2020年湖南省郴州市中考数学试卷.pdf

1、第 1 页（共 27 页） 2020 年湖南省郴州市中考数学试卷年湖南省郴州市中考数学试卷 一、选择题（一、选择题（共共 8 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 24 分）分） 1 （3 分） （2020郴州）如图表示互为相反数的两个点是（） A点 A 与点 B B点 A 与点 D C点 C 与点 B D点 C 与点 D 2 （3 分） （2020郴州）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发 射中心点火升空 北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务， 授时精度可达 10 纳秒 （1 秒1000000000 纳秒） 用科学记数法表示 10 纳秒为（） A1

2、108秒 B1109秒 C10109秒 D0.1109秒 3 （3 分） （2020郴州）下列图形是中心对称图形的是（） A B C D 4 （3 分） （2020郴州）下列运算正确的是（） A （a）4a4 Ba2a3a6 C D2a3+3a25a5 8 2 =6 5 （3 分） （2020郴州） 如图， 直线 a， b 被直线 c， d 所截 下列条件能判定 ab 的是 （） A13 B2+4180 C45 D12 6 （3 分） （2020郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（cm） 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售数量（双） 2 7 18

3、 10 8 3 则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（） 第 2 页（共 27 页） A中位数 B平均数 C众数 D方差 7 （3 分） （2020郴州）如图 1，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为 1 的小正方形（阴 影部分） ，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2 所示 长方形这两个图能解释下列哪个等式（） Ax22x+1（x1）2 Bx21（x+1） （x1） Cx2+2x+1（x+1）2 Dx2xx（x1） 8 （3 分） （2020郴州）在平面直角坐标系中，点 A 是双曲线 y1（x0）上任意一点，= 1 连接 AO，过点 O

4、作 AO 的垂线与双曲线 y2（x0）交于点 B，连接 AB，已知= 2 = 2，则（） 1 2 = A4 B4 C2 D2 二、填空题（二、填空题（共共 8 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 24 分）分） 9 （3 分） （2020郴州）若分式的值不存在，则 x 1 + 1 10 （3 分） （2020郴州）已知关于 x 的一元二次方程 2x25x+c0 有两个相等的实数根， 则 c 11 （3 分） （2020郴州）质检部门从 1000 件电子元件中随机抽取 100 件进行检测，其中有 2 件是次品试据此估计这批电子元件中大约有 件次品 12 （3 分） （2020郴州）某 5

5、 人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为： 86，88，90，92，94，方差为 S28.0，后来老师发现每人都少加了 2 分，每人补加 2 分 第 3 页（共 27 页） 后，这 5 人新成绩的方差 S新 2 13 （3 分） （2020郴州）小红在练习仰卧起坐，本月 1 日至 4 日的成绩与日期具有如下关 系： 日期 x（日） 1 2 3 4 成绩 y（个） 40 43 46 49 小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 14 （3 分） （2020郴州）在平面直角坐标系中，将AOB 以点 O 为位似中心， 为位似比 2 3 作位似变换，

6、得到A1OB1，已知 A（2，3） ，则点 A1的坐标是 15 （3 分） （2020郴州）如图，圆锥的母线长为 10，侧面展开图的面积为 60，则圆锥主 视图的面积为 16 （3 分） （2020郴州）如图，在矩形 ABCD 中，AD4，AB8分别以点 B，D 为圆心， 以大于 BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和 F作直线 EF 分别与 DC，DB，AB 交 1 2 于点 M，O，N，则 MN 三三、解答题解答题（1719 题每小题题每小题 6 分分，2023 题每小题题每小题 6 分分，2425 题每小题题每小题 6 分分，26 题题 12 分，分，共共 82 分）分） 17 （6

7、 分） （2020郴州）计算：（ ）12cos45+|1|（1）0 1 3 - 23 + 第 4 页（共 27 页） 18 （6 分） （2020郴州）解方程：1 1 = 4 2 1 + 19 （6 分） （2020郴州）如图，在菱形 ABCD 中，将对角线 AC 分别向两端延长到点 E 和 F，使得 AECF连接 DE，DF，BE，BF 求证：四边形 BEDF 是菱形 20 （8 分） （2020郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过 电视、手机 APP 等平台进行教学视频推送某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自 我评价的调查（学习效果分为：A效果很好；B效果较好；

8、C效果一般； D效果 不理想） ，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中 的度数； （3） 某班 4 人学习小组， 甲、 乙 2 人认为效果很好， 丙认为效果较好， 丁认为效果一般 从 学习小组中随机抽取2人， 则 “1人认为效果很好， 1人认为效果较好” 的概率是多少？（要 求画树状图或列表求概率） 21 （8 分） （2020郴州）2020 年 5 月 5 日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火 箭在海南文昌首飞成功运载火箭从地面 O 处发射，当火箭到达点 A 时，地面 D 处的雷 达站测得 AD4

9、000 米，仰角为 303 秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C 处的雷达站测得 B 处的仰角为 45已知 C，D 两处相距 460 米，求火箭从 A 到 B 处的 平均速度（结果精确到 1 米/秒，参考数据：1.732，1.414） 3 2 第 5 页（共 27 页） 22 （8 分） （2020郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共 540 吨，甲物资单价为 3 万元/吨，乙物资单价为 2 万元/吨，采购两种物资共花费 1380 万元 （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？ （2）现在计划安排 A，B 两种不同规格的卡车共 50 辆来运输这批物资甲物资 7 吨

10、和乙 物资 3 吨可装满一辆 A 型卡车；甲物资 5 吨和乙物资 7 吨可装满一辆 B 型卡车按此要 求安排 A，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？ 23 （8 分） （2020郴州）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径直线 l 与O 相切 于点 A，在 l 上取一点 D 使得 DADC，线段 DC，AB 的延长线交于点 E （1）求证：直线 DC 是O 的切线； （2）若 BC2，CAB30，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 24 （10 分） （2020郴州）为了探索函数 yx（x0）的图象与性质，我们参照学习函+ 1 数的过程与方法 列表： x 1 4 1 3 1 2 1

11、 2 3 4 5 y 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 26 5 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标， 描出相应的点，如图 1 所示： 第 6 页（共 27 页） （1）如图 1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象 ； （2）已知点（x1，y1） ， （x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若 0 x1x21，则 y1 y2；若 1x1x2，则 y1 y2； 若 x1x21，则 y1 y2（填“” ， “”或“” ） （3） 某农户要建造一个图 2 所示的长方体形无

12、盖水池， 其底面积为 1 平方米， 深为 1 米 已 知底面造价为 1 千元/平方米， 侧面造价为 0.5 千元/平方米 设水池底面一边的长为 x 米， 水池总造价为 y 千元 请写出 y 与 x 的函数关系式； 若该农户预算不超过 3.5 千元，则水池底面一边的长 x 应控制在什么范围内？ 25 （10 分） （2020郴州）如图 1，在等腰直角三角形 ADC 中，ADC90，AD4点 E 是 AD 的中点，以 DE 为边作正方形 DEFG，连接 AG，CE将正方形 DEFG 绕点 D 顺 时针旋转，旋转角为 （090） （1）如图 2，在旋转过程中， 判断AGD 与CED 是否全等，并说明

13、理由； 当 CECD 时，AG 与 EF 交于点 H，求 GH 的长 （2）如图 3，延长 CE 交直线 AG 于点 P 求证：AGCP； 在旋转过程中，线段 PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在， 请说明理由 第 7 页（共 27 页） 26 （12 分） （2020郴州）如图 1，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0） ，与 y 轴交于点 C已知直线 ykx+n 过 B，C 两点 （1）求抛物线和直线 BC 的表达式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点 如图 1， 若点 P 在第一象限内， 连接 PA， 交直线 BC 于点 D

14、 设PDC 的面积为 S1， ADC 的面积为 S2，求的最大值； 1 2 如图 2，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 E，过点 E 作 EFBC，垂足为 F点 Q 是对 称轴 l 上的一个动点，是否存在以点 E，F，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由 第 8 页（共 27 页） 2020 年湖南省郴州市中考数学试卷年湖南省郴州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（共共 8 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 24 分）分） 1 （3 分） （2020郴州）如图表示互为相反数的两个点是（

15、） A点 A 与点 B B点 A 与点 D C点 C 与点 B D点 C 与点 D 【解答】解：3 和3 互为相反数，则点 A 与点 D 表示互为相反数的两个点 故选：B 2 （3 分） （2020郴州）2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发 射中心点火升空 北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务， 授时精度可达 10 纳秒 （1 秒1000000000 纳秒） 用科学记数法表示 10 纳秒为（） A1108秒 B1109秒 C10109秒 D0.1109秒 【解答】解：1 秒1000000000 纳秒， 10 纳秒101000000000 秒0.000 00

16、001 秒1108秒 故选：A 3 （3 分） （2020郴州）下列图形是中心对称图形的是（） A B C D 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 4 （3 分） （2020郴州）下列运算正确的是（） A （a）4a4 Ba2a3a6 C D2a3+3a25a5 8 2 =6 第 9 页（共 27 页） 【解答】解：A、 （a）4a4，正确； B、a2a3a5，故此选项错误； C、2，故此选项错误； 8 2 =2 2 =2 D、2a3+3a2，不

17、是同类项，无法合并，故此选项错误； 故选：A 5 （3 分） （2020郴州） 如图， 直线 a， b 被直线 c， d 所截 下列条件能判定 ab 的是 （） A13 B2+4180 C45 D12 【解答】解：A、当13 时，cd，故此选项不合题意； B、当2+4180时，cd，故此选项不合题意； C、当45 时，cd，故此选项不合题意； D、当12 时，ab，故此选项符合题意； 故选：D 6 （3 分） （2020郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（cm） 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售数量（双） 2 7 18 10 8 3 则该组数据

18、的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（） A中位数 B平均数 C众数 D方差 【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据 的众数 故选：C 7 （3 分） （2020郴州）如图 1，将边长为 x 的大正方形剪去一个边长为 1 的小正方形（阴 影部分） ，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2 所示 长方形这两个图能解释下列哪个等式（） 第 10 页（共 27 页） Ax22x+1（x1）2 Bx21（x+1） （x1） Cx2+2x+1（x+1）2 Dx2xx（x1） 【解答】解：由图可知， 图 1 的面积为：x212，

19、 图 2 的面积为：（x+1） （x1） ， 所以 x21（x+1） （x1） 故选：B 8 （3 分） （2020郴州）在平面直角坐标系中，点 A 是双曲线 y1（x0）上任意一点，= 1 连接 AO，过点 O 作 AO 的垂线与双曲线 y2（x0）交于点 B，连接 AB，已知= 2 = 2，则（） 1 2 = A4 B4 C2 D2 【解答】解：作 ADx 轴于 D，BEx 轴于 E， 点 A 是双曲线 y1（x0）上的点，点 B 是双曲线 y2（x0）上的点， = 1 = 2 SAOD|k1|k1，SBOE|k2|k2， = 1 2 = 1 2 = 1 2 =- 1 2 AOB90， B

20、OE+AOD90， AOD+OAD90， BOEOAD， 第 11 页（共 27 页） BEOOAD90， BOEOAD， （）2， 1 2 = 22， 1 21 1 22 = 4， 1 2 = 故选：B 二、填空题（二、填空题（共共 8 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 24 分）分） 9 （3 分） （2020郴州）若分式的值不存在，则 x1 1 + 1 【解答】解：若分式的值不存在， 1 + 1 则 x+10， 解得：x1， 故答案为：1 10 （3 分） （2020郴州）已知关于 x 的一元二次方程 2x25x+c0 有两个相等的实数根， 则 c 25 8 【解答】解：根据题

21、意得（5）242c0， 解得 c = 25 8 故答案为： 25 8 11 （3 分） （2020郴州）质检部门从 1000 件电子元件中随机抽取 100 件进行检测，其中有 2 件是次品试据此估计这批电子元件中大约有20件次品 【解答】解：100020（件） ， 2 100 = 即这批电子元件中大约有 20 件次品， 第 12 页（共 27 页） 故答案为：20 12 （3 分） （2020郴州）某 5 人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为： 86，88，90，92，94，方差为 S28.0，后来老师发现每人都少加了 2 分，每人补加 2 分 后，这 5 人新成绩的方差 S新

22、 28.0 【解答】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均 数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， 所得到的一组新数据的方差为 S新 28.0； 故答案为：8.0 13 （3 分） （2020郴州）小红在练习仰卧起坐，本月 1 日至 4 日的成绩与日期具有如下关 系： 日期 x（日） 1 2 3 4 成绩 y（个） 40 43 46 49 小红的仰卧起坐成绩 y 与日期 x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为y 3x+37 【解答】解：设该函数表达式为 ykx+b，根据题意得： ， k + b = 40 2 + = 43 解得， k = 3 = 37 该函

23、数表达式为 y3x+37 故答案为：y3x+37 14 （3 分） （2020郴州）在平面直角坐标系中，将AOB 以点 O 为位似中心， 为位似比 2 3 作位似变换，得到A1OB1，已知 A（2，3） ，则点 A1的坐标是（ ，2） 4 3 【解答】解：将AOB 以点 O 为位似中心， 为位似比作位似变换，得到A1OB1，A 2 3 （2，3） ， 第 13 页（共 27 页） 点 A1的坐标是：（2，3） ， 2 3 2 3 即 A1（ ，2） 4 3 故答案为：（ ，2） 4 3 15 （3 分） （2020郴州）如图，圆锥的母线长为 10，侧面展开图的面积为 60，则圆锥主 视图的面积

24、为48 【解答】解：根据圆锥侧面积公式：Srl， 圆锥的母线长为 10， 侧面展开图的面积为 60， 故 6010r， 解得：r6 由勾股定理可得圆锥的高8， =102 62= 圆锥的主视图是一个底边为 12，高为 8 的等腰三角形， 它的面积48， = 1 2 12 8 = 故答案为：48 16 （3 分） （2020郴州）如图，在矩形 ABCD 中，AD4，AB8分别以点 B，D 为圆心， 以大于 BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和 F作直线 EF 分别与 DC，DB，AB 交 1 2 于点 M，O，N，则 MN2 5 【解答】解：如图，连接 DN， 第 14 页（共 27 页）

25、在矩形 ABCD 中，AD4，AB8， BD4， =2+ 2=5 根据作图过程可知： MN 是 BD 的垂直平分线， DNBN，OBOD2， 5 ANABBNABDN8DN， 在 RtADN 中，根据勾股定理，得 DN2AN2+AD2， DN2（8DN）2+42， 解得 DN5， 在 RtDON 中，根据勾股定理，得 ON， =2 2=5 CDAB， MDONBO， DMOBNO， ODOB， DMOBNO（AAS） ， OMON， = 5 MN2 5 故答案为：2 5 三三、解答题解答题（1719 题每小题题每小题 6 分分，2023 题每小题题每小题 6 分分，2425 题每小题题每小题

26、6 分分，26 题题 12 分，分，共共 82 分）分） 17 （6 分） （2020郴州）计算：（ ）12cos45+|1|（1）0 1 3 - 23 + 【解答】解：原式3211 2 2 +2 第 15 页（共 27 页） 32 - 2+2 1 18 （6 分） （2020郴州）解方程：1 1 = 4 2 1 + 【解答】解：1， 1 = 4 2 1 + 方程两边都乘（x1） （x+1） ，得 x（x+1）4+（x1） （x+1） ， 解得 x3， 检验：当 x3 时， （x1） （x+1）80 故 x3 是原方程的解 19 （6 分） （2020郴州）如图，在菱形 ABCD 中，将对角线

27、 AC 分别向两端延长到点 E 和 F，使得 AECF连接 DE，DF，BE，BF 求证：四边形 BEDF 是菱形 【解答】证明：方法一： 四边形 ABCD 是菱形， BCCD，DCABCA， DCFBCF， CFCF， CDFCBF（SAS） ， DFBF， ADBC， DAEBCF， AECF，DAAB， DAEBFC（SAS） ， DEBF， 第 16 页（共 27 页） 同理可证：DCFBEA（SAS） ， DFBE， 四边形 BEDF 是平行四边形， DFBF， 平行四边形 BEDF 是菱形 方法二：ABCD 为菱形 ABBCCDAD，DACDCABCABAC， EADEABFCDF

28、CB， 所以就能得到四个三角形全等， 所以四条边相等， 所以四边形 BEDF 为菱形 20 （8 分） （2020郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过 电视、手机 APP 等平台进行教学视频推送某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自 我评价的调查（学习效果分为：A效果很好；B效果较好；C效果一般； D效果 不理想） ，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了200名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中 的度数； （3） 某班 4 人学习小组， 甲、 乙 2 人认为效果很好， 丙认为效果较好， 丁认为效果一般 从 学习小组中随

29、机抽取2人， 则 “1人认为效果很好， 1人认为效果较好” 的概率是多少？（要 求画树状图或列表求概率） 【解答】解：（1）8040%200（名） ， 故答案为：200； （2）20080602040（名） ，36072，补全条形统计图如图所示： 40 200 = 第 17 页（共 27 页） （3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 12 种可能出现的结果，其中“1 人认为效果很好，1 人认为效果较好”即：1 人为 A，1 人为 B 的有 2 种， P（1 人认为效果很好，1 人认为效果较好） = 2 12 = 1 6 21 （8 分） （2020郴州）2020 年 5 月 5

30、日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火 箭在海南文昌首飞成功运载火箭从地面 O 处发射，当火箭到达点 A 时，地面 D 处的雷 达站测得 AD4000 米，仰角为 303 秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C 处的雷达站测得 B 处的仰角为 45已知 C，D 两处相距 460 米，求火箭从 A 到 B 处的 平均速度（结果精确到 1 米/秒，参考数据：1.732，1.414） 3 2 【解答】解：设火箭从 A 到 B 处的平均速度为 x 米/秒，根据题意可知： AB3x， 在 RtADO 中，ADO30，AD4000， AO2000， 第 18 页（共 27 页） DO2000

31、， 3 CD460， OCODCD2000460， 3 在 RtBOC 中，BCO45， BOOC， OBOA+AB2000+3x， 2000+3x2000460， 3 解得 x335（米/秒） 答：火箭从 A 到 B 处的平均速度为 335 米/秒 22 （8 分） （2020郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共 540 吨，甲物资单价为 3 万元/吨，乙物资单价为 2 万元/吨，采购两种物资共花费 1380 万元 （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？ （2）现在计划安排 A，B 两种不同规格的卡车共 50 辆来运输这批物资甲物资 7 吨和乙 物资 3 吨可装满一辆

32、A 型卡车；甲物资 5 吨和乙物资 7 吨可装满一辆 B 型卡车按此要 求安排 A，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？ 【解答】解：（1）设甲物资采购了 x 吨，乙物质采购了 y 吨， 依题意，得：， x + y = 540 3 + 2 = 1380 解得： x = 300 = 240 答：甲物资采购了 300 吨，乙物质采购了 240 吨 （2）设安排 A 型卡车 m 辆，则安排 B 型卡车（50m）辆， 依题意，得：， 7m + 5(50 - m) 300 3 + 7(50 ) 240 解得：25m27 1 2 m 为正整数， m 可以为 25，26，27， 共有 3 种运输方案，

33、方案 1：安排 25 辆 A 型卡车，25 辆 B 型卡车；方案 2：安排 26 辆 A 型卡车，24 辆 B 型卡车；方案 3：安排 27 辆 A 型卡车，23 辆 B 型卡车 23 （8 分） （2020郴州）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径直线 l 与O 相切 于点 A，在 l 上取一点 D 使得 DADC，线段 DC，AB 的延长线交于点 E 第 19 页（共 27 页） （1）求证：直线 DC 是O 的切线； （2）若 BC2，CAB30，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 【解答】 （1）证明：连接 OC， AB 是O 的直径直线 l 与O 相切于点 A， DAB90，

34、DADC，OAOC， DACDCA，OACOCA， DCA+ACODAC+CAO， 即DCODAO90， OCBD， 直线 DC 是O 的切线； （2）解：CAB30， BOC2CAB60， OCOB， COB 是等边三角形， OCOBBC2， CEOC2， = 33 图中阴影部分的面积SOCES扇形 COB2 = 1 2 2 23 60 22 360 =3 2 3 第 20 页（共 27 页） 24 （10 分） （2020郴州）为了探索函数 yx（x0）的图象与性质，我们参照学习函+ 1 数的过程与方法 列表： x 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 5 y 17 4 10 3 5 2

35、 2 5 2 10 3 17 4 26 5 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标， 描出相应的点，如图 1 所示： （1）如图 1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象 ； （2）已知点（x1，y1） ， （x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若 0 x1x21，则 y1y2；若 1x1x2，则 y1y2； 若 x1x21，则 y1y2（填“” ， “”或“” ） （3） 某农户要建造一个图 2 所示的长方体形无盖水池， 其底面积为 1 平方米， 深为 1 米 已 知底面造价为 1 千元/平方

36、米， 侧面造价为 0.5 千元/平方米 设水池底面一边的长为 x 米， 水池总造价为 y 千元 请写出 y 与 x 的函数关系式； 若该农户预算不超过 3.5 千元，则水池底面一边的长 x 应控制在什么范围内？ 【解答】解：（1）函数图象如图所示： 第 21 页（共 27 页） （2）若 0 x1x21，则 y1y2；若 1x1x2，则 y1y2， 若 x1x21，则 y1y2 故答案为， （3）由题意，y1+（2x）0.51+x（x0） + 2 + 1 由题意 1+x3.5， + 1 x0， 可得 2x25x+20， 解得：x2， 1 2 长 x 应控制在x2 的范围内 1 2 25 （10

37、 分） （2020郴州）如图 1，在等腰直角三角形 ADC 中，ADC90，AD4点 E 是 AD 的中点，以 DE 为边作正方形 DEFG，连接 AG，CE将正方形 DEFG 绕点 D 顺 时针旋转，旋转角为 （090） （1）如图 2，在旋转过程中， 判断AGD 与CED 是否全等，并说明理由； 当 CECD 时，AG 与 EF 交于点 H，求 GH 的长 （2）如图 3，延长 CE 交直线 AG 于点 P 求证：AGCP； 在旋转过程中，线段 PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在， 请说明理由 第 22 页（共 27 页） 【解答】解：（1）如图 2 中，结论：AGD

38、CED 理由：四边形 EFGD 是正方形， DGDE，GDE90， DADC，ADC90， GDEADC， ADGCDE， AGDCED（SAS） 如图 2 中，过点 A 作 ATGD 于 T AGDCED，CDCE， ADAG4， ATGD， TGTD1， AT， =2 2=15 第 23 页（共 27 页） EFDG， GHFAGT， FATG90， GFHATG， ， = ， 4 = 2 15 GH = 815 15 （2）如图 3 中，设 AD 交 PC 于 O AGDCED， DAGDCE， DCE+COD90，CODAOP， AOP+DAG90， APO90， CPAG CPA90

39、，AC 是定值， 当ACP 最小时，PC 的值最大， 当 DEPC 时，ACP 的值最小，此时 PC 的值最大，此时点 F 与 P 重合（如图 4 中） ， 第 24 页（共 27 页） CED90，CD4，DE2， EC2， =2 2=42 22=3 EFDE2， CPCE+EF2+2， 3 PC 的最大值为 2+2 3 26 （12 分） （2020郴州）如图 1，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0） ，与 y 轴交于点 C已知直线 ykx+n 过 B，C 两点 （1）求抛物线和直线 BC 的表达式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点 如图 1

40、， 若点 P 在第一象限内， 连接 PA， 交直线 BC 于点 D 设PDC 的面积为 S1， ADC 的面积为 S2，求的最大值； 1 2 如图 2，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 E，过点 E 作 EFBC，垂足为 F点 Q 是对 称轴 l 上的一个动点，是否存在以点 E，F，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）把 A（1，0） ，B（3，0）代入 yax2+bx+3 得：， a - b + 3 = 0 9 + 3 + 3 = 0 解得， a = - 1 = 2 第 25 页（共 27 页） 抛物线的表达式，y

41、x2+2x+3， 点 C 坐标为（0，3） ， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入 ykx+n 得：， 3k + n = 0 = 3 解得， k = - 1 = 3 直线 BC 的表达式：yx+3 （2）PA 交直线 BC 于点， 设点 D 的坐标为（m，m+3） ， 设直线 PA 的表达式为 yk1x+b1， ， - 1+ 1= 0 1+ 1= + 3 解得， k1= + 3 + 1 1= + 3 + 1 直线 PA 的表达式，yx， = + 3 + 1 + + 3 + 1 xx2+2x+3， + 3 + 1 + + 3 + 1 = 整理得， （x） （x+1）0 - 4 + 1 解得 x

42、或1（不合题意，舍去） ， = 4 + 1 点 D 的横坐标为 m，点 P 的横坐标， 4 + 1 分别过点 D、P 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，如图 1 中： DMPN，OMm，ON，OA1， = 4 + 1 ， 1 2 = = = = 4 + 1 + 1 = 2+ 3 ( + 1)2 第 26 页（共 27 页） 设t，则 t 1 2 = 2+ 3 ( + 1)2 整理得， （t+1）m2+（2t3）m+t0， 0， （2t3）24t（t+1）0， 解得 t 9 16 有最大值，最大值为 1 2 9 16 存在，理由如下：过点 F 作 FGOB 于 G，如图 2 中， yx2+2

43、x+3 的对称轴为 x1， OE1， B（3，0） ，C（0，3） OCOB3，OCB90， OCB 是等腰直角三角形， EFB90，BEOBOE2， OCB 是等腰直角三角形， EGGBEG1， 点 F 的坐标为（2，1） ， 当 EF 为边时， EFPQ 为平行四边形， QEPF，QEPFy 轴， 点 P 的横坐标与点 F 的横坐标同为 2， 当 x2 时，y22+22+33， 点 P 的坐标为（2，3） ， 第 27 页（共 27 页） QEPF312， 点 Q 的坐标为（1，2） ； 当 EF 为对角线时，如图 3 中， PEQF 为平行四边形， QEPF，QEPF轴， 同理求得：点 P 的坐标为（2，3） ， QEPF312， 点 Q 的坐标为（1，2） ； 综上，点 P 的标为（2，3） ，点 Q 的坐标为（1，2）或（1，2） ；