江西省南昌市2017-2018学年高二数学上学期期中试题[文科](有答案，word版).doc

1、 - 1 - 2017 2018 学年度上 学 期期中考试 高二数学（文）试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.直线 3 3 1 0xy? ? ? 的倾斜角为（ ） A.1500 B.1200 C.600 D.300 2.点 P 的直角坐标为 )1,1(? ，则它的极坐标为（ ） A. 3( 2, )4? B. 3( 2, )4? C. 3(2, )4? D. 3(2, )4? 3.抛物线 2 4xy? 的准线方程为（ ） A. 116x? B. 116x? C. 1y? D. 1y? 4.圆 4)1(

2、)1(: 221 ? yxC 与圆 25)4()3(: 222 ? yxC 的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.内含 5.圆 22 4 3 0x y x? ? ? ?的圆心到双曲线 2 2 13x y?的渐近线的距离为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6. 若双曲线 1C 以椭圆 222 :116 25xyC ?的焦点为顶点，以椭圆 2C 长轴的端点为焦点，则双曲线 1C 的方程为（ ） A. 2219 16xy?B. 2219 16yx?C. 22116 25xy?D. 22116 25yx?7. 过两直线 013 ? yx 和 033 ? yx 的交点，并与原点的距

3、离等于 21 的直线有（ ）条 A.0 B.1 C.2 D.3 8.若椭圆 22136 9xy+=的弦被点（ 4， 2）平分，则此弦所在的直线方程为（ ） - 2 - A. 20xy-= B. 2 4 0xy+ - = C. 2 8 0xy+ - = D.2 13 34 0xy+ - = 9. 一动圆与两圆 221xy?和 22 8 12 0x y y? ? ? ?都外切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线一支 10. A 、 B 分别是椭圆 13 22 ?yx 的左顶点和上顶点， C 是该 椭圆上的动点，则点 C 到直线 A B 的距离的最大值为（ ） A.

4、 63? B. 63? C. 2 36? D. 2 36? 11. 已知直线 :l 23yx?被椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?截得的弦长为 2017，则下列直线中被椭圆 C 截得的弦长一定为 2017 的有（ ） 23yx? 21yx? 23yx? ? 23yx? ? A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 12. 如图，已知抛物线 2 4yx? 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且依次交抛物线及圆 221( 1) 4xy?于点 , , ,ABCD 四点，则 | | 4| |AB CD? 的最小值为（ ） A.112 B.132 C.152 D.172 二、

5、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上） 13. 直线 1413xtyt? ? ?（ t 为参数 ）的斜率为 . 14. 已知直线 2 2 0xy?经过椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 . - 3 - 15. 设 M 为椭圆 22125 9xy?上的一个点， 1F ， 2F 为焦点， 1260FMF? ? ?，则 12MFF 的面积为 16. 已知 12,FF是双曲线 ? ?2222: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?的左、右焦点，点 M 在双曲线的右支上， O 是坐标原点，

6、 2OMF? 是以 M 为顶点的等腰三角形，其面 积是 234c ，则双曲线 C的离心率是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 .（本小题满分 10 分） 已知过抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点，且平行于直线 xy 22? 的直线交抛物线于11( , )Ax y 、 22( , )Bx y （ 12xx? ）两点 ,若 9|2AB? ，求该抛物线的方程 . 18 .（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为212212xtyt? ? ?（ t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xOy

7、取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的极坐标方程为 05cos62 ? ? ，圆 C 与直线 l 交于 A ， B 两点， P 点的直角坐标为 (1,1) （ ）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ ）求 PBPA? 的值 - 4 - 19 .（本小题满分 12 分） 中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1， F2，且 |F1F2| 132 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 37. （ ）求这两曲线的方程； （ ）若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F1PF2的

8、值 . 20 （本小题满分 12 分） 已知圆 C 的圆心在直线 10xy? ? ? 上，且与直线 02 ?yx 相切，被直线 02 ? yx 截得的弦长为 556 . （ ）求圆 C 的方程； （ ）若 x 、 y 满足圆 C 的方程，求 yxyx 2422 ? 的取值范围 . - 5 - 21 （本小题满分 12 分） 已知 O 为坐标原点， M 是椭圆 2 22 1x y?上的点，设动点 P 满足 2OP OM? . （ ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ ）若直线 ? ?:0l y x m m? ? ?与曲线 C 相交于 A ， B 两个不同点，求 OAB? 面积的最大值 . 22

9、.(本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 )0(12222 ? babxay 过点 )3,23( ，离心率为 21 . （ ）求椭圆的标准方程； （ ）过椭圆的上顶点作直线 l 交抛物线 yx 22? 于 A 、 B 两点， O 为原点 . 求证： OBOA? ； 设 OA、 OB 分别与椭圆相交于 C 、 D 两点，过原点 O 作直线 CD 的垂线 OH ，垂足为 H ，证明 :OH 为定值 . - 6 - - 7 - 南昌二中 2017 2018 学年度上 学 期期中考试 高二数学（文）试卷参考答案 一、选择题 1 5 BACBA 6 10 BCCDD 11 12 CB 二、填空题 13.

10、34? 14. 22154xy? 15. 33 16. 31? 三、解答题 17. 解：直线 AB 的方程是 2 2( )2pyx?，与 2 2y px? 联立，从而有 224 5 0x px p? ? ?，所以1254pxx?， 由抛物线定义得12 59| 42pA B x x p p? ? ? ? ? ?， 2p? ， 从而抛物线方程为 2 4yx? 18.解：（ ）由212212xtyt? ? ?消去参数 t ，得到直线 l 的普通方程为 02?yx 把 222 yx ? ， ?cos?x ，代入 05cos62 ? ? ，得： 圆 C 的直角坐标方程 05622 ? xyx ，即 ?

11、? 43 22 ? yx 6 分 （ ）把212212xtyt? ? ?（ t 为参数）代入 ? ? 43 22 ? yx ，化简得： 2 3 2 1 0tt? ? ? ，由于 18 4 14 0? ? ? ? ?， 所以设 1t ， 2t 是该方程的两根所以 1232tt? ， 121 ?tt ，所以 0,0 21 ? tt ，又直线 l 过? ?1,1P ，所以 23|)|(| 212122 ? ttttbaPBPA 12 分 - 8 - 19解：（ 1） （ 2） 20（ ）解：设圆 C 的圆心为 ( , 1)aa? ，半径为 R ，则有： ?222 )5)1(2()553(5)1(2R

12、aaRaa， 解得? ? 52Ra所以圆 C 的方程为 5)1()2( 22 ? yx .6 分 （ ） 5)1()2(24 2222 ? yxyxyx ， 设 22 )1()2( ? yxd ， )1,2( ?P - 9 - 所以 RCPdRCP ? | ，因为 52| ?CP ，所以 535 ?d 所以 4050 2 ? d ， 从而 2244x y x y? ? ? 的取值范围为 40,0 .12 分 21解：解：（ 1）设点 ， ,则由 ，得 ，即 ，因为点 在椭圆 ，所以 ，故 ， 即动点 的轨迹 的方程为 . （ 2）由曲线 与直线 联立得 ， 消 得 ，因为直线 与曲线 交于 ，

13、 两点， 所以 ，又 ，所以 . 设 ， ，则 ， ， 因为点 到直线 ： 的距离 ， ， 所以 ， ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 面积的最大值为 . 22. 解： (1) 222 1cbe aa? ? ?，所以 4322 ?ab - 10 - 又 143322 ? ba?，解得 2?a ， 3?b ， 所以椭圆的方程为 134 22 ?xy （ 2） 证明：设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ，依题意，直线 l 一定有斜率 k ， l 的方程为 2?kxy ， 联立方程? ? ? yx kxy 2 22消 去 y 得 0422 ? kxx ， 421 ? xx ，又 4

14、22 222121 ? xxyy ， 0442121 ? yyxx ， OBOAOBOA ? 0 证明：设 ),( 33 yxC 、 ),( 44 yxD ，直线 CD 的 方程为 nmxy ? OBOA? ， ODOC? ， 04343 ? yyxx 联立方程? ? ? 14322 yxnmxy 消去 y 得 01236)43( 222 ? nm n xxm ， 43 6243 ? m mnxx ， 43 123 2243 ? mnxx ， 而 43 436123)(22222222224343243 ? ? m nnmnmmnmnxxmnxxmyy由 043 43612343 123222222222224343 ? ? m nnmnmmnmmnyyxx得 )1(127 22 mn ? ，即 7 )1(12 2mn ? 7 2127121, 2 ? m nOHCDOH?. 所以 OH 为定值 .