1、2.2.3直线的一般式方程课程内容标准学科素养凝练1掌握直线方程的一般式，并会熟练应用2会选择适当的方程形式求直线方程3掌握一般式与其他形式的互化.通过直线方程的一般式的学习与应用，进一步加强数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.教学重点：直线一般方程及应用教学难点;直线的方程与二元一次方程的理解数学思想：分类讨论，数形结合一、提出问题：1、我们前面几节课学习的直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程都能表示平面内任意一条直线吗？为什么？2、能不能用一个关于x,y的二元一次方程来表示平面直角坐标系内任意一条直线呢？二、学生小组合作讨论，得出新知直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方
2、程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式三、概念辨析，正反对照1判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线()(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式()(3)关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)一定表示直线()2直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()ABCD3如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4(教材P65例5改编)过点A(1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为_.四、知识应用应用一直线的一般式方程与其他方程互
3、化例1根据下列条件写出直线方程，并化为一般形式(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)经过A(1,5)，B(2，1)两点；(3)在x，y轴上的截距分别是3，1.解(1)由点斜式方程得y3(x5)，整理得xy350.(2)由两点式方程得，整理得2xy30.(3)由截距式方程得1，整理得x3y30.解题反思：在求直线方程时，根据条件，应先选择适当的直线方程的形式，最后再化成一般式方程选择直线方程的形式时，应注意各种形式的适用条件若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零变式训练1(1)求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过
4、点A(2,1)且与直线2xy100垂直的直线l的方程解(1)法一：设直线l的斜率为k，l与直线3x4y10平行，k.又l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y2(x1)，即3x4y110.法二：设与直线3x4y10平行的直线l的方程为3x4ym0.l经过点(1,2)，3142m0，解得m11.所求直线方程为3x4y110.(2)法一：设直线l的斜率为k.直线l与直线2xy100垂直，k(2)1，k.又l经过点A(2,1)，所求直线l的方程为y1(x2)，即x2y0.法二：设与直线2xy100垂直的直线方程为x2ym0.直线l经过点A(2,1)，221m0，m0.所求直线l的方程为x2y0.应用
5、二直线的平行与垂直问题例2(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解(1)法一：由l1：2x(m1)y40.l2：mx3y20.当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3.m的值为2或3.法二：令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)法一：由题意，直线l1l
6、2，若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20，显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2，当l1l2时，k1k21，即()()1，所以a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.法二：由直线l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1.将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.解题反思1当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2与直线AxByC
7、0平行的直线方程可设为AxBym0，(mC)，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.训练2已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)当l1l2时，求a的值；(2)在(1)的条件下，若直线l3l2，且l3过点A(1，3)，求直线l3的方程解(1)由a12(a1)0，解得a.当l1l2时，a的值为.(2)由(1)知，l2：3xy0，l3l2，可设l3的方程为3xym0，l3过点A(1，3)31(3)m0，得m6，l3的方程为3xy60.五、 知识拓展例3、已知方程(m2)x(m3)y40(mR)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标【解析】方法一：令m2，则方
8、程变为5y40，故y.令m3，则方程变为5x40，故x.依题意可知直线恒过定点.方法二：将方程变形为m(xy)2x3y40.依题意定点的坐标与m的取值无关，于是此定点的坐标必然满足xy0且2x3y40.解方程组定点的坐标为.变式训练3(1)求证：当aR时，直线axya20必过定点【证明】方法一：将直线方程改写为y2a(x1)，将a看成直线的斜率，这就是点斜式方程，所以直线一定过定点(1，2)方法二：由方程axya20，知a(x1)y20.上式是关于a的恒等式，必有所以将其代入直线满足直线方程，所以直线axya20必过定点(1，2)方法三：令a0，则y20.令a1，则xy30.联立，得x1，y2
9、.将代入直线方程，经检验满足直线方程所以直线方程恒过定点(1，2)解题反思：本题是利用运动变化的观点解决问题的一般地，当读题有困难或题目所给条件比较多时，不妨先找几个特殊情况分析，以活跃你的思维，帮助你顺利破解问题，最终得到求解问题的思路解决过定点问题常用的方法：(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出x，y的值，即为所求定点的坐标(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点，而此交点就是定点比较这三种方法可知，方程一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用
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