1、试卷代号：1076 座位号 国家开放大学(中央广播电视大学)2016年春季学期“开放本科”期末考试常微分方程 试题(半开卷)2016年7月题 号二三四五总 分分 数得 分评卷人一 、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 微分方程xy=1 的通解为y=( ).A.C+1n|x| B.CInxC. CInr D.xlnx2. 方程A. 有奇解 y=1 B. 有奇解y=1C. 无奇解 D. 有奇解y=- 13. 方程 ,xR,YR 的任何一个解的图像是4维空间中的( ).A. 一族曲面 B. 一族曲线C. 一个曲面 D. 一条曲线4. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( ).A. 是
2、非齐次微分方程组的通解B. 是其对应齐次微分方程组的解C. 是非齐次微分方程组的解D. 不是其对应齐次微分方程组的解5. 纯量方程 中，当a)dy=0 的通积分。14.求克莱洛方程y=xy+y 的通解。15.求恰当导数方程yy+(y)+3x=0 的通积分。四、计算题(本题共15分)16. 求下列常系数线性微分方程组的通解：333评卷人得 分五、证明题(本题共15分)17. 试证明：对任意x。及满足条件0yo1 的 yo, 方程的满足条件y(xo)=y 。 的解 y=y(x) 在(- ,+)上存在 .334试卷代号：1076国家开放大学(中央广播电视大学)2016年春季学期“开放本科”期末考试常
3、微分方程 试题答案及评分标准(半开卷)335(供参考)一 、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.A 2.C 3.D 4.B 5.C二 、填空题(每小题3分，本题共15分)6 . 二7. 全平面8. 必要9.cosx,sinx10. 不稳定结点三 、计算题(每小题8分，本题共40分)11. 解 当 y(y- 1)0 时，分离变量，得积分，ln|y- 1|-ln|yl=x+C通积分为12. 解 令 y=xu; 则 ,代人原方程，得T 分离变量，取不定积分，得I (C0)原方程的通积分为 2016年7月(3分)(5分)(8分)(3分)(6分)(8分)33613. 解 M(x,y)=e-,N(x
4、,y)=-(2y+xe)因此，原方程是全微分方程。取(xo,yo)=(0,0), 原方程的通积分为即xey-y=C14. 解 克莱洛方程，通解为 y=Cx+C15. 解 原方程是恰当导数方程，可写成 (yy+x)=0即yy+x=C分离变量解此方程，通积分为四、计算题(本题共15分)16. 解 特征方程为 | 特征根=3,2=-1=3对应的特征向量为 =-1对应的特征向量为 原方程组的通解五、证明题(本题共15分)(3分)(6分)(8分)(8分)(4分)(8分)(5分)(7分)(12分)(15分)17. 证 明 由 于在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件，又显然y=0,y=1 是方程的两个特解.现任取x, (- ,+),yo (0,1), 记 y=y(x) 为过(xo,yo)一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越y=1, 下不能穿越y=0,(-x,+o).(7分) (10分)的解，那么这个解可以惟 因此它的存在区间必为 (15分)
