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1、第八章第八章 数值积分数值积分近似计算近似计算 badxxfI)(8.1 插值型求积公式插值型求积公式思思路路利用利用插值多项式插值多项式 则积分易算。则积分易算。)()(xfxPn 在在a,b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()(babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f(x)插值型积分公式插值型积分公式 bankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0

2、)1(0)()!1()()()()()()(误差误差8.2 复化求积公式复化求积公式如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式，如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式，精度难以保证。精度难以保证。高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复合复合求积公式。求积公式。（1）等分求积区间，比如取步长等分求积区间，比如取步长 ，分，分a,b为为n等分，等分，nabh 分点为分点为 k=0,1,2,nkhxxk 0（2）在区间在区间 xk,xk+1上使用以上求积公式求得上使用以上求积公式求得Ik（3）取

3、和值取和值 ，作为整个区间上的积分近似值，作为整个区间上的积分近似值。10nkkII 复化梯形公式：复化梯形公式：),.,0(,nkhkaxnabhk 在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,.,1,)()(2)(111 11)()(2)(2nkkbfxfafhbankkkxfxfhdxxf11)()(2)(=Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*积分中值定理积分中值定理*/复化复化 Simpson 公式：公式：),.,0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(12

4、11 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444)()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf=Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：为方便编程，可采用另一记法：令为方便编程，可采用另一记法：令 n=2n 为偶数，为偶数，这时这时 ，有，有hkaxhnabhk ,2)()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS例例 81：利用数据表利用数据表 xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.2654

5、92计算积分计算积分dxxI 102*14这个问题有明显的答案这个问题有明显的答案1415926.3|arctg410*xI取取n=8用复化梯形公式用复化梯形公式 13899.31872432852212832412812)0(21818 fffffffffT取取n=4,用辛卜生公式用辛卜生公式 14159.31874432854212834412814)0(61414 fffffffffS8.8.3 变步长梯形方法变步长梯形方法8.8.4 求积公式的误差求积公式的误差)()(xPxfn 当当时时，不考虑舍入误差，求积公式是精确成立的。不考虑舍入误差，求积公式是精确成立的。舍入误差：舍入误差：

6、)()()(*0*knkkbanbaxfdxxPdxxfI 取取f(x)1，则则abnkk 0 若若f(xk)的舍入误差小于的舍入误差小于 ，则则)()()()()(*00*0*abxfxfxfxfIIkknkkknkkknkk 1梯形公式的截断误差梯形公式的截断误差2辛卜生公式的截断误差辛卜生公式的截断误差32*)(12abMTI 223*12)(hMabTIn 54*290 abMSI44*2180 hMabSIn8.8.5 龙贝格求积公式龙贝格求积公式龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了线性外推的加速方法，由此构成的一种具有超线性线性外

7、推的加速方法，由此构成的一种具有超线性收敛的自动积分法收敛的自动积分法 方法思路方法思路 :1.1.按照区间逐次分半的方法，计算梯形和序列按照区间逐次分半的方法，计算梯形和序列 abhn0,1)(21)(2100bfafhT22,201abhhn221210001hafhTT2222,2abhn02312012212221hiafhTTikkkabhn2,2021012122211hiafhTTkikkkk由此生成序列由此生成序列T0,T1,Tn,当当 时，就可以结束计算。时，就可以结束计算。1nnTToh2TSnITTn+1Tnh22nh21 nh设设Tn为梯形和，为梯形和，I为积分真值，由

8、复化梯形公式为积分真值，由复化梯形公式 bahfabITn 2)(12)0()()(lim20TdxxfhTbah f(x)2.2.加速加速 由解析几何由解析几何 221122nnnnnnhhTThhTT )(222211nnnnnnhhhhTTTT 令令h=0，则此直线在则此直线在T T 轴上的截距为轴上的截距为 22211nnnnnnnhhhTTTS 由由 ，得：，得：nnhh211 ,2,1,014414141112221 nTTTTThhhTTTSnnnnnnnnnnnn,34,34,341121010nnnTTSTTSTTS0103134TTS000031222134ThafhT23

9、231000hafhT22)(21)(21310000hafhbfhafh)(24)(311bfbafafh)(24)(6)(bfbafafab用类似方法可推得：用类似方法可推得：144212 nnnSSC144313 nnnCCD 柯特斯序列柯特斯序列龙贝格序列龙贝格序列由此法，可得如下三角形数表由此法，可得如下三角形数表梯形梯形辛卜生辛卜生柯特斯柯特斯龙贝格龙贝格T0T3T2T1S0 S2S1 C0 C1 D0计算方法的实现：计算方法的实现：首先构造首先构造T数表数表：)0(0T)0(1)1(0TT)0(2)1(1)2(0TTT)0()2(2)1(1)(0kkkkTTTT 计算步骤：计算步

10、骤：1取取 ，计算，计算abh 0 )()(200bfafhT 2对对k=1,2,计算下列各步计算下列各步 12100)1(0)(0212221kikkkkhiafhTT3对对n=0,1,2,k=n 1,n 2,144)(1)1(1)(nknknnknTTT4收敛控制收敛控制 )0(1)0(kkTT )0()0(1)0(kkkTTT若若或或则输出积分值则输出积分值 ，否则转，否则转3 3。)0(kT8.68.6 高斯型求积公式高斯型求积公式问题：在节点个数一定的情况下，是否可以在问题：在节点个数一定的情况下，是否可以在a,b上自由上自由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高选择节点的位置，使

11、求积公式的精度提得更高？代数精确度：代数精确度：称：称：为一般求积公式。这里为一般求积公式。这里Ak为不依赖为不依赖f(x)的常数若的常数若（8.9）对任意不高于对任意不高于m次的多项式精确成立，而对于次的多项式精确成立，而对于xm+1不能不能精确成立，就说精确成立，就说（8.9）式具有式具有m次代数精确度。次代数精确度。)()(0inikbaxfAdxxf （8.9）例例 8.2：求形如求形如 111100)()()(xfAxfAdxxf的两点求积公式。的两点求积公式。（1）用梯形公式（即以用梯形公式（即以x0=-1，x1=1为节点的插值型为节点的插值型 求积公式）立即可得求积公式）立即可得

12、 )1()1()(1ffdxxf 一次代数精确度。一次代数精确度。（2）若对求积公式中的四个待定系数若对求积公式中的四个待定系数A0,A1,x0,x1适当选取，适当选取，使求积公式对使求积公式对f(x)=1，x，x2，x3都准确成立都准确成立03202311300211200110010 xAxAxAxAxAxAAA33,33,11010 xxAA3333)(11ffdxxfoxyabABf(x)1()1()(1ffdxxf 3333)(11ffdxxf求积公式的代数精确度不仅与积分节点有关，而且与求积公式的代数精确度不仅与积分节点有关，而且与这些这点的所在位置有关。适当调整这些点的分布和这些

13、这点的所在位置有关。适当调整这些点的分布和求积系数，能使求积公式达到最高的代数精确度。求积系数，能使求积公式达到最高的代数精确度。引入权函数以后，考虑积分引入权函数以后，考虑积分 dxxfxIba)()(假定采取假定采取n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 )()()(0iniibaxfAdxxfx系数系数Ai(i=0,1,2,n)不依赖于不依赖于f(x)，但与权函数但与权函数(x)有关，可以适当地选取有关，可以适当地选取n个节点，和相应的个节点，和相应的n个系数个系数A0,A1,A2,An，使得积分公式具有最大的代数精确度使得积分公式具有最大的代数精确度 首先考虑对于固定的首先考虑对于固定

14、的n值，公式值，公式)()()(0iniibaxfAdxxfx最大可以达到多少次代数精确度？最大可以达到多少次代数精确度？0111)(axaxaxaxPmmmmm设对所有的设对所有的m次多项式次多项式(m待定待定)是准确的。于是有是准确的。于是有 011100111)()()()(axaxaxaAdxxaxdxxadxxxadxxxaimimmimmiibabambammbam令令),1,0()(mkdxxxkbak并重新组合上式右端各项，得并重新组合上式右端各项，得niiiniiminiimminiimmmmmAaxAaxAaxAaaaaa00011010001111由于系数由于系数am,a

15、m-1,a0的任意性，使上式成立的充要条件是：的任意性，使上式成立的充要条件是：nmnnmmnnnnnxAxAxAxAxAxAxAxAxAAAA22112222221112211021定理：插值型求积公式中，节点定理：插值型求积公式中，节点xi(i=0,1,2,n)是高斯点是高斯点 的充分必要条件是：在区间的充分必要条件是：在区间a,b上，以这些点为零点上，以这些点为零点 的的n+1次多项式次多项式)()()(01nnxxxxxA与所有次数不超过与所有次数不超过n的多项式的多项式P(x)都正交，即都正交，即0)()(1dxxAxpnba高斯型求积公式的特点：高斯型求积公式的特点：（1）代数精确

16、度达到代数精确度达到2n 1；（2）节点是节点是 a,b上的上的 n+1次正交多项式的次正交多项式的n+1个零点个零点。高斯型求积公式的构造高斯型求积公式的构造 根据以上定理，构造高斯型求积公式的方法就是去根据以上定理，构造高斯型求积公式的方法就是去找找a,b上的上的n+1次多项式，再把它的次多项式，再把它的n+1个零点求出来，个零点求出来，由于正交多项式具有性质；在由于正交多项式具有性质；在a,b上的上的n+1次多项式次多项式一定有一定有n+1个不同零点，且全部位于个不同零点，且全部位于a,b内，所以只要内，所以只要将此将此n+1个零点作为个零点作为n+1次插值多项式的节点，构造出次插值多项

17、式的节点，构造出的插值多项式即为高斯型求积公式。的插值多项式即为高斯型求积公式。不失一般性，假定积分区间为（不失一般性，假定积分区间为（-1,1），），因为总可以利用变换因为总可以利用变换 tabcbx22将区间（将区间（a,b）变成（）变成（-1,1）而积分变为：）而积分变为：dttgabdxxfba11)(2)(1.高斯高斯-勒让德勒让德(Gauss-Legendre)求积公式求积公式在高斯型求积公式中，若取权，区间为-1,1，相对应的正交多项式为勒让德多项式，则此时的高斯型求积公式称为高斯为高斯-勒让德求积公式勒让德求积公式，niiixfAdxxf011)()(例例 8.3：运用高斯：运

18、用高斯勒让德公式计算积分勒让德公式计算积分399529.25.111dxx解：两点勒让德公式解：两点勒让德公式401848.2577350.05.1577350.05.15.111dxx两点梯形公式两点梯形公式 288246.25.11215.112125.111dxx三点勒让德公式：三点勒让德公式：399709.25.1888889.0274597.2725403.0555556.05.111dxx三点辛卜生公式：三点辛卜生公式：395742.25.25.145.0315.111dxx2.高斯高斯-切比雪夫（切比雪夫（Gaoss-Chebyshev）求积公式）求积公式若取权函数，区间为-1,

19、1，则相应的正交多项式为切比雪夫多项式，称此时的高斯型求积公式为高斯-切比雪夫求积公式，其形式为niiixfAdxxxf0112)(1)(2212cosnixi1nAi)()!22(2)22(12nnnfnfRninifndxxxf0112)2212(cos11)(例例8.5 求两点（n=1）高斯切比雪夫求积公式解：由xi，Ai 的定义有220 x221x210 AA ，于是两点高斯-切比雪夫求积公式为：)22()22(21)(112ffdxxxf对一般-1,1区间上的积分，利用高斯-切比雪夫公式计算，应注意权函数211)(xx是否存在，通常按照下面的办法变换dxxgxxdxxg)(1(11)(211211)(1)(2xgxxfninifndxxg011)2212(cos1)(3.高斯高斯-拉盖尔（拉盖尔（Gauss-Laguerre）求积公式）求积公式若取权函数，相应的正交多项式为拉盖尔多项式，公式xex)(区间为),0 niiixxfAdxxfe00)()(