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1、1二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节 数列的极限数列的极限21 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入31 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入4“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而

2、无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入5“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入6“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入7“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割

3、圆术：刘徽刘徽一、概念的引入8“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入9“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入10“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入11R正六边

4、形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS122 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 113二、数列的定义二、数列的定义例如例如;,2,8,4,2n2n;,21,81,41,21n21n1411,1,1,(1),;n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn 注意

5、：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn 15.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限16.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限17.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限18.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限19.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列

6、 nnn三、数列的极限20.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限21.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限22.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限23.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限24.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限25.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限26.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限27

7、.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限28.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限29问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用如何用数学语言数学语言刻划它刻划它?1nxnnn11)1(1 30,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要

8、n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx31,N1nnNx 一般地，无论给定的正数 多么小总存在着一个正整数，使得当时，不等式都成立。这就是这就是“当当n无限增大时，无限增大时，xn无限地接近无限地接近于于1”的实质和精确的数学描述。的实质和精确的数学描述。32如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.axn有有,时时当当Nn ,0 ,0 NN 定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号

9、将将axnn lim的定义可缩写为的定义可缩写为:33注注此定义习惯上称为极限的此定义习惯上称为极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素大。这个定义有三个要素(1)，正数正数，(2)，正整数正整数N，(3)不等式不等式|xna|（n N）34定义中的定义中的具有具有二重性二重性：一是：一是的的任意性任意性，二是，二是的的相对固定性相对固定性。的二重

10、性体现了的二重性体现了xn 逼近逼近a 时要时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过过的相对固定性来实现）。的相对固定性来实现）。35 定义中的定义中的N是一个特定的项数，与给定的是一个特定的项数，与给定的有关。有关。重要的是它的重要的是它的存在性存在性，它是在，它是在相对固定后才能确定相对固定后才能确定的，且由的，且由|xna|来选定，一般说来，来选定，一般说来，越小，

11、越小，N越越大，但须注意，对于一个固定的大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的，合乎定义要求的N不是唯一不是唯一的。用定义验证的。用定义验证xn 以以a 为极限时，关键在为极限时，关键在于设法由给定的于设法由给定的，求出一个相应的，求出一个相应的N，使当，使当n N时，不等式时，不等式|xna|成立。成立。在证明极限时在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|xna|n N36数列极限的几何意义数列极限的几何意义,0N 使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项,321 NNNxxx都落在都落在a点的点的邻域邻域内内),(aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的

12、有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点x a aa 22 Nx1x2x1 Nx3x37 这就表明数列这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数的任意小邻域内，同时也表明数列列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛收敛”。注意：注意：数列极限的定义只用来证明极限，未给出求数列极限的定义只用来证明极限，未给出求极限的方法极限的方法.若要求极限，首先要先证明极限的

13、若要求极限，首先要先证明极限的存在性，然后才能求极限值。存在性，然后才能求极限值。38例例1.1)1(lim1 nnnn证明证明1)1(1 nnnn1,0 ,1 nx要要,1 n只要只要 1n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn有有.1)1(lim1 nnnn即即证证1 nx 虽然是可以任意小的正数虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题但使用定义证题时时,对于给定的对于给定的 总暂时认为它是固定的总暂时认为它是固定的,按照这按照这个个 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N.,解不等式解不等式 39 利用定义验证数列极限，有时遇到的不利用定义验证数列极限，有时遇到的不等

14、式等式|xna|不易考虑，往往采用把不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到较简单的式放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标找项数指标N.放大的原则：放大的原则：放大后的式子较简单放大后的式子较简单放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限40例例2证明数列证明数列 以以 0为为极限极限.21cos(1 2 32nnxnn、）,0 证证要使要使210cos02nnxn由于由于21cos02nn21,n只要1,n或1,N取,时时则当则当Nn 有有21cos0.2nn21limcos02nnn即 为了简化解

15、不等式的运算为了简化解不等式的运算,常常常把常把 作适当地放大作适当地放大.axn.21cos2nn21n用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 例例3.设,1q证明等比数列证明等比数列,112nqqq证证:0nx 01nq,)1,0(欲使欲使,0nx所以只要所以只要,1nq即即,lnln)1(qn亦即亦即因此因此,取取qNlnln1,则当则当 n N 时时,就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的极限为的极限为 0.1nq42例例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求证求证且且设

16、设证证,0 任给任给,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 .limaxnn 故故)(1 a 对对43练习练习 证明证明1lim22 nann证明证明1|1|22 nanxn)(222nanna 2an0 故故2aN则当则当n N时，有时，有2221naann1lim22 nann44四、数列极限的性质四、数列极限的性质1.有界性有界性定定义义:对对数数列列nx,若若存存在在正正数数M,使使得得一一切切自自 然然数数n,恒恒有有Mxn 成成立立,则则称称数数列列nx有有界界,否否则则,称称为为无无界界.例如例如,;1 nnxn

17、数列数列有界有界.2nnx 数列数列无界无界数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.45定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则|1|aaaxaaxxnnn|,|1,max1axxMN 记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.即 无界数列的极限不存在.46 收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.)1(

18、:nnx反例47)(2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.分析分析直接证明较困难，采用反证法直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义，由数列极限的几何意义，时时当当NnN ,0),(aaxn 在在a的任一的任一邻域内聚集着邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有该邻域之外至多有xn中的有限个点中的有限个点ab)(48证证(反证法反证法),lim,limbxaxnnnn 又又设设ab 不妨设不妨设 a b02 ab 取取,lim,limbxaxnnnn 及及由由使得使得.,21NN;21abaxNnn 时恒有时

19、恒有当当;22abbxNnn 时恒有时恒有当当2baxn 2baxn ,max21NNN 取取同时有同时有时时则当则当,Nn 2baxn 2baxn 矛盾，这说明结论成立矛盾，这说明结论成立49例例5.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(,aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1,1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.故此数列是发散的。故此数列是发散的。.,但却发散但却发散是

20、有界的是有界的事实上事实上nx503.保号性保号性 ,0 ),0(0 ,lim Naaaxnn则若).0(0 ,nnxxNn有时当证证,0 ,lim 则由极限的定义且设aaxnn有时当时取 ,0 ,02 NnNa,2|aaxn由绝对值不等式的知识,立即得.20nxaa定理定理351 ,)0(0 nnxx若 ,lim 存在且axnn.)0(0 aa则这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理,运用反证法证明52子数列的概念子数列的概念 在数列在数列 xn:x1,x2,xn,中中,保持各保持各项原来的先后次序不变项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷自左往右任意选取无穷多项所构成的新的

21、数列多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数称为原数列的一个子数列列,记为记为.knx,21knnnxxxknnxxkxxkknnnnkkk 显然显然项，项，中是第中是第在在项，而项，而是第是第中，中，在在4.4.子数列的收敛性子数列的收敛性 53定理定理4 4若数列若数列 xn 收敛于收敛于a ，则它的任一子数列，则它的任一子数列也收敛，且极限也是也收敛，且极限也是a证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn .,00 axNnNn恒有恒有时时，使，使，任给定任给定,NK 取取,时时则当则当Kk ，有有NnnnNKk .axkn.limaxknk 54

22、 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列的关系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛有两个子数列收敛于不同的极限值，则于不同的极限值，则xn一定是发散的。一定是发散的。1)1(nnx如如112收收敛敛于于 kx12 收收敛敛于于kx：若数列中有两个子列均收敛且极限相同，则该数列是思考题否收敛？55问问.如何判断数列极限不存在如何判断数列极限不存在?方法方法1.1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.练习练习试证数列试证数列 是发散的是发散的.ncos证

23、证 因为因为 的奇子数列的奇子数列 ncos是发散的是发散的.收敛于收敛于而偶子数列而偶子数列 ,1,1,1 ncos所以数列所以数列 收敛于收敛于,1,1,1,1,1 56五五.小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性唯一性有界性唯一性.57思考题思考题 31 axn,0 ,0 N“”恒有恒有是数列是数列nx收敛于收敛于a的的().A.充分但非必要条件充分但非必要条件B.必要但非充分条件必要但非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件1C 2).(lim,lim2 nnnnaKa则则若若KA.KB 2.2.KCD.不确定不确定A,时时当当Nn 58作业作业P30 2；3(2),(3)；4 59例例6对于数列对于数列xn)(2 kaxk若若)(12 kaxk)(naxn则则证证0 知知由由axkk 2lim时，有时，有使当使当11,KkK|2axk知知再由再由axkk 12lim时，有时，有使当使当22,KkK|12axk12,2max21 KKN取取则则0 N 时时使当使当Nn 恒有恒有|axnaxnn lim即即