1、 - 1 - 福建省东山县 2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文 (必修 3、选修 1-1至圆锥曲线) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题只有一个正确选项,每小题 5分,共 60分) 1、 有下列调查方式:学校为了解高一学生的数学学习情况,从每班抽 2人进行座谈;一次数学竞赛中,某班有 15人在 100分以上, 35 人在 90 100分, 10 人低于 90 分。现在从中抽取 12 人座谈了解情况;运动会中工作人员为参加 400m 比赛的 6 名同学公平安排跑道。就这三个调查方式,最合适的抽样方法依次为( ) A. 分层抽样,系统抽 样,简单随机抽样 B. 系统抽样,系统
2、抽样,简单随机抽样 C. 分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样 D. 系统抽样,分层抽样,简单随机抽样 2、F1( 0, 1)、 F2( 0, 1)是椭圆的两焦点,过 F1的直线 l 交椭圆于 M、 N,若 MF2N 的周长为8,则椭圆方程为( ) A B C D 3、 双曲线122 ?yx的顶点到其渐近线的距离等于( ) A2B22C 1 D24、 设命题甲: ABC? 有一内角是 ?60 ,命题乙: ABC? 三内角的度数成等差数列,那么( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 5、 某公司过去五个月
3、的广告费支出 x与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据: x 2 4 5 6 8 y 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中 y的第一个数据丢失已知 y对 x呈线性相关关系,且回归方程为=6.5x+17.5,则下列说法: 销售额 y与广告费支出 x正相关; 丢失的数据(表中 处)为 30; 该公司广告费支出每增加 1万元,销售额一定增加 6.5万元; - 2 - 若该公司下月广告投入 8万元,则销售额为 70万元 其中,正确说法有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6、程序框图如图,如果程序运行的结果为 S 132,那么判断框中应填入 ( ) A、 10?k? B、 1
4、0?k? C、 11?k? D、 11?k? 7、 下列命题中,真命题是( ) A. 2,0 ?x , 2cossin ? xx B. ),3( ?x , 122 ? xx C. 1, 2 ? xxRx D. xxx s intan),2( ? ? 8、 已知抛物线 x=4y2上一点 P( m, 1),焦点为 F则 |PF|=( ) A m+1 B 2 C D 9、 已知 a b 0,椭圆 C1的方程为 + =1,双曲线 C2的方程为 =1, C1与 C2的离心率之积为 ,则 C2的渐近线方程为( ) A x y=0 B x y=0 C x 2y=0 D 2x y=0 10、 在区间 0,1上
5、随机取两个数 x,y,记 p1为事件 “ x y 12” 的概率 ,p2为事件 “ xy 12” 的概率 ,则 ( ) A. p1p212 B. p212p1 C. p112p2 D. 12p2p1 11、 已知函数 )()(,3,2,3,21,2)(,4)(2121 xgxfxxaxgxxxf x ? 使得若,则实数 a 的取值 范围是( ) A. 1?a B. 1?a C. 0?a D. 0?a 12、我们把离心率 512e ? 的椭圆叫做“优美椭圆”。设椭圆221xyab?为优美椭圆, F、 A- 3 - 分别是它的右焦点和左顶点, B是它短轴的一个端点,则 ABF? 等于( ) A.
6、900 B.750 C. 600 D. 1200 二、填空题: (本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分 ) 13、 二进制数 101101110( 2) 化为十 进制数是 ,再化为八进制数是 14、 若椭圆 的离心率 e= ,则 m的值为 15、 过原点的直线 l与双曲线 有两个交点,则直线 l的斜率的取值 范围是 16、 已知 F是抛物线 y2=2px( p 0)的焦点,过 F的直线与抛物线交于 A、 B两点, AB中点为C,过 C作抛物线的准线的垂线交准线于 C1点,若 CC1中点 M的坐标为( , 4),则 p= 三、解答题:本大题共 6小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证
7、明过程或演算步骤。 17、(本小 题满分 10分) 运行右图所示的程序框图,当输入实数 x 的值为 3? 时,输出的函数值为 12, 当输入实数 x 的值为 1时,输出的函数值为 2。 ( 1) 求函数 )(xf 的解析式; ( 2) (2)当输出结果为 80时,求输入的 x 的值。 18、 (本小题满分 12分) 已知命题 p:2, ( 2 5 ) 0x R x k x k? ? ? ? ? ? 恒 成 立 。命题 q:方程 =1表示焦点在 x轴上的双曲线 。 ( )命题 q为真命题,求实数 k的取值范围; ( )若命题 “p q” 为真,命题 “p q” 为假,求实数 k的取值范围 19、
8、(本小题满分 12分) - 4 - 已知椭圆 C: + =1( a b 0)的离心率为 ,四个顶点构成的四边形的面积为 12,直线 l与椭圆 C交于 A, B两点,且线段 AB 的中点为 M( 2, 1), () 求椭圆 C的方程; ()求 直线 l的方程 。 20、(本小题满分 12分) 某班 50 位同学周考数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: 40, 50)、 50, 60)、 60, 70)、 70, 80)、 80, 90)、 90, 100 ( 1)求图中 80, 90)的矩形高的值,并估计这 50 人周考数学的平均成绩; ( 2)根据直方图求出这 50 人成绩的
9、众数和中位数(精确到 0.1); ( 3)从成绩在 40, 60)的学生中随机选取 2人,求这 2人成绩分别在 40, 50)、 50, 60)的概率 21、(本小题满分 12分) 已知抛物线的顶点在坐标原点 O,对称轴为 x 轴,焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标为 2,且 |AF|=4 ( 1)求抛物线的方程; ( 2)过点 M( 8, 0)作直线 l交抛物线 于 B, C两点,求证: OB OC 22、 (本小题满分 12分 ) 在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C: + =1( a b 0)过点 P( 1, ),离心率为 ( 1)求椭圆 C的方程; - 5 - ( 2)设直线
10、l与椭圆 C交于 A, B两点 若直线 l过椭圆 C的右焦点,记 ABP三条边所在直线的斜率的乘积为 t,求 t的最大值; 若直线 l的斜率为 ,试探究 OA2+OB2是否为定值,若是定值,则求出此定值; 若不是定值,请说明理由 - 6 - 高二(上)数学(文)期中考参考答案 DBBC BABD ACCA 13、 366, 556( 8) 14、 2或 14 15、 ( , ) ( , + ) 16、 【解答】解:设 A( x1, y1)、 B( x2, y2),则其准线为 x= CC1中点 M的坐标为( , 4), y1+y2=8, C( 2 + , 4), F( , 0),可得 AB 的斜
11、率为: , AB的方程为: y= ( x ),代入抛物线方程可得: y2 py p2=0 y1+y2= ,可得 p=8, p=4 故答案为: 4 17、 18、 解:( )当命题 q为真时,由已知得 ,解得 1 k 4 当命题 q为真命题时,实数 k的取值范围是 1 k 4 ? 4分 ( )当命题 p为真时,由 k2 8k 20 0解得 2 k 10 ? 6分 由题意得命题 p、 q中有一真命题、有一假命题 ? 当命题 p为真、命题 q 为假时,则 , 解得 2 k 1或 4 k 10 ? 8分 当命题 p为假、命题 q 为真时,则 , k无解 ? 10分 实数 k的取值范围是 ? ? ? ?
12、-2,1 4,10 ? 12分 19、 解: 椭圆 C: + =1( a b 0)的离心率为 ,四个顶点构成的四边形的面积为- 7 - 12, ,解得 a=2 , b= , 椭圆方程为 , 5分 直线 l与椭圆 C交于 A, B两点,且线段 AB 的中点为 M( 2, 1), 设 A( x1, y1), B( x2, y2),则 x1+x2= 4, y1+y2=2, 又 ,两式相减,得: ( x1 x2)( x1+x2) + ( y1 y2)( y1+y2) =0, ( x1 x2) + ( y1 y2) =0, 直线 l的斜率 k= = 直线 l的方程 : x-2y+4=0 12分 20、
13、解:( 1)由频率分布直方图得:( 0.006 3+0. 01+0.054+x) 10=1, 解得 x=0.018 图中 80, 90)的矩形高的值为 0.018 1分 由频率分布直方图估计这 50人周考数学的平均成绩: =45 0.06+55 0.06+65 0.1+75 0.54+85 0.18+95 0.06=74(分) 3分 ( 2)由频率分布直方图得这 50人成绩的众数为 75, 4分 ( 0.006+0.006+0.01+0.54) 10=0.76, 中位数应位于第四个小矩形中, 设其底边为 x,高为 0.054,则 0.054x=0.28, 解得 x 5.2 中位数 M=75.2
14、 6分 ( 3)成绩在 40, 60)的学生有( 0.006+0.006) 10 50=6人, 其中成绩在 40, 50)、 50, 60)中各有 3人, 从中随机选取 2人,基本事件总数 n=15 8分 这 2人成绩分别在 40, 50)、 50, 60)包含的基本事件个数 m=3 3=9, 10 分 这 2人成绩分别在 40, 50)、 50, 60)的概率 p= = 12分 21、 【解答】( 1)解:设抛物线方程为 C: y2=2px( p 0), 由其定义知 |AF|=4=2+ ,所以 p=4, y2=8x; 4分 - 8 - ( 2)证明:法一:设 B、 C两点坐标分别为( x1,
15、 y1)、( x2, y2), 因为直线 l的斜率不为 0,设直线 l的方程为 x=ky+8, 由方程组 得 y2 8ky 64=0, y1+y2=8k, y1y2= 64, 因为 , 所以 =( k2+1) y1y2+8ky( y1+y2) +64=0 所以 OB OC 12分 法二: 当 l的斜率不存在时, l的方程为 x=8,此时 B( 8, 8), C( 8, 8), 即 ,有 ,所以 OB OC 6分 当 l的斜率存在时,设 l的方程为 y=k( x 8), 方程组 得 k2x2( 16k2+8) x 64k2=0, ky2 8y 64k=0, 所以 x1x2=64, y1y2= 64, 因为 ,所以 , 所以 OB OC,由 得 OB OC 12分 22、 【分析】( 1)由椭圆过点 P( 1, ),离心率为 ,列出方程组,求出 a, b,由此能求出椭圆 C的方程 ( 2) 设直线 l的方程为 x=my+1,代入椭圆,得( 3m2+4) y2+6my 9=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出 t的最大值 设直线 l的方程为 y= ,代入椭圆,得 ,由
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