河南省某重点高中2017-2018学年高二数学上学期期中试题[理科](有答案解析，word版).doc

1、 - 1 - 2017-2018 学年上期高二期中考试 理科数学 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】在 ABC中， ， 则 ， 由正弦定理可得： 故选 C 2. 等比数列 中，若 ， ，则 （ ） A. 64 B. -64 C. 32 D. -32 【答案】 A 【解析】数列 是等比数列， ， ， 即 解得 那么 故选 A 3. 已知等差数列 中，公差 ， ， ，则 （ ） A. 5

2、或 7 B. 3或 5 C. 7或 -1 D. 3或 -1 【答案】 D 【解析】在等差数列 中，公差 ， ， ， 得 ，解得 或 - 2 - 故选 D 4. 中， ， ， ,则 （ ） A. 15 B. 9 C. -15 D. -9 【答案】 B . 故选 B 5. 已知 成等比数列，且曲线 的顶点是 ，则 等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】 B 【解析】把 配方得 得到顶点坐标为 ，即 由 成等比数列，则 ， 故选 B 6. 已知等差数列 的公差 为整数，首项为 13，从第五项开始为负，则 等于（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】 A

3、 【解析】在等差数列 中，由 ，得 ，得 ， 公差 为整数， 故选 A 7. 已知 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，若三角形有两解，则边的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C - 3 - 【解析】 ，要使三角形有两解，就是要使以 为圆心，半径为 2的圆与 有两个交点， 当 时，圆与 相切； 当 时交于 点，也就是只有一解， ，即 由正弦定理以及 可得： 的取值范围是 故选 C 8. 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】 C 当 时， 的形状是 等腰三角形， 当

4、 时，即 ，那么 ， 的形状是直角三角形 故选 C 【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用解题的关键是得到 一定要注意分类讨论 9. 已知 中， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】根据正弦定理 化简已知等式得： ，又 为三角形的内角， 则 故选 D - 4 - 【点睛】此题考查了正弦定理，以及余弦定理的运用，熟练掌握定理是解本题的关键 10. 九章算术中有 “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问 各得几何？ ” 其意思为 “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得

5、多少钱？ ” 这个问题中，甲所得为（ ） A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 【答案】 B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ,则 ,解得 ,又 ,则 ,故选 B. 11. 设 为等差数列， ，公差 ，则使前 项和 取得最大值时正整数 等于（ ） A. 4或 5 B. 5或 6 C. 6或 7 D. 8或 9 【答案】 B 【解析】设等差数列 an的首项为 公差为 解得 a 或 （舍去） 则 ， 故使前 项和取最大值的正整数 是 5或 6 故选 B 12. 已知锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则 的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，

6、， 由题 为锐角，可得 由正弦定理可得 ，可得： - 5 - ， 为锐角，可得， 可得 故选 C 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将 答案填在答题纸上） 13. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则此三角形面积为_ 【答案】 【解析】 ， 故 ， 故三角形面积 故答案为 14. 数列 的首项 ， ，则 _ 【答案】 -61 【解析】由题数列 的首项 ， ，则当 时。是以 -1为首项以 2为公比的等比数列， 故答案为 -61 15. 已知等差数列 ， 前 项和分别为 和 ，若 ，则- 6 - =_ 【答案】 【解析】 故答案为 16. 如图半圆 的半径为 1， 为

7、直径 延长线上一点，且 ， 为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形 ，则四边形 面积最大值为 _. 【答案】 【解析】设 ，在 中，由余弦定理得： ， 所以四边形 的面积为： ， ， 当 ，即 即 时，四边形 面积取得最大值，最大为 故答案为 ： 【点睛】本题考查了余弦定理以及三角函数的化简和求最大值问题其中利用余弦定理得到是解题的关键 . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 . （ 1）求角 ； （ 2）若 的面积 ， ，求边 . 【答案】 (1) ； (2)7. 【解析】试题分析：（ 1）根

8、据 利用二倍角和诱导公式化简可得 角 - 7 - （ 2）根据 ，即可求解边的 值 试题解析：（ 1） 解得 或 ， ， ， . （ 2） ，即 ， ， ，解得 . 18. 已知等比数列 满足 ， . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设数列 的前 项和为 ，若不等式 ，对一切 恒成立，求实数 的取值范围 . 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【 解析】试题分析： 1）根据 是等比数列，可得 *可得 ，即可求解数列 的通项公式； （ 2）根据等比数列的前 项和公式求解 n，由于 ，分离参数，即可求解实数 的取值范围 试题解析：（ 1）设等比数列 公比为 ， ， ， ， ， ， ， ， .

9、（ 2）由（ 1）知 ， ，即 对一切 恒成立 . 令 ，则 随 的增大而增大 . ， ， 实数 的取值范围是 . 【点睛 】 本题考查等比数列通项公式和前 n项和的求解，其中根据分离参数的表达式以及结- 8 - 合单调性求解范围是解决本题的关键 19. 在等差 数列 中， ， ，其前 项和为 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和 ，并证明 . 【答案】（ 1） ；（ 2） ，证明见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由已知列出关于首项和公差的方程组，求得 ， ，代入等差数列的通项公式求解； （ 2）求出 ，可得 ，利用裂项相消法求和后

10、即可证明 试题解析：（ 1）设等差数列的公差为 ，则由 及等差数列的通项公式， 得 ，又 ，解得 ， ， 则 ； （ 2）由（ 1）知 ， 即 ， 则 . 所以 . 20. 在锐角 中， 分别为角 的对边，且 . （ 1）确定角 的大小； （ 2）当 时，求 周长的最大值 . 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）由正弦定理化简已知可求 ，结合范围 ，求得，结合范围 ，即可得解 的值 （ 2）根据正弦定理可得 ，结合 是锐角三角形，可求得周长的最大值 . 试题解析：（ 1）由 及正弦定理得， . - 9 - ， . 是锐角三角形， . （ 2） ， . 是锐角三角形， ，

11、 故 ， 所以 周长的最大值是 . 21. 轮船 从某港口将一些物品送到 正航行的轮船 上，在轮船 出发时，轮船 位于港口 北偏西 且与 相距 20 海里的 处，并正以 30 海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船 沿直线方向以 海里 /小时的航速匀速行驶，经过 小时与轮船 相遇 . （ 1）若使相遇时轮船 航距最短，则轮船 的航行速度大小应为多少？ （ 2）假设轮船 的最高航速只能达到 30 海里 /小时，则轮船 以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船 相遇，并说明理由 . 【答案】（ 1）轮船 以 海里 /小时的速度航行，相遇时轮船 航距最短；（ 2）航向为北偏东，航速为 30 海里

12、 /小时，轮船 能在 最短时间与轮船 相遇 . 【解析】试题分析： （ 1）设两轮船在 处相遇，在 中，利用余弦定理得出 关于 t的函数，从而得出 的最小值及其对应的 ，得出速度； （ 2）利用余弦定理计算航行时间 ，得出 距离，从而得出 的度数，得出航行方案 试题解析：（ 1）设相遇时轮船 航行的距离为 海里，则 . 当 时， ， ， 即轮船 以 海里 /小时的速度航行，相遇时轮船 航距最短 . - 10 - （ 2）设轮船 与轮船 在 处相遇，则 ， 即 . ， ，即 ，解得 ，又 时 ， 时， 最小且为 ，此时 中 ， 航向为北偏东 ，航速为 30海里 /小时， 轮船 能在最短时间与轮船 相遇 . 22. 已知数列 及 ，且 , . （ 1）求 的值； （ 2）求数列 的通项公式； （ 3）求证 : . 【答案】（ 1） ， ， ；（ 2） ；（ 3）证明见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）由已知条件利用函数的性质能求出 的值 （ 2）由已知条件推导出 ，由此能求出数列 的通项公式 （ 3）由 利用错位相减法能证明 . 试题解析：（ 1）由已知 ，所以 . ，所以 . ，所以 . （ 2）令 ，则 ， ， 两式相减，得 ， 所以 ,即 ，