2 。 CF x3-1 FDy2 。故选 A。 例 2： （江苏扬州（江苏扬州 3 分）分）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 AB2 BC3 ，那 么 tanDCF 的值是 【答案】【答案】 5 2 。 【考点】【考点】翻折变

40、换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】【分析】四边形 ABCD 是矩形，ABCD，D90 ， 将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，CFBC， AB2 BC3 ， CD2 CF3 。设 CD2x，CF3x， 22 DF= CFCD5x。tanDCF DF5x5 = CD2x2 。 例 3： （贵州铜仁（贵州铜仁 10 分）分）如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切， 记作 ctan，即 ctan= AC BC 角 的 角 的 邻边 对边 ，根据上述角的余切定义，解下列问题： （1）

41、ctan30 = ； 18 （2）如图，已知 tanA= 4 3 ，其中A 为锐角，试求 ctanA 的值 例 4： （江苏（江苏镇江镇江 11 分）分）等边ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1） 。 （1）求证：AM=AN； （2）设 BP=x。 若，BM= 3 8 ，求 x 的值； 记四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； 连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2）

42、，当 x 取何值时，BAD=150？并判断此时以 DG、 GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 19 【答案】【答案】解： （1）证明：ABC、APD 和APE 都是等边三角形， AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。 ADMAPN（ASA） ，AM=AN。 （2）易证BPMCAP， BMBP CPCA ， BN= 3 8 ，AC=2，CP=2x， 3 x 8 2x2 ，即 2 4x8x+3=0。 解得 x= 1 2 或 x= 3 2 。 四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积。 ADMAPN

43、， ADMAPN SS 。 APMANPAPMADMADPAMPN SSS SSS 四形边 。 如图，过点 P 作 PSAB 于点 S，过点 D 作 DTAP 于点 T，则点 T 是 AP 的中 点。 在 RtBPS 中，P=600，BP=x， PS=BPsin600= 3 2 x，BS=BPcos600= 1 2 x。 AB=2，AS=ABBC=2 1 2 x。 2 2 2222 13 APASPS2x+x=x2x+4 22 。 2 ADP 1133 SAP DTAPAP=AP 2224 。 2 22 ADPAMPN 3333 3 SSSAPx2x+4x1+0 x2 4444 四形边 。 当

44、 x=1 时，S 的最小值为 3 3 4 。 连接 PG，设 DE 交 AP 于点 O。 若BAD=150， DAP =600，PAG =450。 APD 和APE 都是等边三角形， AD=DP=AP=PE=EA。 四边形 ADPE 是菱形。 DO 垂直平分 AP。 20 GP=AG。APG =PAG =450。 PGA =900。 设 BG=t， 在 RtBPG 中，B=600，BP=2t，PG=3t。AG=PG=3t。 3t+t=2，解得 t=31。BP=2t=232。 当 BP=232 时，BAD=150。 猜想：以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 四边形 A

45、DPE 是菱形，AODE，ADO=AEH=300 。 BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。 设 AO=a，则 AD=AE=2 a，OD=3a。DG=DOGO=（31）a。 又BAD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。 DH=AD=2a， GH=DHDG=2a（31）a=（33）a， HE=2DODH=23a2a=2（31）a。 22 222 DGGH31 a+33 a= 168 3 a ， 2 22 HE231 a= 168 3 a ， 222 DGGHHE。 以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】

46、【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】【分析】 （1）由ABC、APD 和APE 都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用 ASA 证明。 （2）由BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 应用全等三角形的判定和性质， 锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 ADPAMPN SS 四形边 ， 用 x 的代数式表示 S，用二次函数的最值原理求出 S 的最小值。 由BAD=150得到四边形 ADPE 是菱形，应用相关知识求解。 求出 DG、

47、GH、HE 的表达式，用勾股定理逆定理证明。 21 练习题：练习题： 1. （江苏（江苏连云港连云港 3 分）分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直 线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这 样就可以求出 67.5 角的正切值是【 】 A31 B21 C2.5 D5 2. （广西河池（广西河池 3 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合， 折痕为 MN，连结 CN若CDN 的面积与CMN 的面积比为 14，则 MN