1、 1 2016-2017 学年度高二第二学期期中考试数学试卷 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有一段 “ 三段论 ” 推理是这样的：对于可导函数 ，若 ，则 是函数 的极值点 . 因为 在 处的导数值 ，所以 是的极值点 . 以上推理中（ ） A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 【答案】 A 【解析】试题分析： 大前提是： “ 对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点 ” ，不是真命题， 因为对于可导函数 ，如果 ，且满足当 x x0时和当 x x0时的导函数值
2、异号时，那么 x=x0是函数 f（ x）的极值点， 大前提错误，故选 A 考点：演绎推理的基本方法 2. 函数 f(x) x sin x的大致图象可能是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 f( x) f(x)，因此函数 f(x)是奇函数，其图象关于原点成中心对称；当 0 x 时， f( x) cos x 0，函数 f(x)在 上是减函数，因此结合各选项知，故选 A. 点睛： (1)运 用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向 .(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征
3、进行等价转化研究 .如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大2 小关系 3. 若 ，且 ，则 的最大值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 B 【解析】 ,所以选 B. 4. 某车队准备从甲、乙等 7辆车中选派 4辆参加救 援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同的排法种数为 ( ) A. 360 B. 520 C. 600 D. 720 【答案】 C 【解析】若甲、乙只有一个参加，则有 480(种 )若甲、乙同时参加，则有 120
4、(种 )，所以共有 600种排法 5. 一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人按先前进 3步，然后再后退2步的规律移动如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以 1步的距 离为 1个单位长度用 表示第 n秒时机器人所在位置的坐标，且记 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先前进 3步 ,所以 ;再后退 2步 ,所以 ,以此类推, ,因此; ,所以 , 错误的是 D 6. 凸 n边形有 f(n)条对角线，则凸 n+1边形有对角线数 f(n+1)为 ( ) A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+
5、n-2 【答案】 C 【解析】 增加一个顶点 ,增加 n-2条对角线 ，原来一条边变成对角线，因此共增加 n-1条对角线，选 C. 7. 已知 e为自然对数的底数 ,设函数 ,则 ( ) A. 当 k=1时 ,f(x)在 x=1处取到极小值 B. 当 k=1时 ,f(x)在 x=1处取到极大值 3 C. 当 k=2时 ,f(x)在 x=1处取到极小值 D. 当 k=2时 ,f(x)在 x=1处取到极大值 【答案】 C 【解析】 当 k=1时，函数 f(x)=(ex?1)(x?1). 求导函数可得 f( x)=ex(x?1)+(ex?1)=(xex?1) f(1)= e?10 ， f(2)=2
6、e2?10 ， 则 f(x)在在 x=1 处与在 x=2 处均取不到极值， 当 k=2时，函数 f(x)=(ex?1)(x?1)2. 求导函数可得 f( x)=ex(x?1)2+2(ex?1)(x?1)=(x?1)(xex+ex?2) 当 x=1， f( x)=0，且当 x1时， f( x)0，当 x01， a0， 0 ，只需证 1，只需证 1 a b ab1，只需证 a b ab0，即 1.即 1.这是已知条件，所以原不等式成立 20. 设正项数列 的前 项和 ，且满足 . （ ）计算 的值，猜想 的通项公式，并证明你的结论； （ ）设 是数列 的前 项和，证明： . 【答案】 （ 1） （ 2）见解析 【解析】 试题分析：（ 1）先 根据 关系，将条件转化为项与项递推关系，依次代入求解，可得 的值，根据规律猜想 ，利用项与项递推关系及归纳假设证明 n=k+1时情况（ 2）利用放缩裂项求和： ，也可直接利用数学不等式进行证明 试题解析：（ ）解：当 n=1时， ，得 ； ，得 ； ，得 . 猜想 证明：（ ）当 n=1时，显然成立 . （ ）假设当 n=k时， 则当 n=k+1时，
