2021届高三数学一轮复习第十一单元训练卷圆锥曲线（理科） A卷（详解）.doc

1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（A） 第第 11 单元单元 圆锥圆锥曲线曲线 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小

2、题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为（ ） A2sin40 B2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 2直线 2yx 与椭圆 22 1 3 xy m 有两个公共点，则m的取值范围是（ ） A1m B1m且3m C3m D0m且3m 3 1 F是椭圆 22 1 95 xy 的左焦点，P是椭圆上的动点， (1,1)A 为定点，则 1 |PAPF的最小值 是（ ） A92 B6 2 C3 2 D6 2 4已知A、F分别是

3、双曲线 22 22 :1(),0a a xy Cb b 的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一 条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点 若APAQ， 则C的离心率是 （ ） A 117 4 B 113 4 C1 13 4 D1 17 4 5设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F以 1 F为圆心， 12 FF为半径的 圆与双曲线在第一、 二象限内依次交于A，B两点 若 12 3FBAF， 则该双曲线的离心率是 （ ） A 5 4 B 4 3 C 3 2 D2 6若椭圆 22 1 369 xy 的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线

4、的斜率为（ ） A2 B 2 C 1 3 D 1 2 7设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点， M是 2 PF的中点，且 2 OMPF， 12 34PFPF，则双曲线的离心率为（ ） A5 B3 C 5 3 D4 8已知两点( 1,0)A ， (0,1)B ，点P是椭圆 22 1 169 xy 上任意一点，则点P到直线AB的距离 最大值为（ ） A3 2 B4 2 C 6 D6 2 9已知A，B是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的 两点，直线AM，BN的斜率

5、分别为 1 k， 2 k 1 2 (0)k k ，若椭圆的离心率为 3 2 ，则 12 kk的 最小值为（ ） A1 B2 C 3 2 D3 10已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点， 直线l与抛物线相切且lMN，P为l上的动点，则PM PN 的最小值是（ ） A12 B14 C16 D18 11已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M在双曲线E的右 支上，若 12 , 4 3 FMF，则 12 MF MF的取值范围是（ ） A 22 2,2bb B 22 2,2( 21)bb C

6、22 21)(,b b D 22 ,( 21)bb 12在椭圆 2 2 1 4 x y上有两个动点P，Q， (1,0)E为定点，EPEQ，则EP QP 的最小值 为（ ） A4 B33 C 2 3 D1 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 已知抛物线 2 1: (0)Cyaxa的焦点F也是椭圆 22 2 2 :1(0) 4 yx Cb b 的一个焦点， 点M在 曲线 1 C上，点 3 ( ,1) 2 P在曲线 2 C上，则MPMF的最小值为_ 14 已知斜率为2的直线l经过椭圆 22 1 54 xy 的右焦点 1 F， 与椭圆交于A

7、，B两点， 则AB _ 15在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab 的右焦点( ,0)F c到一条渐近线 的距离为 3 2 c，则其离心率的值是_ 16已知点 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右两焦点，过点 1 F的直线与双曲 线的左右两支分别交于P，Q两点，若 2 PQF是以 2 PQF为顶角的等腰三角形，其中 2 ,) 3 PQF，则双曲线离心率e的取值范围为_ 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证

8、明过程或演算步骤 17（10 分）如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 经过点 (0, 1)A，且离心率为 2 2 （1）求椭圆E的方程； （2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线 AP与AQ的斜率之和为2 18（12 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，离心率为 1 2 ，M，N 是平面内两点，满足 12 2FMMF，线段 1 NF的中点P在椭圆上， 1 FMN周长为12 （1）求椭圆C的方程； （2）若过(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B，求OA OB (其中O为

9、坐标原点）的取值范围 19（12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为2， 离心率为 2 2 ， 椭圆的右顶点为A （1）求该椭圆的方程； （2）过点( 2,2)D作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和 为定值 20 （12 分） 已知 12 PFF中， 1( 1,0) F ， 2(1,0) F， 1 4PF ， 点Q在线段 1 PF上， 且 2 PQQF （1）求点Q的轨迹E的方程； （2）若点M，N在曲线E上，且M，N， 1 F三点共线，求面积的最大值 21 （12 分） 已知动点P与双曲线 22 1 23

10、 xy 的两个焦点 1 F、 2 F的距离之和为定值， 且 12 cosFPF 的最小值为 1 9 （1）求动点P的轨迹方程； （2）若已知点(0,3)D，点M、N在动点P的轨迹上，且(1)DMDN，求实数的取值 范围 22（12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， 直线3460 xy与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆C的方程； （2） 椭圆C与x轴负半轴交于点A， 过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点， AM k， AN k分别为直线AM、AN的斜率， 3 4 AMAN kk

11、 ，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标； （3）在（2）的条件下，求AMN面积的最大值 高三数学卷（A） 第第 11 单元单元 圆锥圆锥曲线曲线 答答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1【答案】D 【解析】根据题意可知tan130 b a ，所以 sin50 tan50 cos50 b a ， 离心率 2222 2222 5050 505050 sin 50cossin11 11 coscoscoscos50 b e

12、a 2【答案】B 【解析】由 22 2 1 3 yx xy m ，可得 2 (3)40m xmxm， 2 (4 )4 (3)0mmm，解得1m或0m， 又0m且3m，1m且3m 3【答案】B 【解析】设点 2 F为椭圆的右焦点，连接 2 F A并延长交椭圆于点 P ，连接 1 P F， 2 P F 1212 PFPAAFPFPF， 而 121212 PFPFPFPFPFPAAF， 1212 PFPAAFPFPAAF， 11122 62PFPAPFPAPFPFAF（当且仅当点P与点P重合时） 4【答案】D 【解析】A，F分别是双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的左顶点、右

13、焦点， (,0)Aa，( ,0)F c， 过F的直线l与C的一条渐近线垂直，且与另一条渐近线和 轴分别交于P，Q两点， 直线l的方程为 aac yx bb ， 直线: aac l yx bb 与 b yx a ，联立： aac yx bb b yx a ， 解得P点 2 2222 (,) a cabc abba ， 将0 x 代入直线: aac l yx bb ，得(0,) ac Q b ， APAQ， 22 2 22 1 APAQ abcac bab kk a ca a ab ， 化简得 222 bacac ，把 222 bca代入，得 22 220caac， 同除以 2 a，得 2 220

14、ee， 117 4 e ，或 117 4 e （舍） 5【答案】C 【解析】如图所示，根据已知可得， 112 3|FBFAF A， 又 12 2FAF Aa，所以 2 22F Aa，即 2 F Aa， 又因为 112 2FAFFc，所以23ca，所以 3 2 c e a 6【答案】D 【解析】设两交点为 11 ( ,)x y， 22 (,)xy， 22 1 369 xy ， 22 436xy， 22 11 436xy， 22 22 436xy， 两式相减，得 12121212 ()(4()(0)xxxxyyyy， 1212 8(16)(0 xxyy， 1212 )()(2xxyy ， 12 1

15、2 1 2 yy xx ， 1 2 k 7【答案】A 【解析】由题意，P为双曲线右支上的一点，且 12 34PFPF， 设 1 4PFx， 2 3PFx， M是 2 PF的中点， 1 OMPF，则 2 OMPF， 12 PFPF， 在直角 12 PFF中，由勾股定理得 222 1212 PFPFFF， 即 222 9164xxc，解得 5 2 cx， 又由双曲线的定义可得 12 2PFPFa，解得 1 2 ax， 所以根据双曲线的离心率 5 2 5 1 2 x c e a x ，故选 A 8【答案】A 【解析】由题意得直线AB的方程为1yx，点P到直线AB的距离最大值即为图中过点P且与 直线A

16、B平行的切线与直线AB之间的距离 设过点P的切线方程为y xm ，联立椭圆方程可得 22 1 169 yxm xy ， 消去y整理得 22 2532161440 xmxm， 由 22 (32 )4 25 (16144)0mm ，解得5m 结合图形可得过点P的切线方程为5yx， 因此点P到直线AB的距离最大值为 5 1 3 2 2 d 9【答案】A 【解析】设( , )M x y，( ,)()N xyaxa ，则 1 y k xa ， 2 y k ax ， 又因为椭圆的离心率为 3 2 ，所以 2 1 1 2 b e a ， 2 12 22 2 21 yyyb kk xaaxaxa 10【答案】

17、B 【解析】依题意可知，抛物线的焦点坐标为(1,0)， 由于直线的斜率为1，故直线方程为(1)yx ，即1yx ， 由 2 1 4 yx yx ，解得(32 2, 22 2)M ，(32 2, 22 2)N ， 设直线l的方程为yxb ，由 2 4 yxb yx ，化简得 22 (24)0 xbxb， 由于直线和抛物线相切，判别式 22 (24)40bb，解得1b， 故直线l的方程为1yx 设直线l上任意一点的坐标( ,1)P xx ， 代入PM PN ，得 22 2862(2)14PM PNxxx， 当2x 时取得最小值为14 11【答案】B 【解析】设 1 MFm， 2 MFn， 12 F

18、MF， 则由余弦定理得， 222 42coscmnmn， 又2mna，则 222 24mnmna，解得 2 2 1 cos b mn ， 所以 22 121212 2cos2 coscos 1 1 cos 1 cos bb MF MFMFMFFMFmn ， 因为, 4 3 ，所以 12 cos 22 ， 1 22 cos ， 1 2111 cos ， 所以 22 22 22 22( 21) 1 21 1 cos bb bb ， 所以 12 MF MF的取值范围是 22 2,2( 21)bb 12【答案】C 【解析】由题意知， 22 ()EP QPEPEPEQEPEP EQEP ， 设椭圆上一点

19、( , )P x y， 2 2 2222 342 (1)1)(1)() 4433 x EPxyxx， 又22x ，当 4 3 x ， 2 EP 取得最小值 2 3 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13【答案】2 【解析】 3 ( ,1) 2 P代入椭圆 22 2 2 :1(0) 4 yx Cb b ，可得 2 19 1 44b ， 3b ，焦点(0,1)F，抛物线 2 1: 4Cxy，准线方程为1y 设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知MFMD， 要求MPMF取得最小值，即求MPMD取得最小， 当D，M，P三点共线时MPM

20、D最小，为1( 1)2 14【答案】 5 5 3 【解析】因为直线l经过椭圆的右焦点 1(1,0) F，且斜率为2， 则直线l的方程为2(1)yx，即220 x y 由 22 220 1 54 xy xy ，得 2 350 xx， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 5 3 xx， 12 0 x x ， 所以 2222 1212 55 5 ()(1 2 )( )0 3 )4 3 ABxxyy 15【答案】2 【解析】因为双曲线的焦点( ,0)F c到渐近线 b yx a ， 即0bxay的距离为 22 0bcbc b c ab ，所以 3 2 bc， 因此 2222

21、22 31 44 acbccc， 1 2 ac，2e 16【答案】 7,3) 【解析】如图， 2 PQQF， 又 211 2QFQFaPF，则有 1 2PFa， 2 4PFa， 不妨假设 12 FPF，则有 2 2(),) 3 PQF， 可得 2 , 3 ）， 在 12 FPF中，根据余弦定理 222 2 16441 cos( 1, 162 aac a ， 222 79aca，即 7,3) c e a 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1） 2 2 :1 2

22、 x Ey；（2）证明见解析 【解析】（1）将点(0, 1)A代入椭圆E，得 2 1b ， 2 2 c e a ， 222 22 22 1 12:1 22 cbx aEy aa （2）由题意知2k ，设 :1 PQ lykxk ， 联立 2 2 222 1 (2 (1)( 1 1)10 2 2 ) 1 ykxk x y kxkk xk ， 设 11) ( ,P x y， 22) (,Q xy， 12 2 2 (1) 1 2 kk xx k ， 2 12 2 (1)1 1 2 k xx k ， 1 1 1 PA y k x ， 2 2 1 QA y k x ， 21121212 1212 (2)

23、( 22 ) PAQA x yx yxxkxx kkk xxxx 18【答案】（1） 22 1 43 xy ；（2） 13 3,) 4 【解析】（1）连接 2 PF， 12 2FMMF， 122 FFF M， 2 F是线段 1 FM的中点，P是线段 1 F N的中点， 2 PFMN， 2 1 2 PFMN， 由椭圆的定义知， 12 2PFPFa， 1 FMN周长为 111212 2()4412NFMNFMFPPFFFac， 由离心率为 1 2 知， 1 2 c a ，解得2a ，1c ， 222 3bac， 椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）当直线l的斜率不存在时，直线0 x ，代入

24、椭圆方程 22 1 43 xy ， 解得3y ，此时 3OA OB ； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx， 椭圆C的方程 22 34120 xy，整理得 22 )(341640kxkx， 设 11) ( ,A x y， 22) (,B xy，则 12 2 16 34 k xx k ， 12 2 4 34 x x k ， 222 (16 )4 4 (3448(41)0)kkk ，解得 2 1 4 k ， 222 2 12121212 222 43212 12 (2)(2)2 (44 343434 ) kkk y ykxkxk x xk xx kkk ， 222 1212 22222

25、 412 1216 12121625 3 3434344343 kkk OA OBx xy y kkkkk ， 2 1 4 k ， 2 434k ， 2 11 0 434k ， 2 2525 0 434k ， 13 3 4 OA OB ， 综上所述，OA OB 的取值范围为 13 3,) 4 19【答案】（1） 2 2 1 2 x y；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意可知，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点在x轴上，22c ，1c ， 椭圆的离心率 2 2 c e a ，则 2a ， 222 1bac， 则椭圆的标准方程 2 2 1 2 x y （2）证明：设 11)

26、( ,P x y， 22) (,Q xy， ( 2,0)A， 当斜率不存在时， 2x 与椭圆只有一个交点，不合题意， 由题意PQ的方程，(2)2yk x，则联立方程 2 2 (2)2 1 2 yk x x y ， 整理得 222 (21)4 2 (1)4820kxk kxkk， 由韦达定理可知， 12 2 4 2 (1) 21 k k xx k ， 2 12 2 482 21 kk x x k ， 则 1212 2 2 2(1) (2 1 )2 22 2 k yyk xxk k ， 则由 12122 112 121212 2( 222(2 ) ) APAQ yyy xy xyy kk xxx

27、xxx ， 1 22 112211 212 (2)2 (2)222(1)(y xy xk xxk xxkx xkxx 2 4 21 k k ， 22 122112 2 1212 22 42 2(1) 2 2( 2121 1 2(24824 2 (1) 22 2121 ) ) APAQ kk y xy xyy kk kk x xxxkkk k kk ， 直线AP，AQ的斜率之和为定值1 20【答案】（1） 22 1(2) 43 xy x ；（2）3 【解析】（1）因为 2 PQQF，故 121112| 42|QFQFQFQPPFFF ， 故点Q的轨迹是以 1 F， 2 F为焦点，长轴长为4的椭圆

28、(不包含长轴的端点）， 故点Q的轨迹E的方程 22 1(2) 43 xy x （2）由（1）知， 1( 1,0) F ，设直线MN的方程为1xky， 11) ( ,M x y， 22) (,N xy， 联立 22 1 1 43 xky xy ，消去x得 22 (43690)kyky， 12 2 12 2 6 34 9 34 k yy k y y k ， 2 2 1212 2 1121 234 F MN k SFFyy k ， 令 2 1kt ，则1t ， 2 12 1 3 F MN S t t ， 令 1 ( )3f tt t ，则 2 1 ( )3f t t ， 当1,)t时，( )0f t

29、 ， 1 ( )3f tt t 在1,)上单调递增， 2 12 3 1 3 F MN S t t ， 当1t 时取等号，即当0k 时， 2 F MN面积的最大值为3 21【答案】（1） 22 1 94 xy ；（2） 1 ,1)(1,5 5 【解析】（1） 2 1 2a， 2 1 3b ， 222 11 5cab， 设 12 | 2 (5)PFPFa a，则可知动点P的轨迹为椭圆， 由余弦定理知 2222 1212 12 1212 |210 cos1 2| PFPFFFa FPF PFPFPFPF ， 1222 12 | | () 2 PFPF PFPFa ，当且仅当 12 |PFPF时取等号

30、 此时 12 cosFPF取最小值为 2 2 2101 1 9 a a ，解得 2 9a ， 则 2 954b ， 故所求动点P的轨迹方程为 22 1 94 xy （2）设( , )N s t，( , )M x y，则由DM DN ，可得( ,3)( ,3)x ys t， 故xs，3(3)yt 又M，N在动点P的轨迹上， 故 22 22 2 2 22 ()(3 3 ) 1 (3 3 ) 94 1 4 1 94 st tt st ，解得 135 6 t ， 又2t ，故 135 2 6 ，解得 1 5 5 ， 又因为1，所以的取值范围为 1 ,1)(1,5 5 22【答案】（1） 2 2 1 4

31、 x y；（2）证明见解析，定点( 1,0) ；（3） 3 2 【解析】（1）由椭圆C短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则2ab， 又因为以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为 222 ()xyba， 所以圆心(0, )b到直线3460 xy的距离 46 2 5 b dab ， 解得2a，1b， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y (2）由题意可知直线MN斜率不为0， 设直线MN的方程为x myn ， 11) ( ,M x y， 22) (,N xy， 联立 2 2 1 4 xmyn x y ，消去x得 222 (4)240mymnyn， 12 2 2

32、4 mn yy m ， 2 12 2 4 4 n y y m ， 1212 2 ) 8 (2 4 n xxm yyn m ， 22 22 121212 2 44 ( 4 ) nm x xm y ymn yyn m ， 3 4 AMAN kk ， 12 12 3 224 yy xx ，即 12 1212 3 2(44) y y x xxx ， 2 2 2 22222 22 4 43 4 441644164164 4 44 n n m nmnnmnm mm ， 解得1n或2n（舍去）， 直线MN的方程为1xmy，直线MN过定点( 1,0) （3）记直线MN与x轴交点为D，则D坐标为( 1,0)， 联立 2 2 1 1 4 xmy x y ，消去x得 22 (4)230mymy ， 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ， 2 2 121212 222 111412 ()4 222(4)4 AMN m SAD yyyyy y mm 2 22 3 2 (4) m m ， 令 2 3tm，3t ， 2 113 222 11 (1)2 232 3 AMN t S t t t ， 当且仅当 2 33tm，即0m时，AMN面积的最大值为 3 2