数据结构严蔚敏第6章-2-课件.ppt

1、8/11/20231第六章第六章树和二叉树树和二叉树8/11/20232【课前思考】【课前思考】1.你见过家族谱系图吗？试以图形表示从你的祖你见过家族谱系图吗？试以图形表示从你的祖父起的家族成员关系。父起的家族成员关系。2.这类图形正是本章要讨论的这类图形正是本章要讨论的树树结构，你试用结构，你试用关系关系(即有序对的集合即有序对的集合)表示上列的家族谱系图。表示上列的家族谱系图。上列家族谱系图可用如下关系表示：，8/11/20233【学习目标】【学习目标】1领会树和二叉树的类型定义，理解树和二叉树的结构差别。2熟记二叉树的主要特性，并掌握它们的证明方法。3熟练掌握二叉树的各种遍历算法，并能灵

2、活运用遍历算法实现二叉树的其它操作。4理解二叉树的线索化过程以及在中序线索化树上找给定结点的前驱和后继的方法。5熟练掌握二叉树和树的各种存储结构及其建立的算法。6学会编写实现树的各种操作的算法。7了解最优树的特性，掌握建立最优树和赫夫曼编码的方法。8/11/20234【重点和难点】【重点和难点】二叉树和树的遍历及其应用是本章的学习重点，而编写实现二叉树和树的各种操作的递归算法也恰是本章的难点所在。【知识点】树的类型定义、二叉树的类型定义、二叉树的存储表示、二叉树的遍历以及其它操作的实现、线索二叉树、树和森林的存储表示、树和森林的遍历以及其它操作的实现、最优树和赫夫曼编码8/11/20235【学

3、习指南】【学习指南】本章是整个课程的第二个学习重点，也是整个课程中的一大难点。在本章的学习过程中主要应该学会如何根据二叉树和树的结构及其操作的递归定义编写递归算法。本 章 必 须 完 成 的 算 法 设 计 题 为:6.27,6.28,6.33,6.41,6.43,6.45,6.46,6.47,6.49,6.50,6.51,6.57,6.59,6.68和6.66。8/11/202366.1 树的类型定义树的类型定义6.2 6.2 二叉树的类型定义二叉树的类型定义6.3 二叉树的存储结构二叉树的存储结构6.4 二叉树的遍历二叉树的遍历6.5 线索二叉树线索二叉树6.6 树和森林的表示方法树和森林

4、的表示方法6.7 树和森林的遍历树和森林的遍历6.8 哈夫曼树与哈夫曼编码哈夫曼树与哈夫曼编码8/11/202376.1 树的类型定义树的类型定义树树是由是由n（n0）个结点组成的有限集合。若）个结点组成的有限集合。若n=0，称为，称为空树空树；若；若n0，则：，则：（1）其中必有一个称为）其中必有一个称为根（根（root）的特定结点，它没有直接前驱，的特定结点，它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继；但有零个或多个直接后继；（2）除根结点以外的其它）除根结点以外的其它n-1结点可以划分为结点可以划分为m（m0）个互不相）个互不相交的有限集合交的有限集合T0，T1，Tm-1，每个集合，每个集合

5、Ti（i=0,1,m-1）又是）又是一棵树，称为根的子树，每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，一棵树，称为根的子树，每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可以有但可以有0个或多个直接后继。个或多个直接后继。由此可知，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到了树由此可知，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到了树的概念。的概念。8/11/20238ADT Tree数据对象数据对象 D：D是具有相同特性的数据元素的集合。是具有相同特性的数据元素的集合。若若D为空集，则称为空树为空集，则称为空树。否则否则:(1)在在D中存在唯一的称为根的数据元素中存在唯一的称为根的数据元素root；(

6、2)当当n1时，其余结点可分为时，其余结点可分为m(m0)个互个互 不相交的有限集不相交的有限集T1,T2,Tm，其中每一，其中每一 棵子集本身又是一棵符合本定义的树，棵子集本身又是一棵符合本定义的树，称为根称为根root的子树。的子树。数据关系数据关系 R：8/11/20239 基本操作：基本操作：查查 找找 类类 插插 入入 类类删删 除除 类类ADT Tree8/11/202310 Root(T)/求树的根结点求树的根结点 查找类：查找类：Value(T,cur_e)/求当前结点的元素值求当前结点的元素值 Parent(T,cur_e)/求当前结点的双亲结点求当前结点的双亲结点LeftC

7、hild(T,cur_e)/求当前结点的最左孩子求当前结点的最左孩子 RightSibling(T,cur_e)/求当前结点的右兄弟求当前结点的右兄弟TreeEmpty(T)/判定树是否为空树判定树是否为空树 TreeDepth(T)/求树的深度求树的深度TraverseTree(T,Visit()/遍历遍历8/11/202311InitTree(&T)/初始化置空树初始化置空树 插入类：插入类：CreateTree(&T,definition)/按定义构造树按定义构造树Assign(T,cur_e,value)/给当前结点赋值给当前结点赋值InsertChild(&T,&p,i,c)/将以将

8、以c为根的树插入为结点为根的树插入为结点p的第的第i棵子树棵子树8/11/202312 ClearTree(&T)/将树清空将树清空 删除类：删除类：DestroyTree(&T)/销毁树的结构销毁树的结构DeleteChild(&T,&p,i)/删除结点删除结点p的第的第i棵子树棵子树8/11/202313ABCDEFGHIJMKLA(B(E,F(K,L),C(G),D(H,I,J(M)T1T3T2树根例如例如:8/11/202314()有确定的根；()树根和子树根之间为有向关系。有向树：有向树：有序树：有序树：子树之间存在确定的次序关系。无序树：无序树：子树之间不存在确定的次序关系。8/1

9、1/202315对比对比树型结构树型结构和和线性结构线性结构的结构特点的结构特点一棵树的逻辑结构可以用二元组描述为：一棵树的逻辑结构可以用二元组描述为：tree=(k,R)k=ki 1in;n0,ki elemtype R=r其中，其中，n为树中结点个数，若为树中结点个数，若 n=0，则为一棵空树，则为一棵空树，n 0时称为时称为一棵非空树，而关系一棵非空树，而关系 r 应满足下列条件：应满足下列条件：（1）有且仅有一个结点没有前驱）有且仅有一个结点没有前驱,称该结点为树根称该结点为树根;（2）除根结点以外）除根结点以外,其余每个结点有且仅有一个直接前驱其余每个结点有且仅有一个直接前驱;（3）

10、树中每个结点可以有多个直接后继）树中每个结点可以有多个直接后继(孩子结点孩子结点)。8/11/202316线性结构线性结构树型结构树型结构第一个数据元素第一个数据元素 (无前驱无前驱)根结点根结点 (无前驱无前驱)最后一个数据元素最后一个数据元素 (无后继无后继)多个叶子结点多个叶子结点 (无后继无后继)其它数据元素其它数据元素(一个前驱、一个前驱、一个后继一个后继)其它数据元素其它数据元素(一个前驱、一个前驱、多个后继多个后继)8/11/202317基基 本本 术术 语语8/11/202318结点结点:结点的度结点的度:树的度树的度:叶子结点叶子结点:分支结点分支结点:数据元素+若干指向子树

11、的分支分支的个数树中所有结点的度的最大值度为零的结点度大于零的结点HIJMDD8/11/202319(从根到结点的)路径路径：孩子孩子结点、双亲双亲结点兄弟兄弟结点、堂兄弟祖先祖先结点、子孙子孙结点结点的层次结点的层次:树的深度：树的深度：由从根根到该结点所经分支和结点构成ABCDEFGHIJMKL假设根结点的层次为1，第l 层的结点的子树根结点（即孩子结点）的层次为l+1树中叶子结点所在的最大层次8/11/202320任何一棵非空树是一个二元组 Tree=（root，F）其中：root 被称为根结点 F 被称为子树森林森林：森林：是m（m0）棵互不相交的树的集合ArootBCDEFGHIJM

12、KLF8/11/2023216.2 二叉树的类型定义二叉树的类型定义8/11/202322 二叉树或为空树空树，或是由一个根结根结点点加上两棵两棵分别称为左子树左子树和右子树的、互不交的互不交的二叉树二叉树组成。ABCDEFGHK根结点左子树右子树8/11/202323二叉树的特点：二叉树的特点：（1）每个结点的度都不大于每个结点的度都不大于2，即每，即每个结点的度为个结点的度为0、1或或2；（2）每个结点的孩子结点次序不能每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。即每个孩子有左右之分。我任意颠倒。即每个孩子有左右之分。我们把位于左边的孩子叫做们把位于左边的孩子叫做左孩子左孩子，位于，位于右边的孩子

13、叫做右边的孩子叫做右孩子右孩子。8/11/202324二叉树的五种基本形态：二叉树的五种基本形态：N空树空树只含根结点只含根结点NNNLRR右子树为空树右子树为空树L左子树为空树左子树为空树左右子左右子树均不树均不为空树为空树8/11/202325 二叉树的主要基本操作二叉树的主要基本操作：查查 找找 类类插插 入入 类类删删 除除 类类8/11/202326 Root(T);Value(T,e);Parent(T,e);LeftChild(T,e);RightChild(T,e);LeftSibling(T,e);RightSibling(T,e);BiTreeEmpty(T);BiTree

14、Depth(T);PreOrderTraverse(T,Visit();InOrderTraverse(T,Visit();PostOrderTraverse(T,Visit();LevelOrderTraverse(T,Visit();查查 找找 类类8/11/202327 InitBiTree(&T);Assign(T,&e,value);CreateBiTree(&T,definition);InsertChild(T,p,LR,c);插插 入入 类类8/11/202328ClearBiTree(&T);DestroyBiTree(&T);DeleteChild(T,p,LR);删删 除

15、除 类类8/11/202329二叉树二叉树的重要特性的重要特性8/11/202330 性质性质 1：在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结点。(i1)用归纳法证明用归纳法证明：归纳基归纳基：归纳假设：归纳假设：归纳证明：归纳证明：i=1 层时，只有一个根结点：2i-1=20=1；假设对所有的 j，1 j i，命题成立；二叉树上每个结点至多有两棵子树，则第 i 层的结点数=2i-2 2=2i-1。8/11/202331性质性质 2：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k1）。证明：证明：基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为 20+21+2k-1=2k-1。8/11

16、/202332 性质性质 3：对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0=n2+1。证明：证明：设设 二叉树上结点总数 n=n0+n1+n2又又 二叉树上分支总数(即边数)b=n1+2n2 而 n=b+1=b=n-1=n0+n1+n2-1由此，由此，n0=n2+1。8/11/202333两类两类特殊特殊的二叉树：的二叉树：满二叉树满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。完全二叉树完全二叉树：树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号编号为为 1 至至 n 的结点的结点一一对应。123456789 10 11 12 13 14 15abc

17、defghij满二叉树必为完全二叉树，满二叉树必为完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。而完全二叉树不一定是满二叉树。8/11/202334 性质性质 4：具有 n 个结点的完全二叉树的深度深度为 log2n +1。证明：证明：设设完全二叉树的深度为 k 则根据第二条性质得 2k-1-1 n 2k 1或或2k-1 n 2k 即 k-1 log2 n k,log2 n n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子左孩子结点；(3)若 2i+1n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子右孩子结点。8/11/202336 可以用归纳法证明其中的（可以用归纳法证

18、明其中的（2）和（）和（3）：）：当当i=1时，由完全二叉树的定义知，如果时，由完全二叉树的定义知，如果2i=2n，说明二叉树中存在两个或两个以上的结，说明二叉树中存在两个或两个以上的结点，所以其左孩子存在且序号为点，所以其左孩子存在且序号为2；反之，如果反之，如果2n，说明二叉树中不存在序号为，说明二叉树中不存在序号为2的结点，其左的结点，其左孩子不存在。同理，如果孩子不存在。同理，如果2i+1=3n，说明其右说明其右孩子存在且序号为孩子存在且序号为3；如果；如果3n，则二叉树中不存，则二叉树中不存在序号为在序号为3的结点，的结点，其右孩子不存在。其右孩子不存在。假设对于序号为假设对于序号为

19、j(1ji)的结点，当的结点，当2jn时，时，其左孩子存在且序号为其左孩子存在且序号为2j，当，当2jn 时，其左时，其左孩子不存在；当孩子不存在；当2j+1n时，时，其右孩子存在且序其右孩子存在且序号为号为2j+1，当，当2j+1n时，其右孩子不存在。时，其右孩子不存在。8/11/202337 当当i=j+1时，根据完全二叉树的定义，时，根据完全二叉树的定义，若其左若其左孩子存在，孩子存在，则其左孩子结点的序号一定等于序则其左孩子结点的序号一定等于序号为号为j的结点的右孩子的序号加的结点的右孩子的序号加1，即其左孩子结即其左孩子结点的序号等于点的序号等于（2j+1）+1=2（j+1）=2i，

20、且有且有2in；如果；如果2in，则左孩子不存在。则左孩子不存在。若右孩子结点存在，则其右孩子结点的序号应等若右孩子结点存在，则其右孩子结点的序号应等于其左孩子结点的序号加于其左孩子结点的序号加1，即右孩子结点的序，即右孩子结点的序号为号为2i+1，且有，且有2i+1n；如果；如果2i+1n，则，则右孩子不存在。右孩子不存在。故（故（2）和（）和（3）得证。）得证。8/11/202338 由（由（2）和（）和（3）我们可以很容易证明（）我们可以很容易证明（1）。）。当当i=1时，时，显然该结点为根结点，无双亲结点。显然该结点为根结点，无双亲结点。当当i1时，设序号为时，设序号为i的结点的双亲结

21、点的序号为的结点的双亲结点的序号为m，如果序号为，如果序号为i的结点是其双亲结点的左孩子，的结点是其双亲结点的左孩子，根据（根据（2）有）有i=2m，即，即m=i/2;如果序号为如果序号为i的的结点是其双亲结点的右孩子，根据（结点是其双亲结点的右孩子，根据（3）有）有i=2m+1，即即m=（i-1）/2=i/2-1/2，综合这两种，综合这两种情况，可以得到，当情况，可以得到，当i1时，时，其双亲结点的序号其双亲结点的序号等于等于 i/2 。证毕。证毕。对完全二叉树，还有以下性质：对完全二叉树，还有以下性质：（1）若结点）若结点j序号为奇数且不等于序号为奇数且不等于1，则它的左兄弟为，则它的左兄

22、弟为j-1；（2）若结点）若结点j序号为偶数且不等于序号为偶数且不等于n，它的右兄弟为，它的右兄弟为j+1；（3）结点结点j所在层数所在层数(层次层次)为为 log2j+1；8/11/2023396.3 二叉树的存储结构二叉树的存储结构二、二叉树的链式二、二叉树的链式 存储表示存储表示一、一、二叉树的顺序二叉树的顺序 存储表示存储表示二叉树的结构是非线性的，二叉树的结构是非线性的，每一结点最多可有两个后继。每一结点最多可有两个后继。二叉树的存储结构有两种：二叉树的存储结构有两种：顺序存储结构和链式存储结构。顺序存储结构和链式存储结构。8/11/202340#define MAX_TREE_SI

23、ZE 100 /二叉树的最大结点数typedef TElemType SqBiTreeMAX_ TREE_SIZE;/0号单元存储根结点SqBiTree bt;一、一、二叉树的顺序存储表示二叉树的顺序存储表示8/11/202341例如例如:ABCDEF A B D C E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131401326将一棵二叉树按完全二叉树顺序存放到一个一维数将一棵二叉树按完全二叉树顺序存放到一个一维数组中，若该二叉树为非完全二叉树，则必须将相应组中，若该二叉树为非完全二叉树，则必须将相应位置空出来，使存放的结果符合完全二叉树形状。位置空出来，使存放的结果符

24、合完全二叉树形状。8/11/202342二、二叉树的链式存储表示二、二叉树的链式存储表示1.1.二叉链表二叉链表2三叉链表三叉链表3 3双亲链表双亲链表4线索链表线索链表对于一棵二叉树对于一棵二叉树,若采用顺序存贮时若采用顺序存贮时,当它为完全二叉树时当它为完全二叉树时,比比较方便较方便,若为非完全二叉树若为非完全二叉树,将会浪费大量存贮存贮单元。最将会浪费大量存贮存贮单元。最坏的非完全二叉树是全部只有右分支坏的非完全二叉树是全部只有右分支,设高度为设高度为K,则需占用则需占用2K-1个存贮单元个存贮单元,而实际只需而实际只需k个存储单元。因此，对于非完个存储单元。因此，对于非完全二叉树，宜采

25、用下面的链式存储结构。全二叉树，宜采用下面的链式存储结构。8/11/202343ADEBCF rootlchild data rchild结点结构结点结构:1.1.二叉链表二叉链表8/11/202344typedef struct BiTNode /结点结构结点结构 TElemType data;struct BiTNode *lchild,*rchild;/左右孩子指针 BiTNode,*BiTree;lchild data rchild结点结构结点结构:C 语言的类型描述如下语言的类型描述如下:8/11/202345结论：结论：若一个二叉树含有若一个二叉树含有n个结点，则它的二叉链表中必个

26、结点，则它的二叉链表中必含有含有2n个指针域，个指针域，其中必有其中必有n1个空的链域。此结论证明个空的链域。此结论证明如下：如下：证明：分支数目证明：分支数目B=n-1，即非空的链域有，即非空的链域有n-1个，故空个，故空链域有链域有2n-(n-1)=n+1个。个。二叉链表的建立二叉链表的建立为了后面遍历二叉树方便，先介绍建立二叉链表的算法为了后面遍历二叉树方便，先介绍建立二叉链表的算法（假设（假设datatype 为为char型）。型）。根据遍历方法，可采用相应的递归方法建立二叉树，如根据遍历方法，可采用相应的递归方法建立二叉树，如教科书教科书P131算法算法6.4采用先序递归建立二叉树。

27、采用先序递归建立二叉树。8/11/202346Status CreateBiTree(BiTree&T)ch=getchar();if(ch=)T=NULL;else if(!(T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode)exit(OVERFLOW);T-data=ch;/生成根结点 CreateBiTree(T-lchild);/构造左子树 CreateBiTree(T-rchild);/构造右子树 return OK;/CreateBiTree8/11/202347A B C D A BCD上页算法执行过程举例如下：ATBCD8/11/202348下面讨论用队列（按

28、层次进队出队）实现二叉树下面讨论用队列（按层次进队出队）实现二叉树的建立。的建立。假设二叉链表的数据类型描述如刚才所述，为建立假设二叉链表的数据类型描述如刚才所述，为建立二叉链表，二叉链表，用一个一维数组来模拟队列，存放输入用一个一维数组来模拟队列，存放输入的结点，但是，输入结点时，必须按完全二叉树形的结点，但是，输入结点时，必须按完全二叉树形式，才能使结点间满足性质式，才能使结点间满足性质5，若为非完全二叉树，若为非完全二叉树，则必须给定一些假想结点则必须给定一些假想结点(虚结点虚结点)，使之符合完全，使之符合完全二叉树形式二叉树形式。为此，我们在输入结点值时，存在的。为此，我们在输入结点值

29、时，存在的结点则输入它对应的字符，不存在的结点结点则输入它对应的字符，不存在的结点(虚结点虚结点)，输入逗号，最后以一个特殊符号输入逗号，最后以一个特殊符号“#”作为输入的结作为输入的结束束,表示建二叉链表已完成。建成的二叉链表可以由表示建二叉链表已完成。建成的二叉链表可以由根指针根指针root唯一确定。唯一确定。8/11/202349算法描述如下：算法描述如下：#includetypedef char DataType;typedef struct Node DataType data;struct Node*Lchild，*RChild;BiTNode,*BiTree;bitree*cre

30、ate()bitree*q100;/定义定义q数组作为队列存放二叉链表数组作为队列存放二叉链表中结点，中结点，100为最大容量为最大容量 bitree*s;/二叉链表中的结点二叉链表中的结点bitree*root;/二叉链表的根指针二叉链表的根指针 int front=1,rear=0;/定义队列的头、尾指针定义队列的头、尾指针 基本思想基本思想：用一个队列来存放所：用一个队列来存放所有结点（实结点或虚结点）。输有结点（实结点或虚结点）。输入所有结点，并将其进队，若是入所有结点，并将其进队，若是实结点，则生成该结点将其作为实结点，则生成该结点将其作为队首结点的左或右孩子插入，若队首结点的左或右

31、孩子插入，若是虚结点，则以空指针进队。然是虚结点，则以空指针进队。然后根据当前队尾判断是否出队，后根据当前队尾判断是否出队，即根据性质即根据性质5，当队尾为奇数时，当队尾为奇数时，队首的左右孩子已处理结束，应队首的左右孩子已处理结束，应该出队。该出队。8/11/202350 char ch;/结点的结点的data域值域值 root=NULL;ch=getchar();while(ch!=#)/输入值为输入值为#号号,算法结束算法结束 s=NULL;if(ch!=,)/输入数据不为逗号输入数据不为逗号,表示不为虚结点表示不为虚结点,否则为虚结点否则为虚结点 s=(bitree*)malloc(s

32、izeof(BiTNode);s-data=ch;s-lchild=NULL;s-rchild=NULL;rear+;qrear=s;/新结点或虚结点进队新结点或虚结点进队 if(rear=1)root=s;else if(s!=NULL)&(qfront!=NULL)if(rear%2=0)qfront-lchild=s;/rear为偶数为偶数,s为双亲左孩子为双亲左孩子 else qfront-rchild=s;/rear为奇数为奇数,s为双亲右孩子为双亲右孩子 if(rear!=1)&(rear%2=1)front+;/出队出队 ch=getchar();return root;8/11

33、/202351例如，对下图左所示的二叉树，建立的二叉链表如右图所示。A B C D A B C D(a)非完全二叉树 （b）增加虚结点后假想为完全二叉树 图 一棵非完全二叉树假想为完全二叉树(a)非完全二叉树 (b)增加虚结点后假想 A root B C D 图 用上述算法建成的二叉链表 对左图对左图(a)所示的二叉树，要用算法建成右图所示的二叉树所示的二叉树，要用算法建成右图所示的二叉树链表，从键盘输入的数据应为：链表，从键盘输入的数据应为：AB,C,D#其中其中#为输入为输入结束，结束，为回车符。为回车符。8/11/202352ADEBCF root 2三叉链表三叉链表parent lch

34、ild data rchild结点结构结点结构:8/11/202353 typedef struct TriTNode /结点结构结点结构 TElemType data;struct TriTNode *lchild,*rchild;/左右孩子指针 struct TriTNode *parent;/双亲指针 TriTNode,*TriTree;parent lchild data rchild结点结构结点结构:C 语言的类型描述如下语言的类型描述如下:8/11/2023540123456B2C0A-1D2E3F4 data parent结点结构结点结构:3 3双亲链表双亲链表LRTagLRRR

35、LData:数据Parent:指向双亲的指针LRTag:左右孩子标志域图 一棵二叉树 A B C D E F 8/11/202355 typedef struct BPTNode /结点结构结点结构 TElemType data;int *parent;/指向双亲的指针 char LRTag;/左、右孩子标志域 BPTNode typedef struct BPTree/树结构树结构 BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE;int num_node;/结点数目 int root;/根结点的位置 BPTree8/11/2023566.4二叉树的遍历二叉树的遍历8/11/202357

36、一、问题的提出一、问题的提出二、先左后右的遍历算法二、先左后右的遍历算法三、算法的递归描述三、算法的递归描述四、遍历算法的非递归描述四、遍历算法的非递归描述五五、遍历算法的应用举例遍历算法的应用举例8/11/202358 顺着某一条搜索路径巡访巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一均被访问一次次，而且仅被访问一次仅被访问一次。一、问题的提出一、问题的提出“访问访问”的含义可以很广，如：输出结点的信息等。8/11/202359 “遍历遍历”是任何类型均有的操作，对线性结构而言，只有一条搜索路径(因为每个结点均只有一个后继)，故不需要另加讨论。而二叉树是非线性结构，每个结点有两个后继每个结点有

37、两个后继，则存在如何遍历存在如何遍历即按什么样的搜索搜索路径路径遍历的问题。8/11/202360对对“二叉树二叉树”而言，可以有三而言，可以有三条搜索路径：条搜索路径：1先上后下先上后下的按层次遍历；2先左先左（子树）后右后右（子树）的遍历；3先右先右（子树）后左后左（子树）的遍历。8/11/202361二、先左后右的遍历算法二、先左后右的遍历算法先先（根）序的遍历算法中中（根）序的遍历算法后后（根）序的遍历算法8/11/202362 若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。先（根）序的遍历算法：先（根）序的遍历算法：8/11/20236

38、3 若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。中（根）序的遍历算法：中（根）序的遍历算法：8/11/202364 若二叉树为空树，则空操作；否则，（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。后（根）序的遍历算法：后（根）序的遍历算法：8/11/202365 最早提出遍历问题是对存储在计算机中的表达最早提出遍历问题是对存储在计算机中的表达式求值。例如：（式求值。例如：（a+b*c）-d/e。该表达式用二叉。该表达式用二叉树表示如下图所示。当对此二叉树进行树表示如下图所示。当对此二叉树进行先序、中先序、中序、后序序、后序遍历时，

39、便可获得表达式的遍历时，便可获得表达式的前缀、前缀、中缀、中缀、后缀后缀书写形式：书写形式：前缀：前缀：-+a*bc/de 中缀：中缀：a+b*c-d/e 后缀：后缀：abc*+de/-其中中缀形式是算术表达式的通常形式，只是没其中中缀形式是算术表达式的通常形式，只是没有括号。有括号。前缀表达式前缀表达式称为称为波兰表达式波兰表达式。算术表达。算术表达式的式的后缀表达式后缀表达式被称作被称作逆波兰表达式逆波兰表达式。在计算机在计算机内，内，使用后缀表达式易于求值。使用后缀表达式易于求值。/edcb*a图图 算术式的二叉树表示算术式的二叉树表示 8/11/202366三、算法的递归描述三、算法的

40、递归描述void Preorder(BiTree T,void(*visit)(TElemType&e)/先序遍历二叉树 if(T)visit(T-data);/访问结点 Preorder(T-lchild,visit);/遍历左子树 Preorder(T-rchild,visit);/遍历右子树 8/11/202367void Inorder(BiTree T,void(*visit)(TElemType&e)/中序遍历二叉树 if(T)Ineorder(T-lchild,visit);/遍历左子树 visit(T-data);/访问结点 Ineorder(T-rchild,visit);/

41、遍历右子树 8/11/202368void Postorder(BiTree T,void(*visit)(TElemType&e)/后序遍历二叉树 if(T)Postorder(T-lchild,visit);/遍历左子树 Postorder(T-rchild,visit);/遍历右子树 visit(T-data);/访问结点 8/11/202369四、遍历算法的非递归描述四、遍历算法的非递归描述利用一个一维数组作为栈，来存储二叉链表中利用一个一维数组作为栈，来存储二叉链表中结点。结点。算法思想为：算法思想为：从二叉树根结点开始，沿左子树一直走到从二叉树根结点开始，沿左子树一直走到末端末端(

42、左孩子为空左孩子为空)为止，在走的过程中，访问为止，在走的过程中，访问所遇结点，并依次把所遇结点，并依次把所遇结点进栈所遇结点进栈，当左子树，当左子树为空时，从栈顶为空时，从栈顶退出某结点退出某结点，并将，并将指针指向该指针指向该结点的右孩子结点的右孩子。如此重复，直到栈为空或指针。如此重复，直到栈为空或指针为空止。为空止。1.先序遍历二叉树的非递归算法先序遍历二叉树的非递归算法8/11/202370算法如下：算法如下：void preorder1(bitree*root)bitree*p,*s100;int top=0;/top为栈顶指针为栈顶指针 p=root;while(p!=NULL)

43、|(top0)while(p!=NULL)printf(“%c”,p-data);s+top=p;p=p-lchild;p=stop-;p=p-rchild;【算法】【算法】先序遍历二叉树的非递归算法先序遍历二叉树的非递归算法 8/11/202371图 中序遍历二叉树的非递归算法处理流程 ABDCE(a)二叉树的遍历走向BD第一次经过第二次经过第三次经过(b)遍历中三次经过结点的情形 2.中序遍历二叉树的非递归算法中序遍历二叉树的非递归算法 利用一个一维数组作栈，来存贮二叉链表中结点。利用一个一维数组作栈，来存贮二叉链表中结点。算法思想为：算法思想为：从二叉树根结点开始，沿左子树一直走到末端从

44、二叉树根结点开始，沿左子树一直走到末端(左左孩子为空孩子为空)为止，在走的过程中，把依次遇到的结点进为止，在走的过程中，把依次遇到的结点进栈栈,待左子树为空时待左子树为空时,从栈中退出结点并访问从栈中退出结点并访问,然后再转然后再转向它的右子树。如此重复，直到栈空或指针为空止。向它的右子树。如此重复，直到栈空或指针为空止。8/11/202372void InOrder（BiTree root）/*中序遍历二叉树的非递归算法中序遍历二叉树的非递归算法*/InitStack(&S);p=root;while(p!=NULL|!IsEmpty(S)if(p!=NULL)/*根指针进栈，根指针进栈，遍

45、历左子树遍历左子树*/Push(&S,p);p=p-lchild;else /*根指针退栈，根指针退栈，访问根结点，访问根结点，遍历右子树遍历右子树*/Pop(&S,&p);Visit(p-data);p=p-rchild;【算法【算法(a)中序遍历二叉树的非递归算法中序遍历二叉树的非递归算法(调用栈操作的函数调用栈操作的函数)】8/11/202373/*sm 表示栈，表示栈，top表示栈顶指针表示栈顶指针*/void inorder(BiTree root)/*中序遍历二叉树，中序遍历二叉树，root为二叉树的根结点为二叉树的根结点*/top=0;p=root;do do while(p!=

46、NULL)top=top+1;stop=p;p=p-lchild ;/*遍历左子树遍历左子树*/if(top=0)p=stop;top=top-1;Visit(p-data);/*访问根结点访问根结点 printf(“%c”,p-data);*/p=p-rchild;/*遍历右子树遍历右子树*/while(p!=NULL|top!=0)【算法【算法(b)中序遍历二叉树的非递归算法中序遍历二叉树的非递归算法(直接实现栈操作直接实现栈操作)8/11/2023743.后序遍历二叉树的非递归算法后序遍历二叉树的非递归算法利用栈来实现二叉树的后序遍历要比前序和利用栈来实现二叉树的后序遍历要比前序和中序遍

47、历复杂得多，在后序遍历中，当搜索中序遍历复杂得多，在后序遍历中，当搜索指针指向某一个结点时，不能马上进行访问，指针指向某一个结点时，不能马上进行访问，而先要遍历左子树，所以此结点应先进栈保而先要遍历左子树，所以此结点应先进栈保存，当遍历完它的左子树后，再次回到该结存，当遍历完它的左子树后，再次回到该结点，还不能访问它，还需先遍历其右子树点，还不能访问它，还需先遍历其右子树,所所以该结点还必须再次进栈，只有等它的右子以该结点还必须再次进栈，只有等它的右子树遍历完后，再次退栈时，才能访问该结点。树遍历完后，再次退栈时，才能访问该结点。为了区分同一结点的两次进栈，引入一个栈为了区分同一结点的两次进栈

48、，引入一个栈次数的标志，一个元素第一次进栈标志为次数的标志，一个元素第一次进栈标志为0，第二次进标志为第二次进标志为1，并将标志存入另一个栈中，并将标志存入另一个栈中，当从标志栈中退出的元素为当从标志栈中退出的元素为1时，访问结点。时，访问结点。8/11/202375后序遍历二叉树的非递归算法如下：后序遍历二叉树的非递归算法如下：void postorder1(bitree*root)bitree*p,*s1100;/s1栈存放树中结点栈存放树中结点 int s2100,top=0,b;/s2栈存放进栈标志栈存放进栈标志 p=root;do while(p!=NULL)s1top=p;s2to

49、p+=0;/第一次进栈标志为第一次进栈标志为0 p=p-lchild;if(top0)b=s2-top;p=s1top;8/11/202376 if(b=0)s1top=p;s2top+=1;/第二次进栈标志为第二次进栈标志为1 p=p-rchild;else printf(“%c”,p-data);p=NULL;while(p!=NULL)|(top0);【算法【算法 后序遍历二叉树的非递归算法后序遍历二叉树的非递归算法(调用栈操作的函数调用栈操作的函数)】8/11/202377五五、遍历算法的应用举例遍历算法的应用举例1、统计二叉树中叶子结点的个数、统计二叉树中叶子结点的个数 (先序遍历先

50、序遍历)2、求二叉树的深度、求二叉树的深度(后序遍历后序遍历)3、复制二叉树、复制二叉树(后序遍历后序遍历)4 4、建立二叉树的存储结构、建立二叉树的存储结构8/11/2023781、统计二叉树中叶子结点的个数、统计二叉树中叶子结点的个数算法基本思想算法基本思想:先序(或中序或后序)遍历二叉树，在遍历过程中查找叶子结点，并计数。由此，需在遍历算法中增添一个需在遍历算法中增添一个“计数计数”的参数，的参数，并将算法中“访问结点”的操作改为：若是叶子，则计数器增若是叶子，则计数器增1 1。8/11/202379void CountLeaf(BiTree T,int&count)if(T)if(!T