新人教A版高中数学必修二第九单元《9.2.4总体离散程度的估计》教案及课件.zip

1、9.4.2 总体离散程度的估计(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第九章)一、教学目标一、教学目标1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）.2.会求样本数据的方差、标准差、极差.3.理解离散程度参数的统计含义.二、教学重难点二、教学重难点1.方差、标准差的计算方法2.利用样本的方差、标准差对总体数据进行分析三、教学过程三、教学过程（一）方差、极差和标准差的概念引言：平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据“中心位置”的重要信息，可以描述一组数据的集中趋势。但有时候仅仅知道“中心位置”不足以让我们做出有效的决策，请看下面的案例。问题 1：有两位射击运动员在一次射击

2、测试各射击 10 次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 4 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？预案：通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两位运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为 7。从这个角度来看，两位运动员之间没有差别。结合初中知识，现在我们用方差来刻画两位射击运动员成绩的离散程度。)710()79()79()78()75()74()74(101)7(101222222210122iixs甲4)9441499(101，2.1)411114(1012乙s甲运

3、动员 10 次射击成绩的方差为 4，乙运动员 10 次射击成绩的方差为 1.2；由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定。追问：高中的方差和我们初中学的有什么不同吗？方差的定义：假设一组数据是nxxx,21，用x表示这组数据的平均数，用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即niixx1，则这组数据到x的平均距离为niixxn11，为了避免式子中含有绝对值，通常改用平方来代替，即211niixxn，我们将定义为这组数据的方差，用2s表示。公式的推导，因为niiiniixxxxnxxn12221)2(1)(12112)1(21xxnxxnniinii2122

4、1xxxxnnii2121xxnnii.有时为了计算方差的方便，也用上述表达式计算方差。设计意图：通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计含义。问题 2：除了方差，你还能想到其他刻画数据离散程度的统计量吗？预案：一种简单的度量数据离散程度的方法就是极差。极差是数据的最大值与最小值的差，即甲命中环数的极差=10-4=6，乙命中环数的极差=9-5=4。极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，可以发现甲的成绩波动范围比乙大。但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。设计意图：让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点。问题 3：问题 1 中方差的单位是

5、什么？预案：由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即211niixxn，我们称之为这组数据的标准差，用s表示。问题 4：方差和标准差的取值范围是什么？如果方差和标准差为 0，这组数据有什么特点？预案：非负数；方差和标准差都为 0，那么这组数据都一样，都等于平均数。进一步说明，方差和标准差都是刻画一组数据的离散程度的指标，但是在解决实际问题中，一般多采用标准差。（一）分层随机抽样样本方差的计算引言：在实际问题中，往往很难获得所有的数据，可以用简单随机抽样或分层随机抽样的方法抽取样本，用样本的方差估计总体的方差。请看下面的例题

6、：问题 5：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生 23 人，样本的平均数和方差分别为 170.6 和 12.59，抽取了女生 27 人，样本的平均数和方差分别为 160.6和 38.62。你能由这些数据计算出样本的平均数和方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？预案：把抽取的男生样本记为2321,xxx，样本的平均数记为x，方差记为2xs；把抽取的女生样本记为2721,yyy，样本的平均数记为y，方差记为2ys；把总样本数据的平均数记为z，方差记为2s。根据平均数的定义)2723(501yxz，算出2.165z；

7、根据方差的定义和变形公式，总样本的方差5012250122501)(501iiiizzzzs 227122312)(501zyxiiii由222312231xiisxx可得)(23222312xsxxii同理可得)(23222712ysyyii所以，2s22222)(27)(23501zysxsyx，将x=170.6，2xs=12.59 和y=160.6，2ys=38.62 以及z=165.2 代入上式，可得22222.165)6.16062.38(27)6.17059.12(23501s4862.51因此，总样本的平均数为 165.2，方差为 51.4862，据此估计高一年级学生身高的总体方

8、差为 51.4862。追问：比较总样本方差与男生组及女生组的方差，你能发现什么？预案：可以看到总样本反差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差.男、女生的平均数相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得多，这说明分层随机抽样的效果也就越好。设计意图：引导学生对统计结果进行解释，进而更好地理解分层随机抽样的使用范围。问题 6：一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢？预案：一般地，如果已知第一组数据的个数为m，平均数和方差分别为x和2xs，第二组数据的个数是n，平均数和方差分别为y和2ys，那么总样本的平均数nmynxmz，总样本方差

9、为222222)()(1zysnxsmnmsyx设计意图：将总样本平均数和总样本方差从问题 5 推广到一般，让学生体会由具体到一般的思想。（二）用平均数和标准差反映数据取值信息问题 8：平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据的离散程度，那么将平均数和方差综合在一起.例如，考察以平均数为中心的区间sx，sx，sx2，sx2，观察数据分别落在这两个区间的百分比，你能发现什么规律？预案：以 100 户居民用户的月均用水量数据为例。可以发现，100 个数据中大部分都集中在sx，sx内，在sx2，sx2外的只有 7 个数据，也就是说绝大部分的数据落在sx2，sx2.通过平均数和标准差两个统计量，就可

10、以得到大部分数据的取值范围.方差越大，则这个区间越大；方差越小，则这个区间越小.设计意图：让学生认识到利用平均数和标准差也可以部分反映数据的取值规律.（三）课堂小结问题 9：假设老师请你帮忙完成一个数据分析任务，给了你们学校全体高一年级学生的数学成绩数据，请你写一份数据分析报告.结合这节课的学习内容，你会用哪些统计量？为什么？预案：引导学生对平均数和方差等统计量的特点进行归纳概括.设计意图：通过时间里，让学生体会平均数和方差等统计量的特点及应用.（四）布置作业教科书第 213，214 页练习第 2，3，4，5 题.9.2.4 9.2.4 总体离散程度的估计总体离散程度的估计 平均数平均数、中位

11、数中位数和和众数众数为我们提供了一组数据为我们提供了一组数据的集中趋势的信息的集中趋势的信息,这是概括一组数据的特征的有这是概括一组数据的特征的有效方法效方法.但仅知道集中趋势的信息但仅知道集中趋势的信息,很多时候还不能使我很多时候还不能使我们做出有效的决策们做出有效的决策.导入问题问题1 1：有两名射击队员在一次射击测试中各射靶有两名射击队员在一次射击测试中各射靶1010次次,每每次命中的环数如下次命中的环数如下:如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？价？如果这是一次选拔性考核，你应当如

12、何作出选择？问题导入甲44577789910乙5667777889甲78795491074乙9578768677 分析：通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别。现在我们用方差来刻画两位射击运动员成绩的离散程度：现在我们用方差来刻画两位射击运动员成绩的离散程度：甲44577789910乙5667777889 由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定。乙比甲的射击成绩稳定。用每个数据与平均数的差的绝对值作为用每个数据与平均数的

13、差的绝对值作为“距离距离”，即，即知识探究为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即假设一组数据是假设一组数据是 ，用，用 表示这组数据的平均数表示这组数据的平均数。则这组数据到则这组数据到 的的“平均距离平均距离”为为我们将我们将 定义为这组数据的定义为这组数据的方差方差，用，用 表示表示因为因为公式的推导有时为了计算方差的方便，也用上述表达式计算方差有时为了计算方差的方便，也用上述表达式计算方差问题问题2 2：除了方差，除了方差，你还能想到其他刻画数据离散程度的统计量吗你还能想到其他刻画数据离散程度的统计量吗？一种简单的度量数据离散程度的方

14、法就是一种简单的度量数据离散程度的方法就是极差极差。极差极差是数据的最大值与最小值的差，即是数据的最大值与最小值的差，即 极差极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，可以发现甲在一定程度上刻画了数据的离散程度，可以发现甲的成绩波动范围比乙大。但因为极差只使用了数据中最大、的成绩波动范围比乙大。但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。最小两个值的信息，所含的信息量很少。甲命中环数的极差甲命中环数的极差=10-4=6乙命中环数的极差乙命中环数的极差=9-5=4甲44577789910乙5667777889 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。由于方差的单

15、位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即我们称之为这组数据的我们称之为这组数据的标准差标准差，用，用 表示表示问题问题3 3：问题问题1 1中，方差的单位是什么？中，方差的单位是什么？问题问题4 4：方差和标准差的取值范围是什么？方差和标准差的取值范围是什么？如果方差和标准差为如果方差和标准差为0 0，这组数据有什么特点？，这组数据有什么特点？问题问题5 5 在对树人中学高一学生身高的调查中在对树人中学高一学生身高的调查中,采用样本比例分配的分层采用样本比例分配的分层随机抽样，如

16、果不知道样本数据，只知道抽取了男生随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生2323人人,其平均数和其平均数和方差分别为方差分别为170.6170.6和和12.5912.59，抽取了女生，抽取了女生2727人人,其平均数和方差分别为其平均数和方差分别为160.6160.6和和38.62.38.62.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？并对你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗高一年级全体学生的身高方差作出估计吗?分层随机抽样样本方差的计算解：把男生样本记为解：把男生样本记为 ，其平均数记为，其平均数记为 ，方差记为，方差记为 ；把总体数

17、据样本的平均数记为把总体数据样本的平均数记为 ，方差记为，方差记为 ；把女生样本记为把女生样本记为 ，其平均数记为，其平均数记为 ，方差记为，方差记为 ；分层随机抽样样本方差的计算由由 得得 ，同理可得，同理可得 例例 在对树人中学高一学生身高的调查中在对树人中学高一学生身高的调查中,采用样本比例分配的分层随采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生2323人人,其平均数和方其平均数和方差分别为差分别为170.6170.6和和12.5912.59，抽取了女生，抽取了女生2727人人,其平均数和方差分别为其平均数和方差分别为1

18、60.6160.6和和38.62.38.62.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？并对高一年你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗级全体学生的身高方差作出估计吗?分层随机抽样样本方差的计算 因此，总样本的平均数为因此，总样本的平均数为165.2，方差约为，方差约为51.49，据此，据此估计高一年级全体学生的身高方差约为估计高一年级全体学生的身高方差约为51.49。问题问题6 6 比较总样本方差与男生组方差及女生组方差，你发现了什么？比较总样本方差与男生组方差及女生组方差，你发现了什么？一般地，如果已知第一组数据的个数是一般地，如果已知第一组

19、数据的个数是 ，平均数和方差分别，平均数和方差分别为为 和和 ，第二组数据的个数为，第二组数据的个数为 ，平均数和方差分别为，平均数和方差分别为 和和 ，那么，总样本平均数，那么，总样本平均数总样本方差为总样本方差为问题问题7 7：一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢？差，如何计算全部数据的平均数和方差呢？问题问题8 8：平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起.例如，考察以平例如，考察以平均数为中心的区间均数为中心的区间 ，观察数据分别落在这，观察数据分别落在这两个区间的百分比，你能发现什么？两个区间的百分比，你能发现什么？问题问题9 9：假设老师请你帮忙完成偶一个数据分析任务，给了你们学假设老师请你帮忙完成偶一个数据分析任务，给了你们学校全体高一年级学生的数学成绩数据，请你写一份数据分析报告校全体高一年级学生的数学成绩数据，请你写一份数据分析报告.结合这节课的学习内容，你会用哪些统计量？为什么？结合这节课的学习内容，你会用哪些统计量？为什么？课堂小结