1、二次函数与一元二次方程教案一、教学目标(一)知识与技能：1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.(二)过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.(三)情感态度与价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想.二、教学重点、难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.三、教学过程复
2、习引入1.二次函数的一般式：_，_是自变量，_是_的函数. 二次函数与一元二次方程有什么联系？当y=0时，ax2+bx+c=0.2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？ b2-4ac0 方程有两个不等的实数根； b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根； b2-4ac0 方程无实数根.问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞
3、行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：(1)当h=15时，20t-5t2=15 整理得，t2-4t+3=0 解得，t1=1，t2=3因此，当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.(2)当h=20时，20t-5t2=20 整理得，t2-4t+4=0 解得
4、，t1=t2=2因此，当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.(3)当h=20.5时，20t-5t2=20.5 整理得，t2-4t+4.1=0因为(-4)2-44.1=-0.40，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.(4)小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0 整理得，t2-4t=0 解得，t1=0，t2=4因此，当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s. h=20t-5t220t-5t2=15，20t-5t2=20，20t-5t2=20.5，20t-5t2=0. 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切.例如，
5、已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 已知二次函数的值，求自变量x的值. 解一元二次方程思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) y=x2+x-2；(2) y=x2-6x+9；(3) y=x2-x+1(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0
6、.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.归纳一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2
7、+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1-0.7，x22.7我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.
