1、 1 第十二章全等三角形小结导学案 一、学习目标： 1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的 性质等知识，建立知识系统； 2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的 方法，提升解题能力。 二、学习重点、难点： 学习重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。 学习难点：提升分析问题、解决问题的能力。 三、本章知识结构图： 。 四、回顾与思考： 1、请你举一些生活中的全等形。 2、 全等三角形的概念及性质； 3、 三角形全等的判定； 4、 角平分线的性质及判定 5、你能举例说明证明
2、一个几何命题的一般过程吗？ 知识点一：证明三角形全等的思路 通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证 明，可以按下图思路进行分析： SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角 已知两边 找第三边 找直角 边为角的对边找任一角 找夹角的另一边 已知一边一角 边为角的邻边 找夹边的另一角 找边的对角 找夹边 已知两角 找任一对边 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例 1. 如图，, ,A F E B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBD
3、E 。 2 思路分析：从结论ACFBDE 入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到 AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB 。 知识点二：构造全等三角形 例 2. 如图，在ABC中，BE是ABC 的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C 。 思路分析：直接证明21C 比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2 且 1C 。也可以看成将2“转移”到。 。 例 3. 如图，在ABC中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF， 连接,AE EF和CF。求证：AECF。 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段
4、相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为 边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全 等即可。 知识点三：常见辅助线的作法 1. 连接四边形的对角线 解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 2. 作垂线，利用角平分线的知识 例 5. 如图，,AP CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN 的平分线。 3 思路分析：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到,BM BN的距离相等来证明，故应过 点P向,BM BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP分别是MAC和NCA的
5、平分线”，也 需要作出点P到两外角两边的距离。 例 6. 如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证： 2ACAE。 思路分析：要证明“2ACAE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延 长AE至F，使EFAE。 解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证 明两条直线平行。 4. “截长补短”构造全等三角形 例 7. 如图，在ABC中，ABAC，12 ，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。 4 思路分析：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是 差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和 “补短”两种方法。 解答过程：法一： 在AB上截取ANAC，连接PN 在APN与APC中 12 ANAC APAP APNAPC (SAS) PNPC 在BPN中，PBPNBN PBPCABAC，即 ABACPBPC。 法二： 延长AC至M，使AMAB，连接PM 在ABP与AMP中 12 ABAM APAP ABPAMP (SAS) PBPM 在PCM中，CMPMPC ABACPBPC。 5
