1、一道平面几何题的十种证法一道平面几何题的十种证法 题目：题目：如图 1，ABC 中，D、F 在 AB 上，AD=BF，过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，过 F 作 FGBC 交 AC 于 G 求证 ：BC=DEFG 分析：分析：证明一条线段等于另外两条线段的和，常用的方法是将线段的位置平移： （1）延长较短线段与较长线段相等； （2）在较长线段上截取与较短线段相等的线段； （3）将线段适当移动位置后进行比较； （4）采用其它比较方法，如解析法，三角法，面积法等 一、延长较短线段与较长线段相等一、延长较短线段与较长线段相等 解法解法 1 如图 2，延长 FG 到 H，使 FH 等于 BC，
2、连结 CH（关键证 GH=DE 即 可） 由作法知 FH 平行且等于 BCFBCH 是平行四边形CH=BF 在ADE 和CHG 中，CH=BF=AD 由CHABA=2， 又1=B， H=B， 所以1=H ADECHG， 则 DE=GH， 故 BC=FGGH=DEFG 证法证法 2 如图 3，仍延长 FG 到 H，使 GH=DE，连结 CH （关键证 BC=FH） 由 DEBCFG1=2=3 又 AD=FB，所以 AE=GC ADECHG，（SAS） A=GCHABCH 四边形 FBCH 是平行四边形，所以，BC=FH， BC=DEFG 证法证法 3 如图 4，延长 DE 到 H，使 DH=BC
3、，连结 CH （关键证 FG=EH） 由DBCH 及 DH=BC 再AFGCHE，得 FG=EH 二、恰当地将线段平移二、恰当地将线段平移 证法证法 4 如图 5 找 EG 的中点 K，连接 DK 并延长 DK 交 FG 的延长线于 H，可证得 DEKHGKDE=GH 再证得 ADECHG，（或证ADKCHK）A=GCH BC=GHFG=DEFG 证法证法 5 如图 6 过 D 作 DHAC 交 BC 于 H，则 DE=HC不难证得AFGDBH，可得 FG=BH， BCBHHCDEFG 证法证法 6 如图 7 过 F 作 FHAC 交 BC 于 H（或在 BC 上截取 CH=FG） 三、在较长
4、的线段上截取较短的线段三、在较长的线段上截取较短的线段 证法证法 7 如图 8 在 BC 上截取 BH=DE 不难得出ADEFBH 则1=2=3FHAC FG=HC （同理可在 BC 上截取 BH=FG再证 HC=DE） 四、利用梯形或三角形的中位线定理四、利用梯形或三角形的中位线定理 题中要证的结论系三角形的底边 BC 等于梯形 DFGE 两底之和， 可猜想通过梯形 DFGE 的中位线沟通两者之间的关系 证法证法 8 如图 9 又 AD=FB，由平行截割定理得 MN 也是ABC 的中位线， 五、利用相似三角形的性质和比例的性质五、利用相似三角形的性质和比例的性质 题中要证的边实质是相似三角形的对应边，因此，可从相似三角形的对应边成比 例和比例的基本性质入手证明 证法证法 9 如图 1 又 AD=BF，所以，ADAF=ADDB=AB 即 BC=DFFG 六、其它线段变换六、其它线段变换 证法证法 10 如图 10 作 AHDE 于 H，作 FPBC 于 P，作 GQBC 于 Q易证 ADHFBP， AHEGQC DHHE=BPQC， 又 FG=PQ 则 BC=PQBPQCFGDHHE， 即 BC=DE FG
