山西省太原市2017-2018年高二数学上学期期中试题[理科](有答案，word版).doc

1、 - 1 - 高二第一学期期中考试数学（理）试题 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。 1.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 （ ） A. ? B. 2? C. 3? D. 6? 2.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45 ，腰和上底长均为 2的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A. 248? B. 224? C. 22? D. 21? 3. 已知 a， b 表示两条不同直线， ， ， 表示三个不重合的平面，给出下列命题： 若 a， b，且 a b，则 ； 若 a， b相交且都在 ， 外， a ， b ， a ， b ，则 ； 若 a? ，

2、 a ， b，则 a b. 若 a ? ， b ? ， ? ，则 ab? 其中正确命题的个数 _ A.1 B.2 C.3 D. 4 4.若实数 m,n满足 2m-n=1,则直线 mx-3y+n=0必过定点 （ _） A. 12,3?B. 12,3?C. 12,3?D. 12,3?5已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x轴和 y轴上的截距互为相反数 ,则 a的值是 ( ） (A) -2 或 1 (B) -2或 -1 (C) -1 (D) 1 6 若 直线 1 :3l y kx?与 2 : 2 3 6 0l x y? ? ?的交点 在 第一象限，则 直线 1l 的倾斜角的取值范围是 （ ） A

3、. , 32? B.( , )32? C.( , )62? D. , )63? 7 若 (x， y)|ax 2y 1 0( x， y)|x (a 1)y 1 0 ? ，则 a等于 ( ) A. 32 B. 2 C. 1 D. 2或 1 8直线 ? ? ? ?Rayax ? 0112 的倾斜角的取值范围是（ ） A. ? 4,0?B. ? ?,43C. ? ? ,24,0 ?D. ? ? ,432,4 ?9 已知棱长为 2的正方体 ，球 与该正方体的各个面相切，则平面 截此球所得的截面的面积为 （ ） A. B. C. D. - 2 - N M 10 如图，已知 (4,0)A 、 (0,4)B

4、，从点 (2,0)P 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是 （ ） A 210 B 6 C 33 D 25 11 已知 ? ? 20 , | 2 03 6 0xyD x y x yxy? ? ? ? ? ? ? ?，给出下列四个命题： ? ?1 : , , 0;P x y D x y? ? ? ? ? ?2 , , 2 1 0 ;P x y D x y? ? ? ? ?： ? ?3 1: , , 4 ;1yP x y D x ? ? ? ? ? ? 224 , , 2 ;P x y D x y? ? ? ?： 其中真命题

5、的是 ( ) A. 12,PP B. 23,PP C. 24,PP D. 34,PP 12 某三棱 锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4小题，每题 5分，共 20分。 13. 已知直线 024 ? ymx 与 052 ? nyx 互相垂直，垂足为 ? ?p,1 ，则 pnm ? 为 14 设实数 ,xy满足条件?0004402yxyxyx， 若目标函数 ( 0, 0)z ax by a b? ? ? ?的最大值为 6，则3 12log ab?的最小值为 15 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 P ABC? 为鳖

6、臑， PA? 平面 ABC ， 2PA AB?， 4AC? ，三棱锥 P ABC? 的四个顶点都在球 O的球面上，则球 O 的表面积为 16.如图 ， 正方形 BCDE 的边长为 a ，已知 3AB BC? ，将 ABE? 沿 BE 边折起，折起后A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点，则翻折后的几何体中有如下描述： AB 与 DE 所成角的正切值是 2 ； AB CE ； - 3 - 体积 BACEV? 是 316a ； 平面 ABC 平面 ADC ； 直线 EA 与平面 ADB 所成角为 ?30 . 其中正确的有 .（填写你认为正确的序号） 三、解答题： 本大题共 6小题， 17题 1

7、0分其余每小题 12分，共 70分。 17 已知直线 032:1 ? yxl 与直线 0832:2 ? yxl ， 为它们的交点，点 ? ?3,1?P 为平面内一点 .求（ 1）过点 P 且与 1l 平行的直线方程；（ 2）过 Q 点的直线，且 P 到它的距离为 2的直线方程 . 18 如图 ， 正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的侧棱长和底面边长均为 2 ， D 是 BC 的中点 （ I）求证： AD? 平面 11BBCC （ II）求证 : 11 / ADCBA 平面 （ III）求三棱锥 11C ADB? 的体积 19 已知直线 l经过点 P（ 1， 2）且分别与 x轴正半轴， y轴

8、正半轴交于 A、 B两点， O为坐标原点 .(1)求 AOB? 面积的最小值及此时直线 l 的方程； (2)求 PA PB? 的最小值及此时直线l 的方程 . 20 如图，平面 ABDE? 平面 ABC ， ABC? 是等腰直角三角形， 4AC BC?，四边形 ABDE是直角梯形， BD ， BD ? BA ， 1 22BD AE?,OM、 分别为 CE AB、 的中点 （ 1）求异面直线 AB 与 CE 所成角的大小； （ 2）求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值 21. 如图，正方形 AA1D1D与矩形 ABCD所在平面互相垂直， AB 2AD 2 (1)若点 E,F 分别 为 A

9、B,CD的中点，求证： BD1F 平面 A1DE； (2)在线段 AB上是否存在点 E，使二面角 D1ECD的大小为 6？若存在，求出 AE 的长；若不存在，请说明理由 - 4 - 22（本题共 12 分）如图所示，已知三棱柱 1 1 1ABC ABC? ，点 1A 在底面 ABC 上的射影恰为 AC的中点 D ， 119 0 , 2 ,B C A A C B C B A A C? ? ? ? ? （ ）求证： ?1ABC平面 平面 1ABC ； （ ）求二面角 1 1 1B AB C?的余弦值 附加题：（共 20分） 1 已知边长为 23的菱形 ABCD中， BAD 60 ， 沿对角线 BD

10、 折成二面角 ABDC的大小为120 的四面体，则四面体的外接球的表面积为 _ 2.已知 ABC 的两条高所在直线方程为 0, 2 3 1 0x y x y? ? ? ? ?，若 ? ?1,2A ，求直线 BC 的方程 . 4 如图甲所示， BO 是梯形 ABCD 的高， 45BAD? ? ? ， 1OB BC?， 3OD OA? ，现将梯形 ABCD 沿 OB 折起如图乙所示的四棱锥 P OBCD? ，使得 3PC? ，点 E 是线段PB 上一动点 . （ 1）证明： DE 和 PC 不可能垂直； （ 2）当 2PE BE? 时，求 P 到 平面 CDE 的距离。 - 5 - 高二年级第二次

11、练兵考试 数学（理）试题答案 一、 选择题： 1 5 DACDB 6-10 CBBDA 11-12 CB 二、填空题： 13.-4 14.2 15. ?20 16. 三、解答题： 17.(1) 072 ? yx (2) 05431 ? yxx 或 18. （ I）证明： 在正 ABC 中， D 是 BC 边中点， AD BC? ， 在正三棱柱中， 1CC? 平面 ABC ， AD? 平面 ABC ， 1AD CC? ， 1BC CC C?点， BC ， 1CC? 平面 11BBCC ， AD? 平面 11BBCC （ II）连接 1AC 、 1AC ，设 11AC AC O?点，连接 OD ，

12、 在 1ACB 中， O 、 D 分别是 1AC 、 BC 中点，112OD AB， OD? 平面 1ADC ， 1AB? 平面 1ADC ， 1AB 平面 1ADC ， （ III）1 1 1 1 1 121 1 1 3 3223 3 2 4 3C A D B A C D B C D B A DV V S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19. （ 1） 4, 042 ? yx （ 2） 4， 03?yx 20.(1) DB BA? ，又面 ABDE? 面 ABC ，面 ABDE 面 ABC AB? ， DB ABDE?面 ， DB ABC?面 ， BD AE， EA ABC?面

13、， 如图所示，以 C 为原点，分别以 CA， CB 为 x， y 轴，以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z轴，建立空间直角坐标系， 4AC BC?，设各点坐标为 (0,0,0)C ， (4,0,0)A ， (0,4,0)B ，(0,4,2)D ， (4,0,4)E ， 则 (2,0,2)O ， (2, 2,0)M ， ( 4 ,4 ,0 ),C E (4 , 0 , 4 )AB ? ? ?， (0, 4, 2)CD? ， ( 2, 4, 0)OD? ， ( 2, 2, 2)MD ? . （ 1） 1 6 1c o s ,23 2 3 2A B C E ? ? ? ? ?， - 6 -

14、 则 AB 与 CE 所成角为 3? . （ 2）设平面 ODM的法向量 ( , , )x y z?n ，则由 OD?n ，且 MD?n 可得 2 4 0,2 2 2 0,xyx y z? ? ? ? ? ?令 2x? ，则 1y? ， 1z? ， (2, 1, 1)?n ，设直线 CD和平面 ODM所成角为 ? ，则 ( 2 , 1 , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 6 3 0s i n c o s , | ( 2 , 1 , 1 ) | ( 0 , 4 , 2 ) | 1 0| | | 6 2 5CDCD CD? ? ? ? ? ? ? ?nn n， 直线 CD和平面 ODM所成角的

15、正弦值为 3010 21. (1)略 (2)根据题意得 DD1 DA， DD1 DC， AD DC，以 D为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0,0,0)， D1(0,0,1)， C(0， 2,0) 设满足条件的点 E存在， 令 E(1， y0,0)(0 y0 2)， ( 1,2 y0,0)， (0,2， 1)， 设 n1 (x1， y1， z1)是平面 D1EC的法向量， 则得? x1 (2 y0)y1 0，2y1 z1 0， 令 y1 1，则平面 D1EC 的法向量为 n1 (2 y0,1,2)， 由题知平面 DEC的

16、一个法向量 n2 (0,0,1) 由二面角 D1ECD的大小为 6，得 cos 6 |n1 n2|n1| n2| 2(2 y0)2 1 432 ， 解得 y0 2 33 0,2， 所以当 AE 2 33 时，二面角 D1ECD的大小为 6 22. 解：如图所示，取 AB 的中点 E ，则 / , ,DE BC BC AC?DE A?. 又 1AD? 平面 ABC ，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 1DA t? ，则? ? ? ?0, 1, 0 , 2,1, 0 ,AB? ? ? ? ? ? ? ? ?110 ,1 , 0 , 0 , 0 , , 0 , 2 ,C A t C t

17、 t R ?. .2分 （ ）证明： ? ? ? ? ? ?1 1 10 , 3 , , 2 , 1 , , 2 , 0 , 0A C t B A t C B? ? ? ? ?， 由 1 0AC CB? ，知 1AC CB? ，又 11BA AC? ，从而 1AC? 平面 1ABC . ?1ABC平面 平- 7 - 面 1ABC .6分 （ ）因为 ? ?1 2, 1,BA t? ? ? ， ? ?1 0,3,AC t? ，由 11BA AC? 得 3t? . ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 12 , 1 , 3 , 0 , 1 , 3 , 0 , 2 , 0B A B B A A A C? ? ? ? ? ? ?,设平面 11ABB 的一个法向量为? ?,m x y z? ，则 112 3 030m B A x y zm B B y z? ? ? ? ? ? ? ?，可取 ? ?3, 3,1m ?，同理，可求得平面 11ABC 的一个法向量为 ? ?3,0,2n? ， 5co s ,7mnmn mn? ? ? ? ?. 所以，二面角 1 1