专题17：动态几何之面积问题探讨（中考数学解题专题指导）.doc

1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 17：动态几何之面积问题探讨：动态几何之面积问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制 动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问 题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对 面积问题行探讨。 结合全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨： （1）静态面积问题； （2） 点动形成的动态面积问题； （3）线动形成的动态面积问题； （4）面动形成的动态面积问题。 一、静态面积问题一、静

2、态面积问题： 典型例题：典型例题： 例例 1： （山西省： （山西省 2 分）分）如图是某公园的一角，AOB=90 ，弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点， 点 D 在弧 AB 上，CDOB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】 A 9 103 2 米 2 B 9 3 2 米 2 C 9 63 2 米 2 D 69 3米 2 【答案】【答案】 C。 【考点】【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】连接 OD，则 DOCAOD SSS 扇形影阴 。 弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，OC= 1 2

3、 OA= 1 2 6=3。 AOB=90 ，CDOB，CDOA。 在 RtOCD 中， OD=6， OC=3， 2222 CD= ODOC633 3。 又 CD3 33 sin DOC= OD62 ，DOC=60 。 2 DOCAOD 60619 SSS=3 3 3=63 36022 扇形影阴 （米 2） 。故选 C。 例例 2： （湖北恩施： （湖北恩施 3 分）分）如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，A=120 ，则图中阴影部 分的面积是【 】 2 A3 B2 C3 D2 例例 3： （湖北随州： （湖北随州 4 分）分）如图，直线 l 与反比例函数 2 y=

4、 x 的图象在第一象限内交于 A、B 两点，交 x 轴的正 半轴于 C 点,若 AB：BC=(m 一 l)：1(ml)则OAB 的面积(用 m 表示)为【 】 A. 2 m1 2m B. 2 m1 m C. 2 3 m1 m D. 2 3 m1 2m 【答案】【答案】B。 3 【考点】【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。 【分析】【分析】如图，过点 A 作 ADOC 于点 D，过点 B 作 BEOC 于点 E, 设 A(A，A)，B (B，B)，C（c 0） 。 AB：BC=(m 一 l)：1(ml)，AC：BC=m：1。 又ADCBEC，

5、AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。 又AD=A，BE=B，DC= cA，EC= cB， A：B= m：1，即A= mB。 直线 l 与反比例函数 2 y= x 的图象在第一象限内交于 A、B 两点， A A 2 y = x ， B B 2 y = x 。 AB 22m = xx ， AB 1 x =x m 。 将 又由 AC：BC=m：1 得（cA） ： （cB）=m：1，即 B B 1 cx: cxm:1 m ，解得 B xm+1 c= m 。 B OABOCBOBCABABBB xm+11111 S=SS=c yc ycyymyy 2222m 22 2 BB BB x ym12

6、 m1 x ym+1 m11m1 2m2m2mm 。 故选 B。 例例 4： （贵州贵阳： （贵州贵阳 12 分）分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这 个平面图形的一条面积等分线 （1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线； （2）如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3） 如图， 四边形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行， ABCD， 且 SABCSACD， 过点 A 画出四边形 ABCD 的面积等分线，并写出理由 4 【答案】【答案】解： （1）6；无数。 （2）这个图形的一条面积等分线如图： 连接

7、2 个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成 2 个相等的部分 即 OO为这个 图形的一条面积等分线。 （3）四边形 ABCD 的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE。 BEAC，ABC 和AEC 的公共边 AC 上的高也相等， SABC=SAEC。 ACDABCACDAECAEDABCD SSSSSS 四形边 。 SACDSABC， 面积等分线必与 CD 相交，取 DE 中点 F，则直线 AF 即为要求作的四边形 ABCD 的面积等分线。 【考点】【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质

8、。 【分析】【分析】 （1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两 条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成 2 个相等的部分；从而三角形有 3 条面积等分线， 平行四边形有无数条面积等分线。 （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； 5 （3）过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE根据ABC 和AEC 的公共边 AC 上 的高也相等推知SABC=SAEC；由“割补法”可以求得 ACDABCACDAECAEDABCD SSSSSS 四形边 。 例例 5： （贵州毕节： （贵州毕节 3 分）分

9、）如图，在正方形 ABCD 中，以 A 为顶点作等边AEF，交 BC 边于 E，交 DC 边于 F；又以 A 为圆心，AE 的长为半径作EF。若AEF 的边长为 2，则阴影部分的面积约是【 】 （参考数据：21.41431.732 ， 取 3.14） A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。 【分析】【分析】由图知， AEFCEFAEF SSSS 扇形影部分阴 。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和 勾股定理，可得等边AEF 的边长为 2，高为3；RtAEF 的两直角边长

10、为2；扇形 AEF 的半径为 2 圆心角为 600。 2 AEFCEFAEF 116022 SSSS=2322= 3+10.64 223603 扇形影部分阴 。 故选 A。 例例 6： （山东德州： （山东德州 3 分）分）如图，两个反比例函数 1 y= x 和 2 y= x 的图象分别是 l1和 l2设点 P 在 l1上，PCx 轴，垂足为 C，交 l2于点 A，PDy 轴，垂足为 D，交 l2于点 B，则三角形 PAB 的面积为【 】 A3 B4 C 9 2 D5 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。 6 例例 7： （内蒙古赤

11、峰： （内蒙古赤峰 3 分）分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，以点 C 为圆心，CD 为半径的弧与 BC 交 于点 E，四边形 ABED 是平行四边形，AB=3，则扇形 CDE（阴影部分）的面积是【 】 A 3 2 B 2 C D3 【答案】【答案】A。 【考点【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。 【分析】【分析】四边形 ABCD 是等腰梯形，且 ADBC，AB=CD。 又四边形 ABED 是平行四边形，AB=DE（平行四边形的对边相等） 。DE=DC=AB=3。 CE=CD，CE=CD=DE=3，即DCE 是等边三角形。C=60 。 7

12、 扇形 CDE（阴影部分）的面积为： 2 6033 = 3602 。故选 A。 例例 8： （黑龙江绥化： （黑龙江绥化 3 分）分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，DE：EC=2：3，连接 AE、 BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则 SDEF：SEBF：SABF=【 】 A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D4：10：25 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】【分析】由 DE：EC=2：3 得 DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得 DE：AB=2：5 由平行四边形对边平行的性质易

13、得DFEBFA DF：FB= DE：AB=2：5，SDEF：SABF=4：25。 又SDEF和 SEBF是等高三角形，且 DF：FB =2：5，SDEF：SEBF =2：5=4：10。 SDEF：SEBF：SABF =4：10：25。故选 D。 例例 9： （安徽省： （安徽省 5 分）分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、 PCD、PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 若 S1= S2，则 P 点在矩形的对角线上

14、其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】【答案】。 【考点】【考点】矩形的性质，相似 【分析】【分析】如图，过点 P 分别作四个三角形的高， APD 以 AD 为底边，PBC 以 BC 为底边， 8 此时两三角形的高的和为 AB， S1+S3= 1 2 S矩形ABCD； 同理可得出 S2+S4= 1 2 S矩形ABCD。 S2+S4= S1+ S3正确，则S1+S2=S3+S4错误。 若 S3=2 S1，只能得出APD 与PBC 高度之比，S4不一定等于 2S2；故结论错误。 如图，若 S1=S2，则 1 2 PF AD= 1 2 PE AB， APD 与PBA

15、 高度之比为：PF：PE =AB：AD 。 DAE=PEA=PFA=90 ，四边形 AEPF 是矩形， 矩形 AEPF矩形 ABCD。连接 AC。 PF：CD =PE ：BC=AP：AC， 即 PF：CD =AF ：AD=AP：AC。 APFACD。PAF=CAD。点 A、P、C 共线。P 点在矩形的对角线上。 故结论正确。 综上所述，结论和正确。 例例 10： （福建宁德： （福建宁德 3 分）分）如图，点 M 是反比例函数 y 1 x 在第一象限内图象上的点，作 MBx 轴于 点过点 M 的第一条直线交 y 轴于点 A1，交反比例函数图象于点 C1，且 A1C1 1 2 A1M，A1C1B

16、 的面积 记为 S1；过点 M 的第二条直线交 y 轴于点 A2，交反比例函数图象于点 C2，且 A2C2 1 4 A2M，A2C2B 的 面积记为 S2； 过点 M 的第三条直线交 y 轴于点 A3， 交反比例函数图象于点 C3， 且 A3C3 1 8 A3M， A3C3B 的面积记为 S3；依次类推；则 S1S2S3S8 【答案】【答案】 255 512 。 9 【考点】【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。 【分析】【分析】过点 M 作 MDy 轴于点 D，过点 A1作 A1EBM 于点 E，过点 C1作 C1FBM 于点 F， 点 M 是反比例函

17、数 y 1 x 在第一象限内图象上的点， OB DM=1。 1 A BM 11 SOB MB 22 。 A1C1= 1 2 A1M，即 C1为 A1M 中点， C1到 BM 的距离 C1F 为 A1到 BM 的距离 A1E 的一半。 11 1BMCA BM 11 SS S 24 。 2 BMA2 111 SBM ABMBM BO 222 到距离。 A2C2 1 4 A2M，C2到 BM 的距离为 A2到 BM 的距离的 3 4 。 222 2A C BBMA 11 SSS 48 。 同理可得：S3= 1 16 ，S4= 1 32 ， 1238 89 11111111255 SSSS 48482

18、5651251222 。 练习题：练习题： 1. （广东省（广东省 4 分）分）如图，在ABCD 中，AD=2，AB=4，A=30 ，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 ） 2. （浙江（浙江温州温州 5 分）分）如图，已知动点 A 在函数 4 y= x (xo)的图象上，ABx 轴于点 B，ACy 轴于点 C， 延长 CA 至点 D，使 AD=AB，延长 BA 至点，使 AE=AC.直线 DE 分别交 x 轴，y 轴于点 P,Q.当 QE： DP=4:9 时，图中的阴影部分的面积等于 _. 10 3. （江苏（江苏常州常州 2

19、 分）分）如图，已知反比例函数 1 1 k y=k0 x 和 2 2 k y=k0 x 。点 A 在 y 轴的正半轴上，过 点 A 作直线 BCx 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点 B 和 C，连接 OC、OB。若BOC 的面积 为 5 2 ，AC：AB=2：3，则 1 k= ， 2 k= 。 4. （江苏扬州（江苏扬州 3 分）分）如图，双曲线 k y= x 经过 RtOMN 斜边上的点 A，与直角边 MN 相交于点 B，已知 OA2AN，OAB 的面积为 5，则 k 的值是 5. （湖南岳阳（湖南岳阳 3 分）分）如图，ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上的一点，且 AD= 2

20、3 AB，DFBC，E 为 BD 的中点若 EFAC，BC=6，则四边形 DBCF 的面积为 6. （四川攀枝花（四川攀枝花 4 分）分）如图，以 BC 为直径的O1与O2外切，O1与O2的外公切线交于点 D，且 ADC=60 ，过 B 点的O1的切线交其中一条外公切线于点 A若O2的面积为 ，则四边形 ABCD 的 面积是 11 7. （辽宁朝阳（辽宁朝阳 3 分）分）如图，在正方形 ABCD 内有一折线，其中 AEEF，EFFC，并且 AE=4，EF=8， FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 。 8. （辽宁沈阳辽宁沈阳 4 分）分）如图，菱形 ABCD 的边长为 8cm

21、，A=60 ，DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，则 四边形 BEDF 的面积为 _cm2. 9. （辽宁营口辽宁营口 3 分）分）如图，直线bxy与双曲线 x y 1 （x0）交于 A、B 两点，与x轴、y轴 分别交于 E、F 两点，连结 OA、OB，若 AOBOBFOAE SSS ，则b 10. （贵州遵义（贵州遵义 4 分）分） 如图， 平行四边形 ABCD 的顶点为 A、 C 在双曲线 1 1 k y = x 上， B、 D 在双曲线 2 2 k y = x 上，k1=2k2（k10） ，ABy 轴，SABCD=24，则 k1= 12 二、点动形成的动态面积问题：二、点动形成的动态

22、面积问题： 典型例题：典型例题： 例例 1： （广东广州： （广东广州 14 分）分）如图，抛物线 2 33 y=xx+3 84 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B 的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三 个时，求直线 l 的解析式 【答案】【答案】解： （1）在 2 33 y=xx+3 84 中，令 y=0，即 2 33 xx+3=0

23、84 ，解得 x1=4，x2=2。 点 A 在点 B 的左侧，A、B 点的坐标为 A（4，0） 、B（2，0） 。 （2）由 2 33 y=xx+3 84 得，对称轴为 x=1。 在 2 33 y=xx+3 84 中，令 x=0，得 y=3。 OC=3，AB=6， ACB 11 SAB OC6 39 22 。 在 RtAOC 中， 2222 AC= OA +OC4 +35。 设ACD 中 AC 边上的高为 h，则有 1 2 ACh=9，解得 h=18 5 。 13 如图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离=h=18 5 ，这样的直线有 2 条， 分别是 L1和 L2，则直线

24、与对称轴 x=1 的两个交点即为所求的点 D。 设 L1交 y 轴于 E，过 C 作 CFL1于 F，则 CF=h= 18 5 ， 18 CFCF9 5 CE 4 sinCEFsinOCA2 5 。 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 将 A（4，0） ，B（0，3）坐标代入，得 4k+b=0 b=3 ，解得 3 k= 4 b=3 。来源:21 直线 AC 解析式为 3 yx3 4 。来源: 直线 L1可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（ 9 2 个长度单位）而形成的， 直线 L1的解析式为 3933 yx3x 4242 。 则 D1的纵坐标为 339 1 424 。D1（4，

25、 9 4 ） 。 同理，直线 AC 向上平移 9 2 个长度单位得到 L2，可求得 D2（1， 27 4 ） 。 综上所述，D 点坐标为：D1（4， 9 4 ） ，D2（1， 27 4 ） 。 （3）如图 2，以 AB 为直径作F，圆心为 F过 E 点作F 的切线，这样的切线有 2 条 连接 FM，过 M 作 MNx 轴于点 N。 A（4，0） ，B（2，0） ，F（1，0） ，F 半径 FM=FB=3。 又 FE=5，则在 RtMEF 中，- ME= 22 534，sinMFE= 4 5 ，cosMFE= 3 5 。 在 RtFMN 中，MN=MNsinMFE=34 12 55 ， FN=M

26、NcosMFE=33 9 55 。 则 ON= 4 5 。M 点坐标为（ 4 5 ， 12 5 ） 。 直线 l 过 M（ 4 5 ，12 5 ） ，E（4，0） ， 14 设直线 l 的解析式为 y=k1x+b1，则有 412 k+b= 55 4k+b=0 ，解得 3 k= 4 b=3 。 直线 l 的解析式为 y= 3 4 x+3。 同理，可以求得另一条切线的解析式为 y= 3 4 x3。 综上所述，直线 l 的解析式为 y= 3 4 x+3 或 y= 3 4 x3。 例例 2： （广东梅州： （广东梅州 11 分）分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0） 、C（0，2） 、D（0，3）

27、 ，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足PQO=60 （1）点 B 的坐标是 ；CAO= 度；当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ； （直接写 出答案） （2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使AMN 为等腰三角形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由 15 （3）设点 P 的横坐标为 x，OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围 【答案【答案】解： （1）（6，23） 。 30。（3，33

28、） 。 （2）存在。m=0 或 m=33或 m=2。 （3）当 0 x3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 lBCOA， 可得 EFPEDC31 = OQPODO33 3 ，EF= 1 3 （3+x） ， 此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO 14 34 3 SSEFOQOC3xx4 3 233 梯形 （）（）= 当 3x5 时，如图 2， HAQEFQOEFQO 2 2 1 SSSSAH AQ 2 4 33313 33 x4 3x3xx 32232 = 梯形梯形 。 当 5x9 时，如图 3， 12 SBEOAOC3 12x

29、23 2 3 =x12 3 3 （）（） 。 当 x9 时，如图 4， 1118 354 3 SOA AH6= 22xx 。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 2 4 3 x4 3 0 x3 3 313 33 xx3x5 232 S 2 3 x12 3 5x9 3 54 3 x9 x 。 16 【考点】【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形。 【分析】【分析】 （1）由四边形 OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点 B 的坐标： 四边形 OABC 是矩形，AB=OC，OA=BC， A（6，0） 、C（0，23） ，点

30、 B 的坐标为： （6，23） 。 由正切函数，即可求得CAO 的度数： OC2 33 tan CAO= OA63 ，CAO=30 。 由三角函数的性质，即可求得点 P 的坐标；如图：当点Q 与 点 A 重合时，过点 P 作 PEOA 于 E， PQO=60 ，D（0，33） ，PE=33。 0 PE AE3 tan60 。 OE=OAAE=63=3，点 P 的坐标为（3，33） 。 （2）分别从 MN=AN，AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求得答案： 情况：MN=AN=3，则AMN=MAN=30 ， MNO=60 。 PQO=60 ，即MQO=60 ，点 N 与 Q 重合。 点 P

31、 与 D 重合。此时 m=0。 情况，如图 AM=AN，作 MJx 轴、PIx 轴。 MJ=MQsin60=AQsin600 3 OAIQOIsin603m 2 （）（） 又 113 MJAM=AN= 222 ， 33 3m 22 （）=，解得：m=33。 情况AM=NM，此时 M 的横坐标是 4.5， 过点 P 作 PKOA 于 K，过点 M 作 MGOA 于 G， MG= 3 2 。 17 00 PK3 3MG1 QK3GQ 2tan603tan60 ，。 KG=30.5=2.5，AG= 1 2 AN=1.5。OK=2。m=2。 综上所述，点 P 的横坐标为 m=0 或 m=33或 m=2

32、。 （3）分别从当 0 x3 时，当 3x5 时，当 5x9 时，当 x9 时去分析求解即可求得答案。 例例 3： （广东汕头： （广东汕头 12 分）分）如图，抛物线 2 13 y=xx9 22 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、 AC （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合） ，过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D设 AE 的长为 m，ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接 CE，求CDE

33、面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆 的面积（结果保留 ） 【答案】【答案】解： （1）在 2 13 y=xx9 22 中， 令 x=0，得 y=9，C（0，9） ； 令 y=0，即 2 13 xx9=0 22 ，解得：x1=3，x2=6，A（3，0） 、B（6，0） 。 AB=9，OC=9。 （2）EDBC，AEDABC， 2 AED ABC SAE SAB ，即： 2 sm 1 9 9 9 2 。 s= 1 2 m2（0m9） 。 （3）SAEC= 1 2 AEOC= 9 2 m，SAED=s= 1 2 m2， 18 SEDC=SAECSAED = 1 2 m2+

34、9 2 m= 1 2 （m 9 2 ）2+ 81 8 。 CDE 的最大面积为 81 8 ， 此时，AE=m= 9 2 ，BE=ABAE= 9 2 。 又 22 BC6 +9 =3 13， 过 E 作 EFBC 于 F，则 RtBEFRtBCO，得： EFBE OCBC ，即： 9 EF 2 93 13 。 27 EF13 26 。 以 E 点为圆心，与 BC 相切的圆的面积 SE=EF2= 729 52 。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值， 勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】【分析】 （1）已知抛物线的解析式，当 x=

35、0，可确定 C 点坐标；当 y=0 时，可确定 A、B 点的坐标，从而 确定 AB、OC 的长。 （2）直线 lBC，可得出AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于 s、m 的函数关系式；根据题目条件：点 E 与点 A、B 不重合，可确定 m 的取值范围。 （3）首先用 m 列出AEC 的面积表达式，AEC、AED 的面积差即为CDE 的面积，由此可 得关于 SCDE关于 m 的函数关系式，根据函数的性质可得到 SCDE的最大面积以及此时 m 的值。 过E做BC的垂线EF， 这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径， 可根据相似三角形BEF、 BCO 得到的相关比例线段求得该半径

36、的值，由此得解。 例例 4： （贵州铜仁： （贵州铜仁 14 分）分）如图，已知：直线yx3 交 x 轴于点A，交 y 轴于点 B ，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点 D 的坐标为（1，0） ，在直线yx3 上有一点 P，使 ABO 与 ADP 相似，求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由 19 【答案】【答案】解： （1）由题意得，A（3，0） ，B（0，3） ， 抛物线经过

37、 A、B、C 三点， 把 A（3，0） ，B（0，3） ，C（1，0）三点分别代入 y=ax2+bx+c 得方程组 9a3bc0 c3 abc0 ，解得： a1 b4 c3 。 抛物线的解析式为 2 43yxx=-+。 （2）由题意可得：ABO 为等腰三角形，如图 1 所示， 若ABOAP1D，连接 DP1，则 1 AOOB ADOP ， DP1=AD=4。P1( 1,4)-。 若ABOADP2 ，过点 P2作 P2 Mx 轴于 M，连接 DP2， ABO 为等腰三角形, ADP2是等腰三角形。 由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点 M 与点 C 重合。P2（1，2）。 （3）不存在

38、。理由如下： 如图 2 设点 E ( ,) x y，则 ADE 1 SAD |y| 2|y| 2 当 P1(1，4)时， S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE 20 1 AP1CEACPACE SSS 11 242 | y| 4y 22 四形边 24yy=+。 4y =。 点 E 在 x 轴下方 4y= -。代入得： 2 434xx-+= -,即 2 x4x70 =(4)24 7=120，此方程无解。 当 P1(1， 4)时， 在 x 轴下方的抛物线上， 不存在点 E， 使 ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积。 当 P2（1，2）时， 2 2 ACPACE四边形AP2C

39、E SSSy DD =+=+ 22yy=+。2y =。 点 E 在 x 轴下方，2y= -。代入得： 2 432xx-+= -，即 2 x4x50 =(4)24 5=4 ， 得 0t4。 当 t=2 3时，S 有最大值为 3 2 。 例例 6： （四川： （四川内江内江 12 分）分）如图，已知点 A（1，0） ，B（4，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，且ACB=900， 抛物线 2 yaxbxc经过 A、B、C 三点，其顶点为 M. (1)求抛物线 2 yaxbxc的解析式； (2)试判断直线 CM 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明； (3)在抛物线上是否存在点 N， 使得

40、 BCN S4 ?如果存在， 那么这样的点有几个？如果不存在， 请说明理由。 23 【答案】【答案】解： （1）RtACB 中，OCAB，AO=1，BO=4， ACOABO 。 COAO OBCO ，OC2=OAOB=4。 OC=2。点 C（0，2） 。 抛物线 2 yaxbxc经过 A、B 两点， 设抛物线的解析式为： ya x+1 x4 ，将 C 点代入上式，得： 2a 0+1 04，解得 1 a= 2 。 抛物线的解析式： 1 yx+1x4 2 ，即 2 13 yx +x+2 22 。 （2）直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切。理由如下： 如图，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D

41、，连接 CD。 由于 A、B 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 为 RtABC 斜边 AB 的中 点，CD= 1 2 AB。 由（1）知： 2 2 131325 yx +x+2=x+ 22228 ， 则点 M（ 325 28 ，） ，ME= 259 2 88 。 而 CE=OD= 3 2 ，OC=2，ME：CE=OD：OC。 又MEC=COD=90 ，CODCEM。CME=CDO。 CME+CDM=CDO+CDM=90 。DCM=90 。 CD 是D 的半径，直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切。 （3）由 B（4，0） 、C（0，2）得：BC=2 5， 则： BCN 114 5 SBC h

42、2 5h4h 225 ，。 过点 B 作 BFBC，且使 BF=h= 4 5 h 5 ，过 F 作直线 lBC 交 x 轴于 G。 RtBFG 中，sinBGF=sinCBO= 5 5 ， BG=BF sinBGF= 4 55 =4 55 。 G（0，0）或（8，0） 。 易知直线 BC：y= 1 2 x+2，则可设直线 l：y= 1 2 x+b， 24 将 G 点坐标代入，得：b=0 或 b=4，则： 直线 l：y= 1 2 x 或 y= 1 2 x+4； 联立抛物线的解析式，得： 2 1 y x 2 13 y x x2 22 ，或 2 1 y x4 2 13 y xx2 22 。 解得 x

43、2+2 2 y12 或 x22 2 y1+ 2 或 x2 y3 。 抛物线上存在点 N，使得 BCN S4 ，这样的点有 3 个： 123 N 22 21 2N 22 21 2N 2 3 （，）、 （，）、 （ ，）。 【考点】【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次 函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。 【分析】【分析】 （1）RtACB 中，OCAB，利用相似三角形能求出 OC 的长，即可确定 C 点坐标，再利用待定 系数法能求出该抛物线的解析式。 （2）证明 CM 垂直于过点 C 的半径即可。 （3）先求出线段 BC 的长，根据

44、BCN 的面积，可求出 BC 边上的高，那么做直线 l，且直线 l 与直线 BC 的长度正好等于 BC 边上的高，那么直线 l 与抛物线的交点即为符合条件的 N 点。 例例 7： （山东： （山东菏泽菏泽 10 分）分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1） ，B（2，0） ， O（0，0） ，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 ，得到ABO （1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式； （2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3

45、）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形 PBAB 的两条性质 25 【答案】【答案】解：(1) ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 900得到的， 且 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） A( 1, 0), B(0, 2) 。 设抛物线的解析式为 2 (0)yaxbxc a， 抛物线经过点 A、B、B， 0 2 042 abc c abc ，解之得 1 1 2 a b c 。 满足条件的抛物线的解析式为 2 2yxx。 （2）P 为第一象限内抛物线上的一动点， 设P( , )x y，则0,0 xy ，P 点坐标满足 2 2yxx。 连接

46、PB，PO，PB。 BOA BO OB PBAB SSSS PP四边形 111 1 2+2+2 222 xy 22 (2) 123xxxxx 。 假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍， 则 2 234xx，即 2 210 xx ，解之得1x ，此时 2 11 22y 。 P（1，2） 。 存在点 P（1，2） ，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍。 （3）四边形 PBAB 为等腰梯形。它的性质有： 等腰梯形同一底上的两个内角相等； 26 等腰梯形对角线相等； 等腰梯形上底与下底平行； 等腰梯形两腰相等。 答案不唯一，上面性质中的任意 2 个均可。 【考点】【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和 性质。 【分析】【分析】 （1）利用旋转的性质得出 A（1，0） ，B（0，2） ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。 （2）利用 S四边形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍， 得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可。 （3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答 案即可。 例例 8： （广西柳州： （广西柳州 12 分）分）如图，在ABC 中，AB=2，AC=BC=5